《高等代數》課程教案

課次|1|學時|2授課類型其它(復習課)

授課章、節：復習

0教學目的、要求：系統復習多項式、行列式、向量相關性、矩陣等理論，加深理解。

教學重點及難點：多項式、行列式、矩陣、方程組

教學基本內容教學方法

一、多項式系統、復

1、一元多項式(零多項式)次數.相等，運算律，一元多項式環.2、整除的概念及其基本性習與串

質.帶余除法；多項式的整除性不因數域的擴大而改變.最大公因式和互素：最大公因講

式，互素的概念；最大公因式的存在性和求法一根轉相除法：3、不可約多項式；性質：

WeF[x]np(x)|f(x),or(p(x)J(x))=I,p(x)\f(x)g(x)np(x)\f(x)orp(x)\g(x);整系數多項式在上可

約。它在整數環上可約.Eisenstein判斷法.因式分解及唯一性定理；次數大于零的復

系數多項式分解成一次因式的乘積：次數大于零的實系數多項式分解成一次因式和二次

不可約因式的乘積.重因式.4、多項式函數，根和重根；余數定理；整系數多項式的有理

根；實系數多項式虛根成對；代數基本定理.F[x]中〃次多項式(〃20)在至多有〃個根.函

o數相等與多項式相等一致.

二、行列式理論

1.〃級排列逆序，逆序數與奇偶排列；加個〃級排列，奇偶各半，對換改變奇偶性，

任意一個〃級排列都可以經過一些對換變成自然順序.2.n級行列式的概念；3.行列式

的性質：行列互換，不變；互換行(列)，變號；數乘某行(列)，等于數乘這個行列式；把

某行(列)的倍數加到另一行(列)，不變；按行(列)分解為兩個行列式的和；兩行(列)成

比例，行列式等于零；4.行列式依行依列展開代數余子式，用代數余子式計算行列式

5、行列式計算定義法；化為三角形；化為范得蒙行列式；拆行(列)法；降級法；加邊

法；數學歸納法；遞推法；因式分解法

三、向量與方程組

1、向量的線性關系〃維向量及線性運算，線性組合，線性相關，線性無關，極大線性

無關組，秩，向量組等價.向量組線性相關的充要條件是其中有一個向量是可以由其余

的向量的線性表出.設向量組中每一個向量都是向量組尸|,772,…，民的線

0性組合，而且，>$,那么向量組%必線性相關-2、矩陣的秩矩陣的秩=矩

陣行(列)向量組的秩=不為零的子式的最大級數.初等變換不改變矩陣的秩.3、線性方

程組的解線性方程組有解當且僅當系數矩陣與增廣矩陣秩相同.解的個數：rankA=〃時

有唯一解；rank>4=r<“時，九是線性方程組的一個特解，…是導出組的基礎

解系,線性方程組的任一解/表成/=%+3+&%+…+廉,％_,其中《,月,…，射是任意數.

齊次線性方程組總有解：rankA=〃時只有零解；rankA=廠<〃時有無窮多解，任意

n-r個線性無關的解向量小用2,…中I是它的基礎解系，全部解可表示為

"訪+32+…其中占，出2,…人-r是任意的數?

四、矩陣

1.運算加法與減法；數乘；乘法，并且若A,6是〃級矩陣，則可逆矩陣.

2.矩陣運算律加法交換與結合律，乘法的結合律，數乘與乘法關于加法的分配律；

(A-1)-1=A,(A-)'=(4尸=B''A-'.EA=A,AE=A,(A+B)'=^+B',蝴=樹，(AB)'=幽,注意：

AB^BA-,4。0,3#0,可能43=0.3.幾種特殊的矩陣數量矩陣，對角矩陣，三

角形矩陣，對稱矩陣，反對稱矩陣.4.n級矩陣A可逆O初等變換化A為單位矩陣

0A為初等矩陣的乘積<=>A的秩為n=A的行列式|A隹0.初等變換求逆矩陣

5.秩(A±B)V秩A+秩秩(A8)Vmin(秩A,秩6.三種初等矩陣P(i(c)),

分別對應于三種初等變換.對矩陣A作初等行(列)變換，相當于用對應的初等矩陣左

(右)乘A.矩陣等價及標準形.7.分塊矩陣的運算.

作業、討論題、思考題認真向量與矩陣有關運算和性質

參考資料、主要外語詞匯:

1、《高等代數與解析幾何》，陳志杰編，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代數習題解》，楊子胥編，濟南：山東科技出版社，1986.

課后小結：

《高等代數》課程教案

課次2|學時|2授課類型理論課

授課章、節：第五章二次型§1二次型的矩陣表示

0教學目的、要求：理解二次型和非退化線性替換；掌握二次型的矩陣表示及二次型與對稱矩陣的

對應關系；理解合同概念及性質.

教學重點及難點：矩陣的合同關系

教學基本內容教學方法

一、二次型及其矩陣表示黑板講

2授

二次齊次多項式/0”2，,X?)=(ZIIXI+2O12I]X,++2%,X再++2fl2?X2X?+

稱為數域尸上的一個〃元二次型，簡稱二次型.

定義1設再，…,％;必，…，y“是兩組文字，系數在數域P中的一組關系式

fx,=cliyi+cl2y2+---+cil,yn,

產=。2函+。22%+…稱為由的,...,x,到“的一個線性替換，或

〔X”+%2y2+…+的“丁"

簡稱線性替換.如果系數行列式匕卜0,那么線性替換⑵就稱為非退化的.線性替換

把二次型變成二次型.

A=(%)&=%)為二次型，％")==ZZ%%F的矩陣，A'=A.二

i=lj=l

次型和它的矩陣是相互唯一決定的.

設二次型f(xl,x2,---,xn)=X'AX,A=A',作非退化線性替換X=CY得到一個

%,為，…，L的二次型YVK

二、矩陣的合同關系

定義2數域P上兩個〃階矩陣A,B稱為合同的，如果有數域P上可逆的〃x〃矩陣C,

0使得6=C：4C.

合同是矩陣之間的一個關系，具有以下性質：

1)自反性:任意矩陣A都與自身合同.

2)對稱性：如果8與A合同，那么A與8合同.

3)傳遞性:如果8與A合同，C與8合同，那么。與A合同.

經過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原來二次型的矩陣是合同的。

在變換二次型時，總是要求所作的線性替換是非退化的。從幾何上看，這一點是自

然的因為坐標變換一定是非退化的。一般地，當線性替換

X=CY

是非退化時，由上面的關系即得

Y^C'X.

這也是一個線性替換，它把所得的二次型還原.這樣就使我們從所得二次型的性質可以

推知原來二次型的一些性質.

作業、討論題、思考題認真思考二次型與矩陣的對應關系

參考資料、主要外語詞匯：

1、《高等代數與解析幾何》，陳志杰編，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代數習題解》，楊子胥編，濟南：山東科技出版社，1986.

二次型quadraticform非退化non-degenerate

相合congruent對稱矩陣symmetricmatrix

課后小結：

《高等代數》課程教案

課次3I學時2授課類型理論課

授課章、節：第五章二次型§2標準形

教學目的、要求：熟練掌握化二次型為標準形的方法（配方法、初等變換法）。

教學重點及難點：深刻理解矩陣的標準形形

教學基本內容教學方法

一、二次型的標準型黑板講

最簡單二次型是只包含平7?■項的二次型4才+4后+…+d“x；,矩陣為對角形.矩授

陣為對角形的二次型就只包含耳'方項.

定理1數域P上任意一個二次型都可以經過非化線性替力奐變成平方和的形式.

定理2在數域P上，任意一個對稱矩陣都合同于一對南3版陣.

對于任意一個對稱矩陣A味不可以找到一個可逆矩陣（:使CAC成對角矩陣.

二次型…，％）經過非退化線性替換所變成的平方和稱為標準形.

例化二次型/（內，％2,…，2%3為標準形.

x?）=2X]X2+2%43-6%例題講

二、配方法解

項=M-匯6；“”八1~a\\a\2…~a\\a\n

1.%]工0,這時的變量替換為j=201???0，則相

%=力，'

(00…>)

.x“=y?■

z2&2n

應合同變換A—AC,,令a=（%2，‘％”),A=

2ann7

A=(a'\'x_1-aa

xx，這里a為a的轉置，L:“T為〃一1級3R位矩陣.

U,j一[oE.

i\n-i

/'iy；[/?ua\10、

0C；AC產\0

、。E，J、04-"Maj黑板講

-q]aE_八。)\-d^a'a)

nx授

矩陣A-ai^aa是對稱矩陣,存在可出匕矩陣G使G'（A1-a^ara)G-。為對角形，令

Jl0r%40]

，于是G'C"GG二

\oG“（）A-a~'a&人0G)、0D),

這是一個對角矩陣，我們所要伊

J可逆女巨F2二就是C=CjC2

2.a”=0但只有一個%.。0.

3.a(i=0,i=1,2,…，〃，但有一q)豐0,"1.

4.aXj-0J=1,2,???,?.后面幾種情況通過初等變換化為第一種情況.

例化二次?x成標,隹形.例題講

S}/(XPX2,X3)=2A1%2+2xt3-6X2X3

解

作業、討論題、思考題P232123,4,5,6P2341,2

參考資料、主要外語詞匯：

1、《高等代數與解析幾何》，陳志杰編，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代數習題解》，楊子胥編，濟南：山東科技出版社，1986.

二次型quadraticform非退化non-degenerate對稱矩陣symmetricmatrix

課后小結：

《高等4代數》課程教案

課次4學時2授課類型理論課

授課章、節：第五章二次型§3唯一性

0教學目的、要求：完整論述，上二次型的規范形的唯一性；正確理解慣性定理。

教學重點及難點：規范形與慣性定理

教學基本內容教學方法

在一個二次型的標準形中，系數不為零的平方項的個數是唯-一確定的，與所作的非黑板講

退化線性替換無關，二次型矩陣的秩有時就稱為二次型的秩.在-?-般數域內，二次型的授

標準形不是唯一的，與所作的非退化線性替換有關.

設/（再，彳2,…,X“）是一個復系數的二次型，經過一適當的:IE退化線性替，奐后，

/（%，工2,變成標準形dtyf+d2y>2+??+4/；,410,z=1,2,…，r.再作一非

退化線性替換變成Z；+Z；+…+Z；稱為復二次型f（xl,x2,---,x“）的規范形.

定理3任意一個復系數的二次型經過一適當的非退化線性替換可以變成規范形，且規范

形是唯一的.

任一復數對稱矩陣合同于（E,oy兩個復數對稱矩陣合同當且僅？，它們的秩相等.

olooj

設/（山，々，…,招）是一實系數的二次型.經過某一個非退化線性替換，變成，樂準形

+,,+%#-%+15*---------------d￡,其中d；>0,i=l,2,---,r；r是

/（司,工2,…,X“）的矩陣的秩.變成Z：+Z；H-----FZ；-Z；+1-,—Z；,稱為實一二次型

/（不，》2產、七,）的規范形.顯然規范形完全被r,p這兩個數所決;t.

定理4任意一個實數域上的二次型，經過一適當的非退化線性替換可以變成規范形，且

規范形是唯一的.這個定理通常稱為慣性定理.

定義3在實二次型/（王，々，…，％）的規范形中，正平方項的個數p稱為

…,x“）的正慣性指數；負平方項的個數r-p稱為/（;：1，無2,…,后）的負慣性

黑板講

指數；它們的差/?一（八一.）=—尸稱為的符-手差.

2/?授

慣性定理也可敘述為：實二次型的標準形中系數為正的平方-項的個數是唯一的，它

等于正慣性指數，而系數為負的平方項的個數就等于負慣性指數.

定理5（1）任一復對稱矩陣A都合同于對角矩陣其中廠=rankA.

1。o）

（Ep00、

（2）任一實對稱矩陣A都合同于一個下述形式的對角矩陣

o-Ef0

、oo0,

唯一確定的p,廠一〃分別稱為A的正、負慣性指數，它們的差2/2-r稱為A的東F號差.

o

作業、討論題、思考題—345,6—3,4,5深刻理解二次型的規范形與慣性定理

參考資料、主要外語詞匯：

1、《高等代數與解析幾何》，陳志杰編，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代數習題解》，楊子胥編，濟南：山東科技出版社，1986.

二次型quadraticform負慣性指數negativeindexofinertia

符號差Signature正慣性指數positiveindexofinertia

課后小結：

《高等代數》課程教案

課次5學時2授課類型理論課

授課章、節：第五章二次型§4正定二次型

0教學目的、要求：掌握正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣的等價條件。

教學重點及難點：正定、半正定的充要條件

教學基本內容教學方法

0

o

一、正定二次型黑板講

定義4實二次型〃片,々,…,x“)稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數授

。112,…,％都有f(Cl,C2,---,Cn)>0.

2

實二次型/(x1,x2,--,xn)=</lxl+</,%2+…+4/；是正定的當且僅當4>0,Z=1,2,…,”.設

實二次型〃為,々，，%)=X'AX是正定的，經過非退化實線性替換乂=。丫變成二次

型g(M，%，，笫)=y'3y也正定?非退化實線性替換保持正定性不變?

二、正定二次型的判別

定理6實數域上二次型…是正定的o它的正慣性指數等于〃?

正定二次型???,*“)的規范形為y：+y；+…+y>

定義5實對稱矩陣A稱為正定的，如果二次型XAX正定.

實對稱矩陣是正定的。它與單位矩陣合同.

推論正定矩陣的行列式大于零.

“11%即

定義6子式的a22a2iz._,稱為矩陣A=(%)〃”的順序主子式.

片=(I—1,2,,〃)0

即%%

定理7實二次型/(百,々,…,々)=￡￡詢尤為=*如是正定的0矩陣4的順序主子式

；=|；=i

全大于零.黑板講

授

例判定二次型/(%,,x2,x3)=5x：+%；+5x；+4X1X2-8%I%3-4%工3是否正定.

定義7設了a,/,…,x")是一實二次型，如果對于任意一組不全為零的實數d&，…，1都

有…,c“)<0,那么/(為①「2,,)稱為負定的；如果都有/(q,C2,…,％)20,那么

/(為,々,…，與)稱為半正定的；如果都有/(c”％…，C.)40,那么，再,稱為半

負定的；如果它既不是半正定又不是半負定，那么/(士用,…,x,)就稱為不定的.

定理8對于實二次型/(七,乙,…,x,)=XAX,其中A是實對稱的，下列條件等價：

(1)/(花,々，…,招)是半正定的；(2)它的正慣性指數與秩相等；

(3)有可逆實矩陣C,使(4］其中4N0,i=L2,；

C'AC=出_

\d?

(4)有實矩陣。使4=。'。.(5)A的所有主子式皆大于或等于零；

注意，僅有順序主子式大于或等于零是不能保證半正定性的.

?設A為〃級實矩陣，且網。()，則A'A,A4'都是正定矩陣.

?設A為〃xm實矩陣，則A'A,A4'都是半正定矩陣.

?設A是〃級正定矩陣，則k>0時，AL后AA*.A"都是正定矩陣.

作業、討論題、思考題P2339,10,14,15,16,17P1353,4,5,6,7,8深刻理解正定的充要條件

參考資料、主要外語詞匯:

1、《高等代數與解析幾何》，陳志杰編，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代數習題解》，楊子胥編，濟南：山東科技出版社，1986.

二次型quadraticform正定positivedefinite正規形normalform

不定的indefinite半負定negativesemidefinite半正定positivesemidefinite

課后小結:

《高等代數》課程教案

課次習題課

6學時2授課類型

授課章、節：第五章二次型

0

教學目的、要求：深刻理解二次型與對稱矩陣合同誘導的標準形、規范形

教學重點及難點：教學內容的總結、典型解題方法的學習

教學基本內容教學方法

一、教學內容系統總

二次型與矩陣：二次型；二次型的矩陣和秩；非退化線性替換；矩陣的合同.（1）非退化線性替

結

換把二次型變為二次型.（2）二次型/（西,々,…,x.）=X21X可經非退化的線性替換X=CY

全面復

化為二次型/'（%%???,%）=y"QB=C4c.（3）矩陣的合同關系滿足反身性、對稱性和傳遞性.

述

標準形：配方法.（1）數域P上任意一個二次型/（不芻，…，匕）都可經過非退化的線性替換

X=。化為標準形式4y：+4仃+…+4曰⑵數域P上，任意對稱矩陣都合同對角矩陣.

唯一性：復二次型的規范形；實二次型的規范形，正慣性指數、負慣性指數、符號差.（1）任

一復二次型人知與,…,匕）都可經過非退化的線性替換x=c化為唯一的規范形式

z；+z；+…+z；,r=/的秩.兩個復對稱矩陣合同o它們的秩相等.（2）慣性定律:任一實二次

型/（xpx2,???,%?）都可經過非退化線性替換X=CY化為唯一的規范形式

z；+…+z；-z1]----z：,r=f的秩，P為/（8用,…,X"）的慣性指數.兩個“元實二次型可經過

非退化線性替換互化O它們分別有相同的秩和慣性指數.（4）實二次型的標準形式中系數

為正的平方項的個數等于正慣性指數唯一確定，系數為負的平方項的個數等于負慣性指數.

正定二次型正定二次型，正定矩陣；順序主子式，負定二次型，半正定二次型，半負定二

次型，不定二次型.（1）非退化線性替換保持實二次型的正定性不變.（2）實二次型

f（xl,x2,---,xn）=X'AX正定當且僅當①A與單位矩陣合同，即存在可逆矩陣P,使得

A=PP；或②A的順序主子式都大于零.或③/（七,々,…,七,）的正慣性指數等于〃?

二、例題講解

例1.設A,B是”階對稱矩陣,B是非奇異的.又設|4一/1例=0的根4，/12「一，4,互異，X,分

別是齊次線性方程組（A-4B）=0的非零解（i=l,2,…,〃），證明：x-x”…,X“線性無關.

例2.設A,B,C為〃階方陣，且”正定，證明：C-BN-'B也是正定的.

[8C）舉例講

2解

例3.設實二次型/（天用，七）=￡（%8++ainx?）,證明：/的秩等于矩陣A=（%）的秩.

1=1

例4.設A是n階實對稱矩陣，證明：存在正實數c使對任一個實n維向量X都有R網4cXX

例5.證明：⑴如果￡￡q,x,x,（a,=",）是正定二次型，心、、"是負定二次型；（2）如果

A是正定矩陣，那么同〈a,,,11,這里2T是4的〃一1階的順序主子式.（3）如果A是正定

矩陣，那么年aua22…j⑷如果7=%）是〃階實對稱矩陣，則|中=立《+…+*）.

;=1

例6.證明：實對稱矩陣A是半正定的充分必要條件是A的一切主子式全大于或等于零（所

“宿44a'A

謂k階主子式是指形為a,,a,.,…的k階子式，其中.

IioJT14'IK

作業、討論題、思考題：系統總結矩陣合同與二次型理論

參考資料、主要外語詞匯：

1、《高等代數習題解》，楊子胥編，濟南：山東科技出版社，1986.

課后小結：

《高等4代數》課程教案

課次7|學時|2授課類型理論課

0I

授課章、節：第六章線性空間§1集合映射

教學目的、要求：掌握映射、單射、滿射(映上的映射)、一一映射、逆映射等概念

教學重點及難點：映射與變換滿足結合律及可逆的條件

教學基本內容教學方法

一、集合黑板講

集合是數學中最基本的概念之一，所謂集合就是指作為整體看的一堆東西.組成集合的授

東西稱為這個集合的元素.所謂給出一個集合就是規定這個集合是由哪些元素組成的.

列舉法、描述法.M={0|a具有的性質}不包含任何元素的集合稱為空集，記作

如果兩個集合M與N含有完全相同的元素，那么它們就稱為相等，記為.如果

集合M的元素全是集合N的元素，那么M就稱為N的子集合，記為MuN或

NnM.MuN,NuM=M=N.設M和N是兩個集合,既屬于M又屬于N

的全體元素所成的集合稱為M與N的交，記為MPIN.屬于集合M或者屬于集合N

的全體元素所成的集合稱為M與N的并，記為MUN.

二、映射

設兩個集合M,AT,所謂集合M到集合M'的一個映射就是指一個法則，它使M中每

一個元素。都有中一個確定的元素,與之對應.如果映射(7使元素與元素

a&M對應，那么就記為cr(a)=a',a’就為a在映射cr下的像，而a稱為,在映射er下

的一個原像.M至，自身的映射，有時也稱為M到自身的變換.集合M到集合“'的

兩個映射cr及？，若對M的每個元素。都有cr(a)=r(a),則稱它們相等，記作cr=r.例題講

例1整數集，2偶數集，定義＜7(〃)=2”,凡e，這是到2的一個映射.解

例2MeP"x",定義,(A)=|A|,AwM.這是M到P的一個映射.

例3MeP"x",定義=E單位矩陣，這是P到M的一個映射.

例4W(x)e”幻，定義cr(/(x))=f\x)這是P[x]到自身的一個映射.

例5設3a0eM',定義cr(a)=/，aeA/.這是"到W的一個映射.

例6設M是一個集合，定義＜r(a)=a,aeM.即o?把M的每個元素都映到它自身，

稱為M的恒等映射或單位映射，記為1”.

例7函數y=/(x)是實數集合到自身的映射，函數是映射的特殊情形.

黑板講

對于映射可以定義乘法，設。及r分別是集合M到M',M'到M"的映射，乘積r定

授

義為(Tcr)(a)=r(cr(a)),a&M,即相繼施行er和T的結果，w是M到的一個映

射.對于集合集合M到M'的任何一個映射b顯然都有=crl,%=(7.映射的乘法

適合結合律.設cr,7,〃分別是集合M到“'，M'到AT,AT到的映射，映射乘

法的結合律就是(〃力＜7=設cr是集合M到M'的一個映射，用cr(M)代表M

在映射cr下像的全體，稱為M在映射cr下的像集合.顯然a(M)uA/'.如果

b(M)=M',映射cr稱為映上的或滿射.如果在映射。下，M中不同元素的像也一定

不同，即由4N。2一定有b(4)W(7(/)，那么映射(T就稱為1—1的或單射.一個映射如

果既是單射又是滿射就稱1-1對應或雙射.對于M到M'的雙射CT可以自然地定義它

的逆映射，記為因為。為滿射，所以M'中每個元素都有原像，又因為。是單射，

所以每個元素只有一個原像，定義crT(a')=a，當b(a)=a'.顯然，＜7^是A/'到M的

一個雙射，并且0"一?=1,"，皿一|=1"，.不難證明，如果cr,r分別是M到AT,到

的雙射，那么乘積q就是M到M”的一個雙射.

作業、討論題、思考題P2651,2深刻理解映射與變換的運算與意義

參考資料、主要外語詞匯：

1、《高等代數與解析幾何》，陳志杰編，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代數習題解》，楊子胥編，濟南：山東科技出版社，1986.

集合set變換transformation單射injection滿射surjection

雙射bijection單位映射identitymapping逆映射Inversemapping

課后小結：

《高等4代數》課程教案

課次8學時2授課類型理論課

授課章、節：第六章線性空間§2線性空間的定義與簡單性質

0教學目的、要求：正確理解和掌握線性空間的定義及性質，會判斷一個代數系統是否是線性空間。

教學重點及難點：線性空間的定義

教學基本內容教學方法

一、線性空間的定義.

例1在解析幾何里，討論過三維空間中的向量.平行四邊形法則所定義的向量的加法，

實數與向量的乘法.這兩種運算空間上向量的上述兩種運算滿足八條運算規律.

例2.數域P上一切矩陣所成的集合對于矩陣的加法和數與矩陣的乘法滿足上述規律.

定義1令V是一個非空集合，P是一個數域.在集合V的元素之間定義了一種代數運

算，叫做加法：對于V中任意兩個向量a與。，在V中都有唯一的一個元素?與它們對

應，稱為a與，的和，記為y=a+〃.在數域P與集合V的元素之間還定義了一種運

黑板講

算，叫做數量乘法：對于數域P中任一個數人與V中任一個元素a,在V中都有唯一的

授

一個元素6與它們對應，稱為攵與a的數量乘積，記為8-ka.如果加法與數量乘法滿

o足下述規則，那么V稱為數域P上的線性空間.

加法滿足下面四條規則：1)a+/3=p+a\2)(a+￡)+y=a+(6+/);3)F中有一

個元素0,VawY,都有a+0=a(具有這個性質的元素0稱為V的零元素)；4)

VaG匕m/?G匕使得a+Z?=O(￡稱為a的負元素).

數量乘法滿足下面兩條規則：5)la=a；6)k(la)-(kl)a；

數量乘法與加法滿足下面兩條規則：7)(A+/)a=hr+/a；8)k(a?=ka+k"

在以上規則中，％]等表示數域P中任意數；a,夕,丁等表示集合V中任意元素.

例3數域尸上一元多項式環P[x],按通常的多項式加法和數與多項式的乘法，構成一個

數域P上的線性空間.如果只考慮其中次數小于〃的多項式，再添上零多項式也構成數

域P上的一個線性空間，用“表示.例題講

例4元素屬于數域P的〃2X"矩陣，按矩陣的加法和數與矩陣的數量乘法，構成數域P解

0上的一個線性空間，用P"'x"表示.

例5全體實函數，按函數加法和數與函數的數量乘法，構成一個實數域上的線性空間.

例6數域P按照本身的加法與乘法，即構成一個自身上的線性空間.

例7以下集合對于所指定的運算是否作成實數域R上的線性空間：

1)平面上全體向量所作成的集合V,對于通常向量的加法和如下定義的純量乘

法：aa=0,ae7?,?GV.

2)R上〃次多項式的全體所作成的集合W對于多項式的加法和數與多項式的乘法.

例8設V是正實數集，R為實數域.規定：a十戶=a^(即a與月的積