PAGEPAGE1廣西壯族自治區北流市2023-2024學年高一上學期期中聯考質量評價檢測數學試題一、單項選擇題，本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，則（）A.或 B.C. D.【答案】B【解析】，，所以或，.故選：B.2.有下列四個命題：①，②為非零實數，，則，③，④不等式的解集為，其中真命題的個數是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】①由元素在集合內，故，而表示集合間的關系，假命題；②為非零實數，，如時，不成立，假命題；③空集是任意集合的子集，故，真命題；④不等式，故解集為，假命題；所以真命題的個數是1.故選：A.3.“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，則或，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.下列函數中，既是偶函數，又在區間上單調遞減的函數是（）A B.C. D.【答案】A【解析】由冪函數性質知：、為偶函數，為奇函數，為非奇非偶函數，在上遞減，遞增，綜上，是偶函數，在區間上單調遞減.故選：A.5.下列各組函數表示同一函數的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】A選項：定義域為，定義域為R，故A錯；B選項：定義域為R，定義域為，故B錯；C選項：，故C錯；D選項：，所以與定義域和對應法則相同，故D正確.故選：D.6.已知定義在上的偶函數滿足，，都有，且，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為是定義在上的偶函數，且，則，所以，由，都有，即在上單調增，又是定義在上的偶函數，可得在上單調減，所以，即，解得，則的解集為.故選：C7.已知是定義在上的奇函數，當時，．若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題設，令，則，此時，所以，且在處連續，圖象如下，函數在區間上單調遞增，由圖知：.故選：C.8.已知，且，若恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題設，，當且僅當，即時等號成立，所以，則可得．故選：D.二、多項選擇題，本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給的四個選項中，有多項是符合題目要求的，選對部分得2分，全對得5分，有選錯不給分．9.下列說法錯誤的是（）A.若不等式的解集為，則B.不等式的解集為C.是定義在上的奇函數，則，且若在上單調遞減，則在上也單調遞減D.函數在上單調遞增【答案】ABD【解析】A：由題設是的兩個根，故，錯；B：恒成立，故解集為R，錯；C：由奇函數的對稱性知：在上單調遞減，在上也單調遞減，對；D：關于對稱，且在、上遞減，所以在上單調遞減，錯.故選：ABD.10.已知函數，定義域為，下列說法正確的是（）A.是偶函數B.的單調減區間是和C.有最大值，無最小值D.函數的定義域為【答案】BCD【解析】由題設，定義域為，不關于原點對稱，所以不是偶函數，其圖象如下：由圖知：的單調減區間是和，最大值，無最小值，對于，，則，定義域為，綜上，A錯，B、C、D對.故選：BCD.11.下列說法正確的有（）A.若，則B.若，則C.的最大值為D.時，【答案】BC【解析】取，則，但事實，故選項A錯誤；，又，即，所以，即，故選項B正確；，因為所以，則，當且僅當時即時取得等號，則，即時最大值為，故選項C正確；時，，當且僅當時即時取得等號，而，故不能取得等號，，故選項D錯誤.故選：BC.12.已知表示不超過的最大整數，例如：，，下列說法正確的是（）A.集合B.集合的非空真子集的個數是30個C.若“”是“”的充分不必要條件，則D.若，則【答案】CD【解析】時，時，，時，，時，，時，，時，，，集合的非空真子集有個，所以A，B錯誤；又若“”是“”的充分不必要條件，則是的真子集，所以，C正確；若，則時，；時，，綜上，D正確．故選：CD.三．填空題，本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填寫在答題卡相應的位置.13.“”的否定是______．【答案】【解析】由特稱命題的否定為全稱命題，故原命題的否定為.故答案為：.14.函數，則______，若，則______．【答案】【解析】由，故，令，無解，令，可得.故答案為：.15.已知函數的定義域為，則實數的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意得在上恒成立，，即，.故答案為：.16.若函數在上為減函數，則實數的取值范圍是______．【答案】【解析】是上的減函數，，解得，所以實數的取值范圍是.故答案為：.四．解答題，本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合（1）當時，求；（2）若______，（在①，②兩個條件中任選一個填入前面橫線中并解答），求實數的取值范圍．解：（1）時，，，.（2）若選①，則，當時，；當時，，不等式組無解；綜上：的取值范圍是.若選②，則，，解得，的取值范圍是.18.（1）求函數的定義域；（2）求函數的值域．解：（1）由解析式知，可得，且，該函數的定義域為．（2）令，則，原函數可化為，該函數的值域為.19.已知函數.（1）判斷的奇偶性，并說明理由；（2）利用定義法判斷在上的單調性，并寫出證明過程；（3）當時，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）為奇函數，證明如下：其定義域為，定義域關于原點對稱，且，故是奇函數．（2）設，且，則，由，又，則，所以，故在上單調遞增.（3）法一：當時，不等式恒成立，可轉化為，即在上恒成立，由（2）知：在上單調遞增，則，故，即的取值范圍是.法二：設對稱軸為，①當，即時，在上單調遞增，，恒成立，則，可得；②當，即時，在單調遞減，在單調遞增，恒成立，，與矛盾．綜上：的取值范圍是.20.榫卯結構是中國獨特的一種木工技術，我們祖先的智慧就在這小小的木頭上體現．如圖，把直截面半徑為的圓柱形木頭鋸成直截面為矩形的木料，如果矩形的一邊長為（單位：），面積為（單位：）（1）把表示為的函數，并寫出該函數的定義域；（2）求矩形面積的最大值，以及取最大值時對應的的值．解：（1）圓半徑為，該圓直徑為，則，由且，則，所以關于的函數為，其定義域為.（2）由（1）得，則，當且僅當，即時，等號成立，矩形面積的最大值為，此時.21.已知冪函數，且在上單調遞減．（1）求的值；（2）若，求實數的取值范圍．解：（1）冪函數在上單調遞減，故，解得，又，可得.（2）由（1）知，則的定義域為，且的單調減區間為和，若，則，可得；②，該不等式無解；，可得；綜上：實數的取值范圍是.22.已知函數是定義在上的偶函數，當時