2022-2023學年度第一學期蕪湖市中學教學質量統測高一年級數學試題卷注意事項：1．本試卷滿分為100分，考試時間為120分鐘.2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分.“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁.3．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的.4．考試結束后，請將“答題卷”交回.一、單選題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的）1.設集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據集合的交集，可得答案.【詳解】由題意，.故選：A.2.不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根據一元二次不等式的解法計算可得；【詳解】由，解得，即原不等式的解集為；故選：B.3.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由誘導公式化簡后得結論．【詳解】．故選：C．4.已知命題，則命題為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】給定命題是全稱量詞命題，由全稱量詞命題的否定的意義即可得解.【詳解】因是全稱量詞命題，則命題為存在量詞命題，由全稱量詞命題的否定意義得，命題：.故選：C5.若，，則下列不等式成立是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據不等式的性質可判斷A，取特值可判斷B，C，D.【詳解】對于A，因為，，所以，故A正確；對于B，若，則，故B正確；對于C，若，則，故C不正確；對于D，若，則，故D不正確.故選：A.6.折扇是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1，其平面圖如圖2的扇形，其中，，則扇面（曲邊四邊形）的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由扇形面積公式計算（大扇形面積減去小扇形面積）．【詳解】由已知，，扇面面積為故選：B．7.下列說法正確的是（）A.“”是“”的既不充分也不必要條件B.“”是“”的充分不必要條件C.若，則“”是“”的必要不充分條件D.在中，角，均為銳角，則“”是“是鈍角三角形”的充要條件【答案】D【解析】【分析】利用充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件定義進行逐項判定.【詳解】對于A，因為能夠得到，反之不成立，所以“”是“”的必要不充分條件，A錯誤；對于B，因為時，，而當時，，所以“”是“”的必要不充分條件，B錯誤；對于C，當時，，無法得出；當，，所以，C錯誤；對于D，因為角，均為銳角，當時，，由于所以，即，所以是鈍角三角形；反之依然成立，D正確.故選：D.8.已知實數，，，那么實數，，的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法，結合對數的運算，以及對數函數的性質，可得答案.【詳解】，由，則，即，可得；，由，則，即，可得；，由，則，即，可得；綜上，.故選：A.二、多選題（本題共4小題，每小題4分，共16分．在每小題給出的選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得4分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下圖為冪函數的大致圖象，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據奇函數的性質，以及冪函數的性質，可得答案.【詳解】對于A、C，，，顯然為奇函數，且指數在0到1之間，在第一象限是越增越慢的，故A、C正確；對于B、D，，，顯然為偶函數，故B、D錯誤.故選：AC.10.下列說法中正確的是（）A.在上單調遞增B.與的圖象相同C.不等式的解集為D.的圖象對稱中心為【答案】ABC【解析】【分析】根據正弦函數的性質可判斷A，根據誘導公式及余弦函數的性質可判斷B，根據輔助角公式及正弦函數的圖象函數性質可判斷C，根據正切函數的性質可判斷D.【詳解】對于A：因為的單調增區間為，所以函數在上單調遞增，故A正確；對于B：因為，，所以與的圖象相同，故B正確；對于C：由，可得，則，即，所以不等式的解集為，故C正確；對于D：對于函數的圖象對稱中心為，故D錯誤.故選：ABC.11.已知，，則下列選項一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用等量代換整理函數解析式，利用二次函數的性質，可得答案；對于B，利用基本不等式，可得答案；對于C，利用反例，可得答案；對于D，利用等量代換整理函數解析式，利用導數研究其最值，可得答案.【詳解】對于A，由，則，由，則，，，故A正確；對于B，由，即，則，當且僅當時等號成立，故B正確；對于C，當時，，而，故C錯誤；對于D，由，則，由，則，，令，，令，解得，當時，；當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，故，故D正確；故選：ABD.12.已知函數圖象關于軸對稱，且，都有．若不等式，對恒成立，則的取值可以為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由題可得的圖象關于對稱，且在上單調遞增，進而將不等式轉化為，對恒成立，然后利用換元法結合二次函數的性質可得的取值范圍，即得.【詳解】因函數圖象關于軸對稱，所以的圖象關于對稱，又，都有，所以函數在上單調遞增，因為不等式，對恒成立，所以，對恒成立，令，則，則，所以，對恒成立，因為，，，故，所以BC正確，AD錯誤.故選；BC.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數，即將問題轉化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.三、填空題（本題共4小題，每題4分，共16分）13.已知為第三象限角，，則___________．【答案】【解析】【分析】根據同角三角函數商式關系以及平方和關系，可得答案.【詳解】由，則，，由，則，由為第三象限角，，，則.故答案為：.14.函數為偶函數，當時，，則時，___________．【答案】【解析】【分析】由偶函數的定義求解．【詳解】時，，是偶函數，∴，故答案為：．15.科學家通過生物標本中某種放射性元素的存量來估算該生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為1620年（即：每經過1620年，該元素的存量為原來的一半），某生物標本中該元素的初始存量為，經檢測生物中該元素現在的存量為，（參考數據：）請推算該生物距今大約___________年．【答案】3780【解析】【分析】由指數函數模型求解．【詳解】設放射性元素的存量模型為，由已知，所以，，，設題中所求時間為，則，，，，∴，．故答案為：3780.16.定義在上的奇函數，當時，，則函數的所有零點之和為___________．【答案】【解析】【分析】畫出函數與圖象，根據對稱性以及對數函數的運算得出零點之和.【詳解】令，即，故函數的零點就是函數與圖象交點的橫坐標，當時，，函數與在上圖象如圖所示：設與圖象交點的橫坐標分別為，由對稱性可知，，.由，結合奇偶性得出，即解得，即.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共44分）17.計算：（1）；（2）．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】根據對數運算與指數運算，可得答案.【小問1詳解】原式．【小問2詳解】原式18.小明家院子中有塊不規則空地，如圖所示．小明測量并計算得出空地邊緣曲線擬合函數，小明的爸爸打算改造空地，用家中現有的8米長的柵欄如圖圍一面靠墻矩形空地用來鋪設草皮，請問小明的爸爸需要購買多少平方米的草皮才能鋪滿矩形草地？（不考慮材料的損耗）【答案】.【解析】【分析】設，進而可得，根據條件可得方程，然后結合條件即得.【詳解】設，因為，則，所以，解得，即，，此時矩形的面積為，即小明的爸爸需要購買6平方米的草皮才能鋪滿矩形草地．19.已知集合，．（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解分式不等式可得集合，后根據并集的定義運算即可；（2）由題可得，然后分類討論，結合子集的定義即得.【小問1詳解】因為，故；【小問2詳解】若，則，，，，符合；②，，不符合，舍去；③，，則；綜上，實數的取值范圍為.20.已知函數．（1）判斷函數奇偶性并證明；（2）設函數，若函數與的圖象沒有公共點，求實數的取值范圍．【答案】（1）偶函數，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據偶函數的定義，可得答案；（2）根據函數與方程的關系，利用二次函數的性質，可得答案.【小問1詳解】函數定義域為，，，是偶函數.【小問2詳解】等價于方程沒有實數根．令，則沒有大于的根，令．①時，符合；②時，對稱軸，，無正根符合；③時，對稱軸，，有一根大于，不符合．綜上，．21.三角函數變形化簡中常用“切割化弦”的技巧．其中“弦”指正弦函數與余弦函數，“切”指正切函數與余切函數，“割”指正割函數與余割函數．設是一個任意角，如圖所示它的終邊上任意一點（不與原點重合）的坐標為，與原點的距離為，則的正割函數定義為．（1）已知函數，寫出的定義域和單調區間；（2）方程在所有根的和為，求的值．【答案】（1）詳見解析；（2）1.【解析】【分析】（1）利用正割函數的定義可得函數的定義域及函數的單調區間；或使用轉化思想，將對正割函數的研究轉化為已學的余弦函數，進而即得；（2）根據函數的奇偶性可得，進而即得.【小問1詳解】解法一：根據正割函數定義，是一個任意角，它的終邊上任意一點（不與原點重合）的坐標為，因為，顯然，因此角的終邊不能落在軸上，結合終邊相同的角的表示，正割函數的定義域為，且因為，是該函數的一個周期．為大于0的定值，當時，此時越大即弧度制下的角越大，因此角終邊上的點的橫坐標越小，與橫坐標的比值就越大，所以為函數的一個單調增區間，結合該函數的周期，為函數的單調增區間，同理為函數的單調增區間，和為的單調減區間；解法二：，，，，，定義域為，當時，在區間和單調遞減，所以的單調增區間為和；在區間和單調遞增，所以的單調減區間為和；【小問2詳解】因為，，，，故兩函數均為偶函數，所以它們函數圖象的交點關于軸對稱，因此方程的根的和為0，也即，所以．22.已知函數，在區間上有最大值8，有最小值0，設．（1）求，值；（2）不等式在上有解，求實數的取值范圍；（3）若方程有三個不同的實數解，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據二次函數性質結合條件可得關于的方程，進而即得；（2）由題可得存在,使得成立，然后根據參變分離結合二次函數的性質即得；（3）根據條件結合