第2章第07講解題技巧專題：二次根式中的化簡求值(6類熱點題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一利用二次根式的非負性求值】 1【類型二利用乘法公式進行計算】 4【類型三整體代入求值】 6【類型四新定義型運算】 9【類型五二次根式的分母有理化】 12【類型六復合二次根式的化簡】 18【類型一利用二次根式的非負性求值】例題：（2023春·河北唐山·八年級統考期中）若直角三角形兩直角邊長分別為a，b，且滿足，則該直角三角形的斜邊長為．【變式訓練】1．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯考期末）已知則的值是．2．（2023春·廣東肇慶·七年級校考期中）已知，則的算術平方根是．3．（2023·全國·八年級假期作業）如果實數、滿足，則的平方根為．4．（2023春·安徽池州·八年級統考期末）已知直角三角形兩邊的長滿足，則第三邊的長．5．（2023春·吉林松原·八年級校聯考期中）已知實數a，b滿足關系式．(1)求a，b的值；(2)求的算術平方根．6．（2023春·江西南昌·七年級校考期末）已知a、b、c為的三邊長，且b、c滿足，a為方程的解，求的周長，并判斷的形狀．【類型二利用乘法公式進行計算】例題：（2023春·寧夏吳忠·八年級統考期末）計算：．【變式訓練】1．（2023春·青海果洛·八年級統考期末）計算：．2．（2023春·安徽滁州·八年級校考期中）計算：．3．（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統考期末）計算：4．（2023春·黑龍江大慶·七年級統考期末）計算：(1)；(2)．5．（2023春·江蘇揚州·八年級統考期末）計算：(1)；(2)．【類型三整體代入求值】例題：（2023春·山東臨沂·八年級校考階段練習）已知，求．【變式訓練】1．（2023春·吉林松原·八年級校聯考期中）如果，，那么．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知，那么的值等于．3．（2023春·北京海淀·八年級校考期中）已知，求代數式的值．4．（2023春·廣東東莞·八年級校考階段練習）已知：，求的值．5．（2023春·全國·八年級專題練習）已知，求下列式子的值：(1)；(2)【類型四新定義型運算】例題：（2023春·江蘇泰州·八年級統考期末）對于任意的正數m，n，定義一種新的運算“*”：，則計算的結果為．【變式訓練】1．（2023春·廣西南寧·七年級校聯考期中）對于兩個不相等的實數a、b，定義一種新的運算如下，，如：，那么．2．（2023秋·河北保定·七年級統考期末）定義一種對正整數n的“F運算”：①當n為奇數時，結果為；②當n為偶數時，結果為（其中k是使為奇數的正整數），并且運算重復進行，例如，取，第三次“F運算”的結果是11．

若，（1）第一次“F運算”的結果為；第二次“F運算”的結果為；（2）照這樣運算下去，第2022次“F運算”的結果為．3．（2023秋·山西長治·九年級統考期末）對于任意的正實數和，我們定義新運算：，如：，求：的值．4．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市第十六中學校考期中）定義：我們將與稱為一對“對偶式”．因為，可以有效的去掉根號，所以有一些題可以通過構造“對偶式”來解決．例如：已知，求的值，可以這樣解答：因為，所以．(1)已知：，求：①________；②結合已知條件和第①問的結果，解方程：；(2)代數式中的取值范圍是________，最大值是________，最小值是_________；(3)計算：．【類型五二次根式的分母有理化】例題：（2023春·安徽六安·七年級六安市第九中學校考期中）閱讀材料，并解決問題．定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化．如：將分母有理化，解：原式．運用以上方法解決問題：(1)將分母有理化；(2)觀察上面的解題過程，請直接寫出結果：______．(3)計算的值．【變式訓練】1．（2023春·江蘇連云港·八年級統考期末）像，，兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數式互為有理化因式．例如：與，與，與等都是互為有理化因式．進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．請完成下列問題：(1)化簡：；(2)計算：；(3)比較與的大小，并說明理由．2．（2023春·山西呂梁·八年級統考階段練習）閱讀下面解題過程．例：化簡．解：．請回答下列問題．(1)歸納：請直接寫出下列各式的結果：①__________；②__________．(2)應用：化簡．(3)拓展：__________．含的式子表示，為正整數）3．（2023春·江西贛州·八年級統考期末）在數學興趣小組活動中，小誠和他的同學遇到一道題：已知，求的值他是這樣解答的：，．，．．．請你根據小誠的解題過程，解決如下問題：(1)______；(2)化簡；(3)若，求的值．4．（2023春·河北邢臺·八年級校考期中）【閱讀材料】在二次根式中，如：，，它們的積不含根號，我們稱這樣的兩個二次根式互為有理化因式．于是我們可以利用這樣的兩個二次根式，進行分母有理化（通過分子、分母同乘一個式子，把分母中的根號轉化為有理數的過程），例如：，．【解決問題】(1)化簡的結果為______；(2)已知，．①化簡______，______；②求的值；(3)計算：．【類型六復合二次根式的化簡】例題：（2023春·湖南郴州·八年級校考開學考試）先閱讀材料，然后回答問題．（1）小張同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡經過思考，小張解決這個問題的過程如下：①②③④在上述化簡過程中，第________步出現了錯誤，化簡的正確結果為________；（2）化簡；（3）請根據你從上述材料中得到的啟發，化簡：．【變式訓練】1．（2023春·河南信陽·八年級統考階段練習）閱讀材料：把根式進行化簡，若能找到兩個數，是且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡解：∵∴；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：(1)；(2)2．（2023春·全國·八年級期中）像，……這樣的根式叫做復合二次根式．有一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡，如：；再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：(1)請你嘗試化簡：①___