7．1角與弧度課程標準學習目標（1）知道弧度制是角的另外一種度量制，能說出以半徑為基準度量角，知道度量單位即1弧度角是如何定義的，能畫出1弧度的角，了解這樣定義的合理性；能說出兩種度量制之間的換算關系是，并能準確進行角的兩種度量之間相互轉化；了解其中蘊含的數形結合的數學思想方法，和數學知識之間的聯系性；（2）能感受到引入弧度制的意義，比如，可以使弧長公式和扇形面積公式變得比較簡潔．（1）掌握正角、負角和零角的概念，理解任意角的意義.（2）熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念，會用集合符號表示這些角．（3）理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進行正確的轉換.（4）掌握并能應用弧度制下的扇形弧長公式和面積公式．知識點01任意角的概念1、角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形．正角：按逆時針方向旋轉所形成的角．負角：按順時針方向旋轉所形成的角．零角：如果一條射線沒有做任何旋轉，我們稱它形成了一個零角．知識點詮釋：角的概念是通過角的終邊的運動來推廣的，既有旋轉方向，又有旋轉大小，同時沒有旋轉也是一個角，從而得到正角、負角和零角的定義．2、終邊相同的角、象限角終邊相同的角為角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合．那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．知識點詮釋：（1）終邊相同的前提是：原點，始邊均相同；（2）終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；（3）終邊相同的角有無數多個，它們相差的整數倍．3、常用的象限角角的終邊所在位置角的集合x軸正半軸y軸正半軸x軸負半軸y軸負半軸x軸y軸坐標軸是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以【即學即練1】（2023·高一校考課時練習）已知集合A={|為銳角}，B={|為小于的角}，C={|為第一象限角}，D={|為小于的正角}，則下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D知識點02弧度制1、弧度制的定義長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1（單位可以省略不寫）．2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧長公式：（是圓心角的弧度數），扇形面積公式：．知識點詮釋：（1）角有正負零角之分，它的弧度數也應該有正負零之分，如等等，一般地，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0，角的正負主要由角的旋轉方向來決定．（2）角的弧度數的絕對值是：，其中，是圓心角所對的弧長，是半徑．【即學即練2】（2023·全國·高一專題練習）把下列角度與弧度進行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)題型一：角的概念例1．（2023·新疆塔城·高一塔城地區第一高級中學校考階段練習）下列說法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角例2．（2023·高一校考課時練習）下列各命題正確的是（

）A．第一象限角都是銳角B．三角形的內角必是第一，二象限角C．不相等的角終邊必不相同D．相等的角終邊相同例3．（2023·高一課時練習）射線繞端點逆時針旋轉到達位置，由位置繞端點旋轉到達位置，得，則射線旋轉的方向與角度分別為（）A．逆時針， B．順時針，C．逆時針， D．順時針，變式1．（2023·高一課時練習）下列說法正確的有幾個（

）（1）第一象限的角都是銳角；（2）銳角都是第一象限的角；（3）銳角是大于小于的角；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個變式2．（2023·高一課時練習）時間經過1小時50分鐘，則分針轉過的角度是（

）A． B． C． D．變式3．（2023·高一課時練習）手表走過2小時，時針轉過的角度為（

）A．60° B．60° C．30° D．30°【方法技巧與總結】理解與角的概念有關問題的關鍵關鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉方向與大小．另外需要掌握判斷結論正確與否的技巧，判斷結論正確需要證明，而判斷結論不正確只需舉一個反例即可．題型二：終邊相同的角的表示例4．（2023·全國·高一課堂例題）在區間內找出與下列各角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．(1)；(2)；(3)．例5．（2023·全國·高一隨堂練習）寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫出來：(1)；(2)；(3)；(4)．例6．（2023·全國·高一隨堂練習）在范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是哪個象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．變式4．（2023·全國·高一隨堂練習）下列角中哪些角與角的終邊相同：(1)；(2)；(3)；(4).變式5．（2023·全國·高一隨堂練習）寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并找出集合中適合不等式的元素：(1)；(2)．變式6．（2023·全國·高一隨堂練習）分別寫出終邊在y軸正半軸、y軸負半軸和y軸上的角的集合．變式7．（2023·全國·高一課堂例題）已知角的頂點與直角坐標系的原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，作出下列各角，指出它們是第幾象限角，并指出在范圍內與其終邊相同的角．(1)；(2)；(3)；(4)．變式8．（2023·高一校考課時練習）已知，.(1)指出各自終邊所在的象限；(2)在內找出與終邊相同的所有角.【方法技巧與總結】在0°～360°范圍內找與給定角終邊相同的角的方法（1）把任意角化為（且）的形式，關鍵是確定k．可以用觀察法（的絕對值較小），也可用除法．（2）要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構建不等式求出k的值．題型三：角所在象限的研究例7．（2023·全國·高一課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．例8．（2023·高一課時練習）若角是第二象限角，試確定，的終邊所在位置．例9．（2023·高一課時練習）若，，試確定，分別是第幾象限角．變式9．（2023·高一課時練習）設是第一象限角，試探究：（1）一定不是第幾象限角？（2）是第幾象限角？變式10．（2023·高一課時練習）已知角的終邊在第四象限.（1）試分別判斷、是哪個象限的角；（2）求的范圍.變式11．（2023·全國·高一隨堂練習）已知角α的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．【方法技巧與總結】已知的范圍，確定的范圍，一般應先將的范圍用不等式表示，然后再兩邊同除以，根據的取值進行分類討論，以確定的范圍，討論角的范圍時要做到不重不漏，尤其對象限界角應引起注意．題型四：象限角的判定例10．（2023·甘肅天水·高一秦安縣第一中學校考期末）若是第二象限角，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角例11．（2023·高一單元測試）若為第二象限角，則的終邊所在的象限是（

）A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限例12．（2023·遼寧遼陽·高一統考期末）若是第二象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角變式12．（2023·內蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中學校考期中）若角是第二象限角，則角的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式13．（2023·江西景德鎮·高一統考期中）角是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限變式14．（2023·遼寧大連·高一大連二十四中校考期中）若，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角變式15．（2023·高一課時練習）已知角的頂點與原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，是第幾象限角（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【方法技巧與總結】判斷一個角在第幾象限或哪條坐標軸上的一般方法（1）若的絕對值比較大，可通過加上或減去360°的整數倍得到內或內的一個角β；（2）判斷所在象限，則在第幾象限，就在第幾象限．題型五：區域角的表示例13．（2023·高一課時練習）已知角的終邊在如圖所示的陰影區域內，則角的取值范圍是．例14．（2023·高一課時練習）已知角的終邊在下圖中，所表示的范圍內（不含邊界），則角的范圍為.例15．（2023·安徽蕪湖·高一校考階段練習）如圖所示，終邊落在陰影部分區域（包括邊界）的角的集合是．變式16．（2023·山東煙臺·高一校考期末）如圖所示，終邊落在陰影部分包括邊界的角的集合是.變式17．（2023·黑龍江哈爾濱·高一尚志市尚志中學校考階段練習）如圖所示，寫出頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在陰影部分內的角的集合．變式18．（2023·高一課時練習）如圖，用弧度制表示終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合：.變式19．（2023·山西太原·高一太原五中校考階段練習）用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內（含邊界）的角的集合是．變式20．（2023·湖北武漢·高一武漢中學校考階段練習）集合中，角所表示的取值范圍（陰影部分）正確的是（填序號）.【方法技巧與總結】區域角的寫法可（1）按逆時針方向找到區域的起始和終止邊界；（2）由小到大分別標出起始、終止邊界對應的一個角，，寫出所有與，終邊相同的角；（3）用不等式表示區域內的角，組成集合．題型六：弧度制與角度制的互化例16．（2023·全國·高一隨堂練習）把下列各角的角度化成弧度：(1)；(2)；(3)；(4)．例17．（2023·全國·高一隨堂練習）把下列各角從度化為弧度：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例18．（2023·甘肅武威·高一統考開學考試）將下列角度與弧度進行互化：(1)(2)(3)(4)(5)【方法技巧與總結】①在進行角度與弧度的換算時，關鍵是抓住πrad=180°，這一關系．②用弧度作為單位時，常出現，如果題目沒有特殊的要求，應當保留的形式，不要寫成小數．③角度制與弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正確的寫法．題型七：扇形的弧長及面積公式的應用例19．（2023·浙江寧波·高一校考階段練習）已知一扇形的圓心角為，周長為，面積為，弧長為,所在圓的半徑為．(1)若，，求扇形的弧長；(2)若，，求扇形的半徑和圓心角．例20．（2023·山西晉中·高三介休一中校考階段練習）圓心角為2的扇形的周長為4，則此扇形的面積為.例21．（2023·山東棗莊·高一統考期末）已知弧長為的弧所對圓心角為，則這條弧所在圓的半徑為cm．變式21．（2023·重慶長壽·高一重慶市長壽中學校校考期中）已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數是2，則扇形的周長為.變式22．（2023·四川廣元·高一四川省蒼溪中學校校考期中）半徑為2cm，圓心角為所對的弧長為cm.變式23．（2023·上海嘉定·高一校考期中）已知扇形的半徑為，圓心角為，則該扇形的面積為；變式24．（2023·上海奉賢·高一校考期中）已知半徑為的扇形的圓心角為，則扇形的面積為．變式25．（2023·甘肅定西·高一統考期末）如圖1，折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，其展開的平面圖如圖2的扇形，其中，則扇面（曲邊四邊形）的面積是.變式26．（2023·內蒙古呼倫貝爾·高一海拉爾第一中學校考期末）已知扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的面積為．【方法技巧與總結】有關扇形的弧長，圓心角，面積的題目，一般是知二求一的題目，解此類題目的關鍵在于靈活運用，兩組公式．題型八：扇形中的最值問題例22．（2023·遼寧沈陽·高一校聯考期中）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為r．(1)若，求扇形的弧長．(2)若扇形的周長為24，當為多少弧度時，該扇形面積最大？求出最大面積．例23．（2023·上海寶山·高一校考階段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．(1)若，，求扇形的弧長l；(2)若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時扇形的圓心角．例24．（2023·高一課時練習）若扇形的周長是一定值C厘米（）．求證：該扇形面積有最大值，并求出面積最大時圓心角的弧度數．變式27．（2023·高一單元測試）一個扇形的周長是20cm，問它的半徑r多大時，此扇形的面積最大？最大面積為多少？變式28．（2023·高一課時練習）如圖，點是圓上的點.(1)若，，求劣弧的長；(2)已知扇形的周長為，求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小.變式29．（2023·全國·高三專題練習）已知扇形的圓心角是，半徑是，弧長為.(1)若，求扇形的面積；(2)若扇形的周長為，求扇形面積的最大值，并求此時扇形圓心角的弧度數．變式30．（2023·江西贛州·高一贛州市贛縣第三中學校考階段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長為．(1)已知扇形的周長為，面積是，求扇形的圓心角；(2)若扇形周長為，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．【方法技巧與總結】解決最值問題采用消元思想或二次函數思想加以解決一、單選題1．（2023·湖北·高一湖北省天門中學校聯考階段練習）已知相互嚙合的兩個齒輪，大輪50齒，小輪20齒，當大輪轉動一周時小輪轉動角度是（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽銅陵·高三統考階段練習）已知扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽·池州市第一中學校聯考模擬預測）已知角終邊上有一點，則為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角4．（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市大豐區新豐中學校考階段練習）磚雕是我國古建筑雕刻中的重要藝術形式，傳統磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣.如圖所示，一扇環形磚雕，可視為將扇形OCD截去同心扇形OAB所得圖形，已知，，，則該扇環形磚雕的面積為（

）.A． B． C． D．5．（2023·廣東廣州·高三廣東廣雅中學校考階段練習）扇子是引風用品，夏令必備之物.我國傳統扇文化源遠流長，是中華文化的一個組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來慢慢演變為納涼、娛樂、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛的有團扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹做扇面而制成的.完全打開后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長為，則該折扇的扇面的面積為（

）

圖1

圖2A． B． C． D．6．（2023·上海嘉定·高一校考期中）若是第一象限角，則下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．7．（2023·高一課時練習）一個半徑為R的扇形，它的周長是，則這個扇形所含弓形的面積是（

）A． B．C． D．8．（2023·四川達州·高一校考階段練習）已知為第二象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）如圖，A，B是單位圓上的兩個質點，點B的坐標為(1，0)，∠BOA＝60°，質點A以1rad/s的角速度按逆時針方向在單位圓上運動，質點B以2rad/s的角速度按順時針方向在單位圓上運動，則（

）A．經過1s后，∠BOA的弧度數為＋3B．經過s后，扇形AOB的弧長為C．經過s后，扇形AOB的面積為D．經過s后，A，B在單位圓上第一次相遇10．（2023·遼寧撫順·高一撫順縣高級中學校校考階段練習）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（2023·湖北黃岡·高一校考階段練習）若是第二象限的角，則的終邊所在位置可能是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限12．（2023·海南省直轄縣級單位·高一校考期末）已知{第一象限角}，{銳角}，{小于的角}，那么A、B、C關系是（）A． B．C． D．三、填空題13．（2023·湖北武漢·高三華中師大一附中校考期中）杭州第屆亞洲運動會，于年月日至月日在中國浙江省杭州市舉行，本屆亞運會的會徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江