第四章指數函數與對數函數4.2指數函數第1課時指數函數的概念、圖象及性質學習目標素養要求1．通過具體實例，了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念數學抽象2．能用描點法畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點直觀想象|自學導引|

指數函數的概念一般地，函數y＝ax(________________)叫做指數函數，其中指數x是自變量，函數的定義域是R．a＞0，且a≠1

【預習自測】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)函數y＝－2x是指數函數．

(

)(2)函數y＝2x+1是指數函數．

(

)(3)函數y＝(－3)x是指數函數．

(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×【解析】(1)因為指數冪2x的系數為－1，所以函數y＝－2x不是指數函數；(2)因為指數不是x，所以函數y＝2x+1不是指數函數；(3)因為底數小于0，所以函數y＝(－3)x不是指數函數．

指數函數的圖象及性質a的取值a＞10＜a＜1圖象

a的取值a＞10＜a＜1定義域________值域__________性質過定點______，即x＝______時，y＝______當x＞0時，y＞1；當x＜0時，_________當x＞0時，_________；當x＜0時，y＞1在R上是________在R上是________R

(0，＋∞)

(0，1)

0

1

0＜y＜1

0＜y＜1

增函數減函數【預習自測】(1)函數y＝2－x的圖象是 (

)(2)函數f(x)＝ax+1－2(a＞0，且a≠1)的圖象恒過定點________．【答案】(1)B

(2)(－1，－1)|課堂互動|題型1指數函數的概念及應用

(1)給出下列函數：①y＝2×3x；②y＝3x+1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x．其中，指數函數的個數是

(

)A．0 B．1C．2 D．4【答案】(1)B

(2)125判斷一個函數是不是指數函數的方法(1)看形式：只需判斷其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)這一結構特征．(2)明特征：看是否具備指數函數解析式具有的三個特征．只要有一個特征不具備，則該函數不是指數函數．1．若函數y＝a2(2－a)x是指數函數，則 (

)A．a＝1或a＝－1 B．a＝1C．a＝－1

D．a＞0，且a≠1【答案】C

題型2指數函數圖象的應用

(1)函數f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數，則下列結論正確的是

(

)A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0(2)函數y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的圖象過定點________．【答案】(1)D

(2)(3，4)

【解析】(1)由于f(x)的圖象單調遞減，所以0＜a＜1．又因為0＜f(0)＜1，所以0＜a－b＜1＝a0，即－b＞0，所以b＜0．故選D．(2)令x－3＝0得x＝3，此時y＝4．故函數y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的圖象過定點(3，4)．處理函數圖象問題的策略(1)抓住特殊點：指數函數的圖象過定點(0，1)，求指數型函數圖象所過的定點時，只要令指數為0，求出對應的y的值，即可得函數圖象所過的定點．(2)巧用圖象變換：函數圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數的性質：奇偶性與單調性．2．(1)函數f(x)＝3－ax+1(a＞0且a≠1)的圖象恒過定點 (

)A．(－1，2) B．(1，2)C．(－1，1) D．(0，2)(2)已知1＞n＞m＞0，則指數函數①y＝mx，②y＝nx的圖象為(

)【答案】(1)A

(2)C

【解析】(1)依題意，由x＋1＝0得x＝－1．將x＝－1代入f(x)＝3－ax+1，得f(x)＝3－a0＝2，所以函數f(x)＝3－ax+1(a＞0且a≠1)的圖象恒過定點(－1，2)．(2)由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx與y＝nx都是減函數，故排除A，B．作直線x＝1與兩條曲線相交(圖略)，下面交點所在的曲線是函數y＝mx的圖象．故選C．指數型函數y＝af(x)定義域、值域的求法(1)定義域：函數y＝af(x)的定義域與y＝f(x)的定義域相同．(2)值域：①換元，t＝f(x)；②求t＝f(x)的定義域為x∈D；③求t＝f(x)的值域為t∈M；④利用y＝at的單調性求y＝at，t∈M的值域．易錯警示用函數圖象解題時作圖不準求函數f(x)＝x2的圖象與函數f(x)＝2x的圖象的交點個數．錯解：兩個．易錯防范：忽視指數函數與冪函數增減速度快慢對作圖的影響．防范措施是在解題時應充分利用函數性質，畫準圖形，不能主觀臆造，導致圖形“失真”，從而得出錯誤的答案．正解：作圖可得在區間(－1，0)上有一個交點，在區間(1，3)，(3，5)上各有1個交點，共三個．|素養達成|1．判斷一個函數是不是指數函數，關鍵是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)這一結構形式，即ax的系數是1，指數是x．2．指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的性質分底數a＞1，0＜a＜1兩種情況，但不論哪種情況，指數函數都是單調的(體現了數學抽象核心素養)．3．由于指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的定義域為R，即x∈R，所以函數y＝af(x)(a＞0，且a≠1)與函數f(x)的定義域相同．4．求函數y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的關鍵是求f(x)的值域．【答案】A

【答案】A

3．(題型2)如圖是指數函數①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系是 (

)A．a＜b＜1＜c＜d

B．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a