普通高等教育“十一五”國家級規劃教材隨機數學（B）標準化作業簡答吉林大學公共數學中心2013.2班級學號：姓名：第一次作業一、填空題1．解：應填.分析：樣本空間含基本事件總數，事件所含基本事件數為10個，即（1,2），（2，3）…，（9,10），（10,1）共10個，故所求概率為.2．應填0.6.分析:,故3．應填．4.應填.5．應填．6．應填．二、選擇題1．（D）．2.（C）．3．（B）．4.（C）．5．（C）．6.（A）.三、計算題1．將只球隨機地放入個盒子中，設每個盒子都可以容納只球，求：（1）每個盒子最多有一只球的概率；（2）恰有只球放入某一個指定的盒子中的概率；（3）只球全部都放入某一個盒子中的概率．解：此題為古典概型，由公式直接計算概率.（1）.（2）.（3）.2．三個人獨立地去破譯一份密碼，已知每個人能譯出的概率分別為，問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？解：設表示事件“第個人譯出密碼”，B表示事件“至少有一人譯出密碼”.則.3．隨機地向半圓內擲一點，點落在半圓內任何區域的概率與區域的面積成正比，求原點與該點的連線與軸夾角小于的概率.解：此為幾何概型問題.設A表示事件“原點與該點的連線與軸夾角小于”.則.4．儀器中有三個元件,它們損壞的概率都是0.2,并且損壞與否相互獨立.當一個元件損壞時,儀器發生故障的概率為0.25,當兩個元件損壞時,儀器發生故障的概率為0.6,當三個元件損壞時,儀器發生故障的概率為0.95,當三個元件都不損壞時,儀器不發生故障.求：（1）儀器發生故障的概率；（2）儀器發生故障時恰有二個元件損壞的概率.解:設A表示事件“儀器出現故障”，Bi表示事件“有i個元件出現故障”，i=1，2，3.（1），，，.所以.（2）.5．在100件產品中有10件次品；現在進行5次放回抽樣檢查，每次隨機地抽取一件產品，求下列事件的概率：（1）抽到2件次品；（2）至少抽到1件次品．解：設表示取到件次品，（1）（2）四、證明題1．設，證明事件與相互獨立．證明：由定義證明.所以事件與相互獨立．2．設事件的概率，證明與任意事件都相互獨立．證明：設B為任意事件，顯然,從而，即，滿足，故與任意事件都相互獨立．

第二次作業一、填空題1．應填.2.應填-113P0.40.40.23．應填．4．應填．5．應填．6.應填．7.應填．二、選擇題1.（D）.2.（D）.3．（A）．4．（B）．5．（D）．6.（C）.7．（C）．三、計算題1．一批產品由9個正品和3個次品組成，從這批產品中每次任取一個，取后不放回，直到取得正品為止．用表示取到的次品個數，寫出的分布律和分布函數．解：的分布律為0123P的分布函數為2．設隨機變量的概率分布為-2-10123P0.100.200.250.200.150.10（1）求的概率分布；（2）求的概率分布．解：倒表即可.-2-10123P0.100.200.250.200.150.10Y420-2-4-6Z410149即Y-6-4-2024P0.100.150.200.250.200.10Z0149P0.250.400.250.103．設連續型隨機變量的概率密度為求：（1）的值；（2）的分布函數．解：（1）由，得.（2）當時，，當時，當時，當時，.4．設隨機變量服從正態分布，求：，．解：5．設連續型隨機變量的分布函數為求：（1）常數、．（2）隨機變量落在內的概率．（3）的概率密度函數．解：（1），得（2）（3）的概率密度函數6．已知隨機變量的概率密度為且求（1）常數的值；（2）解:（1）由，再由解得.（2）7．已知隨機變量的概率密度為又設求：（1）Y的分布律；（2）計算.解：（1）分布律為-11（2）.8．已知隨機變量的概率密度為求：隨機變量的概率密度函數．解：設Y的分布函數為.當時，，當時，，因此Y的概率密度函數為四、證明題1.設隨機變量服從正態分布，證明：仍然服從正態分布，并指出參數.解：教材59頁例題.2.設隨機變量服從參數為的指數分布，證明：服從上的均勻分布．解：設的分布函數為取值范圍為.當時，，當時，，當時，，因此Y的概率密度函數為

第三次作業一、填空題1．的分布律為010.160.842.，.3．應填0.4．應填．5．應填6.應填3.7.應填．二、選擇題1.（B）.2．（B）．3．（A）.4．（C）．5．（D）．6．（D）.7.（B）.三、計算題1．設隨機變量在1，2，3，4四個數字中等可能取值，隨機變量在中等可能地取一整數值，求的概率分布，并判斷和是否獨立．解：的概率分布為YX12341000200304可以驗證和不相互獨立．2.設隨機事件A、B滿足令求（1）的概率分布；（2）的概率分布.解：（1），，，，.（2）可能取值為0，1，2.3．已知隨機變量和相互獨立，且都服從正態分布，求常數，使得概率．解：X的概率密度為Y的概率密度為由于和相互獨立，從而聯合概率密度為，解得.4．已知二維隨機變量的概率密度為（1）求系數；（2）條件概率密度；（3）判斷和是否相互獨立；（4）計算概率；（5）求的密度函數.解：（1）由得.（2）關于X和Y的邊緣概率密度分別為從而X和Y是相互獨立的，（3）相互獨立.（4）.（5）的分布函數為所以5.設隨機變量在區間上服從均勻分布，令求的聯合分布律.解：可能取的值為（-1，-1），（-1，1），（1，-1），（1，1），，，.6．設的概率密度求的概率密度.解：設的分布函數為，取值范圍，當時，，當時，，當時，.從而的概率密度

第四次作業一、填空題1．應填-0.2,2.8，,13.4．2．應填．3．應填．4．應填13.5．應填．6．應填．7．應填，．二、選擇題1.（C）.2．（D）．3．（B）．4．（B）．5．（A）．6.（C）．7.（C）.三、計算題1．設隨機變量的概率密度為已知，求的值．解：由以下三個條件解得.2．設二維隨機變量 的概率密度為求和．解：，，,，，，.3．設二維離散型隨機變量的聯合概率分布為0120010020（1）寫出關于、及的概率分布；（2）求和的相關系數.解：（1）012PY012PXY014P（2）,,，，.4．在數軸上的區間內任意獨立地選取兩點與，求線段長度的數學期望．解：設兩點的坐標分別為X，Y，則（X，Y）的聯合概率密度為所求.5．一民航送客車載有20名乘客自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車，假設每位旅客在各個車站下車的可能性相同，且各個旅客是否下車相互獨立，求停車次數的數學期望．解：引入隨機變量，令從而，又，所以（次）.6．假設由自動流水線加工的某種零件的內徑（毫米）服從正態分布，內徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品；銷售合格品獲利，銷售不合格品虧損，已知銷售一個零件的利潤（元）與零件內徑的關系為．問平均內徑取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大．解：令（mm）即平均內徑取10.9mm時，銷售一個零件的平均利潤最大．

第五次作業一、填空題1．應填.2．應填0.975.二、選擇題1．（B）．2．（D）．三、計算題1．某保險公司多年的統計資料表明，在索賠客戶中被盜索賠占20%，以表示在隨機抽查的100個索賠客戶中因被盜向保險公司索賠的戶數.（1）寫出的概率分布；（2）利用德莫佛—拉普拉斯定理，求被盜索賠客戶不少14戶且不多于30戶的概率的近似值．解：（1）索賠戶為X，則，（2）由DeMoivre-Laplace極限定理2.設某種元件使用壽命（單位：小時）服從參數為的指數分布，其平均使用壽命為40小時，在使用中當一個元件損壞后立即更換另一個新的元件，如此繼續下去.已知每個元件的進價為元，試求在年計劃中應為購買此種元件作多少預算，才可以有95%的把握保證一年夠用（假定一年按照2000個工作小時計算）.解：假設一年需要個元件，則預算經費為元.設每個元件的壽命為則個元件使用壽命為由題意又由獨立同分布中心極限定理，故年預算至少應為元.3．一條生產線的產品成箱包裝，每箱的重量時隨機的.假設平均重50千克，標準差為5千克.如果用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每量車最多可以裝多少箱，才能保證不超載的概率大于0.977，（.）解：設是裝運的第箱的重量，是箱數，且解得，即最多可以裝98箱.

第六次作業一、填空題1．應填，，．2．應填，，2．3．應填，．4．應填5．應填二、選擇題1．（B）．2．（C）．3．（D）．4.（D）.5．（A）．三、計算題1．從正態總體N(20,3)中分別抽取容量為10和15的兩個相互獨立樣本，求樣本均值之差的絕對值大于0.3的概率．解：設樣本均值為，則，2．設是來自正態總體的樣本，試求k，使．解：因為.所以，查表得，即3．設是取自正態總體的一個樣本，樣本均值為，樣本方差為，解：從而4．設總體的概率密度為為總體的樣本，求樣本容量，使．解：先求的分布函數，代入有解得，故取4.5.已知二維隨機變量服從二維正態分布，判斷服從的概率分布.解：由題意,且相互獨立，從而,即，由F分布的定義

第七次作業一、填空題1．應填．2．應填．3．應填．4．應填．5．35．二、選擇題1．（B）．2．（D）．3．（C）．4．（A）．三、計算題1．設總體具有概率分布123P其中是未知參數，已知來自總體的樣本值為1，2，1.求的矩估計值和最大似然估計值．解：,令，解得的矩估計值為.似然函數為，令，解得的最大似然值為.2．設總體X的分布函數為其中參數是未知參數，又為來自總體的隨機樣本，（1）求的概率密度函數；（2）求參數的矩估計量；（3）求參數的最大似然估計量.解：由題意（1）（2）.（3）設為一組樣本值，似然函數為當時，令，得的最大似然估計量為四、證明題1．設總體的均值及方差都存在，與均未知，是的樣本，試證明不論總體服從什么分布，樣本方差都是總體方差的無偏估計．證明：教材145~146頁.2．設是總體的樣本，，存在，證明估計量,,都是總體的均值的無偏估計量；并判斷哪一個估計量更有效．證明：，因為最小，所以更有效.

第八次作業一、填空題1．應填．2．應填．3．應填．二、選擇題1．（B）．2．（C）．3．（C）．三、計算題1．某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖，包得的袋裝葡萄糖的凈重（單位kg）是一個隨機變量，它服從正態分布，當機器工作正常時，其均值為0.5kg，根據經驗知標準差為kg（保持不變），某日開工后，為檢驗包裝機的工作是否正常，從包裝出的葡萄糖中隨機地抽取9袋，稱得凈重為0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512試在顯著性水平下檢驗機器工作是否正常．解：按題意需要檢驗：，：，檢驗統計量，拒絕域，經計算，故拒絕原假設，即認為機器工作不正常.2．設某次考試的考生成績服從正態分布，從中隨機抽取36位考生的成績，算得平均成績為66.5分，標準差為15分，問在顯著性水平下，是否可以認為這次考試全體考生的平均成績為70分？并給出檢驗過程．解：設這次考試的考生成績為X，則.：，：，檢驗統計量，拒絕域，經計算，故接受原假設，即可以認為這次考試全體考生的平均成績為70分.3．設有甲，乙兩種零件，彼此可以代用，但乙種零件比甲種零件制造簡單，造價低，經過試驗獲得抗壓強度（單位：）為甲種零件：88,87,92,90,91，乙種零件：89,89,90,84,88.假設甲乙兩種零件的抗壓強度均服從正態分布，且方差相等，試問兩種零件的抗壓強度有無顯著差異（取）？解：本題是在顯著性水平下，檢驗假設：，：，檢驗統計量，拒絕域，經計算，故接受原假設，即認為兩種零件的抗壓強度無顯著差異.4．某無線電廠生產的一種高頻管，其中一項指標服從正態分布，從一批產品中抽取8只，測得該指標數據如下：66,43,70,65,55,56,60,72,（1）總體均值，檢驗（?。唬?）總體均值未知時，檢驗（?。猓罕绢}是在顯著性水平下，檢驗假設：，：，（1）均值時，檢驗統計量，拒絕域：，經計算，故接受原假設，即認為.（2）均值未知時，檢驗統計量，拒絕域：，經計算，故接受原假設，即認為.

綜合練習一一、填空題1．應填．2．應填．3．應填．4．應填．5．應填．6．應填．二、選擇題1．（D）．2．（C）．3．（D）．4．（A）．三、解答下列各題1．某倉庫有十箱同樣規格的產品，其中有五箱、三箱、兩箱依次是由甲、乙、丙廠生產的，且甲、乙、丙三廠生產該產品的次品率依次為，今從這十箱產品中任取一箱；再從中任取一件產品．（1）求取到的產品是合格品的概率；（2）若已知抽取的產品是合格品，求它由甲廠生產的概率．解：設A表示“取到的產品是合格品”，表示“產品分別是甲、乙、丙廠生產的”，（1）（2）2．設隨機變量的概率密度為，求（1）常數；（2）的分布函數．解：（1）由，得.（2）的分布函數3．求總體的容量分別為10和15的兩個獨立樣本均值之差的絕對值大于0.3的概率．解：設樣本均值為，則，4．設總體的概率密度為其中是未知參數，又為取自總體的簡單隨機樣本，求的矩估計量和最大似然估計量.解：（1），令，得的矩估計量.（2）設為一組樣本值，則似然函數為，取對數，令得的最大似然估計量5．一電子儀器由兩部件構成，以和分別表示兩部件的壽命（單位：千小時），已知和的聯合分布函數為問和是否相互獨立．解：關于X和Y的邊緣分布函數分別為因為，所以和相互獨立．6．設隨機變量的聯合概率密度為求：（1）關于和的邊緣概率密度和；（2）求.解：（1）關于X的邊緣概率密度為關于的邊緣概率密度（2）.7．設對某目標連續射擊，直到命中次為止，每次射擊的命中率為，求子彈消耗量的數學期望．解：設表示第次命中到第次命中之間消耗的子彈數，則，且，從而.8.設二維隨機變量在區域上服從均勻分布，求的概率密度.方法1：，方法2：

綜合練習二一、填空題1．應填．2．應填37．3．應填0.8．4．應填．5．應填．二、選擇題1．（B）．2．（C）．3．（A）．4．（C）．5.（D）．三、設隨機變量的分布函數為（1）求的概率密度；（2）計算．解：（1）（2）.四、已知甲、乙兩箱中裝有同種產品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產品放入乙箱后，求從乙箱中任取一件產品是次品的概率.解：的可能取值為0，1，2，3，的分布律為即設表示事件“從乙箱中任取一件產品是次品”，由于構成完備事件組，由全概率公式有五、設二維隨機變量的概率密度為求：（1）系數；（2）邊緣概率密度；（3）和是否獨立.解：（1）；（2）（3），不相互獨立.六、設為來自正態總體的一組簡單隨機樣本，記，，統計量證明是的無偏估計量.解：（1），所以是的無偏估計量.第三章作業一1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現正面的次數，以Y表示三次中出現正面次數與出現反面次數之差的絕對值.試寫出X和Y的聯合分布律.【解】X和Y的聯合分布律如表：XXY01231003002.盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數，以Y表示取到白球的只數，求X，Y的聯合分布律。XY01230001020解：（X，Y）的可能取值為(i,j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i+j≥2，聯合分布律為P{X=0,Y=2}=P{X=1,Y=1}=P{X=1,Y=2}=P{X=2,Y=0}=P{X=2,Y=1}=P{X=2,Y=2}=P{X=3,Y=0}=P{X=3,Y=1}=P{X=3,Y=2}=03.設隨機變量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1）常數A；（2）隨機變量（X，Y）的分布函數；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】（1）由得A=12（2）由定義，有(3)4.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數為fY（y）=求：（1）X與Y的聯合分布密度；（2）P{Y≤X}.題6圖【解】（1）因X在（0，0.2）上服從均勻分布，所以X的密度函數為而所以(2)

第三章作業二1.袋中有五個號碼1，2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y.（1）求X與Y的聯合概率分布；（2）X與Y是否相互獨立？【解】（1）X與Y的聯合分布律如下表YYX345120300(2)因故X與Y不獨立2.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1）試確定常數c；（2）求邊緣概率密度.【解】（1）得.(2)3.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為fY（y）=（1）求X和Y的聯合概率密度；（2）設含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實根的概率.【解】（1）因故題14圖(2)方程有實根的條件是故X2≥Y，從而方程有實根的概率為：4.設隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.題11圖【解】所以

第三章作業三1.設隨機變量（X，Y）的分布律為XXY012345012300.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05（1）求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；（2）求V=max（X，Y）的分布律；（3