2023上學(xué)期數(shù)學(xué)論2023上學(xué)期數(shù)學(xué)論姓名：楊麗香、涂蓉學(xué)號(hào)：〔02〕、〔04〕學(xué)院：湖南信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院專(zhuān)業(yè)：計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)指導(dǎo)教師:祝文達(dá)2023年06月06日傳染病一、摘要:描述傳染病的傳播過(guò)程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻，預(yù)防傳染病蔓延的手段，按照傳播過(guò)程和一般規(guī)律，建立模型。利用了數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理等學(xué)科中的定理來(lái)建立微分方程模型。利用的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對(duì)微元而不是直接對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。在我們的實(shí)際問(wèn)題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性并不是很清楚，如果有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)中去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問(wèn)題的微積分方程，然后從數(shù)學(xué)上去求解或分析所建的方程及其解的性質(zhì)，再去與實(shí)際情況相比照，檢驗(yàn)此模型能否刻畫(huà)模擬了某些實(shí)際現(xiàn)象。二、問(wèn)題重述問(wèn)題:有一種傳染病〔如SARS、甲型H1N1〕正在流行。現(xiàn)在希望建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，利用已經(jīng)掌握的一些數(shù)據(jù)資料對(duì)該傳染病進(jìn)行有效地研究，以期對(duì)其傳播蔓延進(jìn)行必要的控制，減少人民生命財(cái)產(chǎn)的損失。考慮如下的幾個(gè)問(wèn)題，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，并進(jìn)行一定的比擬分析和評(píng)價(jià)展望。1、不考慮環(huán)境的限制，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)率是常數(shù)，建立模型求t時(shí)刻的感染人數(shù)。2、假設(shè)環(huán)境條件下所允許的最大可感染人數(shù)為。單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)率是感染人數(shù)的線性函數(shù)，最大感染時(shí)的增長(zhǎng)率為零。建立模型求t時(shí)刻的感染人數(shù)。3、現(xiàn)有衛(wèi)生防疫部門(mén)采集到的某地區(qū)一定時(shí)間內(nèi)一定間隔區(qū)間的感染人數(shù)數(shù)據(jù)〔見(jiàn)下表〕，利用該數(shù)據(jù)確定上述兩個(gè)模型中的相關(guān)參數(shù)，并將它們的預(yù)測(cè)值與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比擬分析〔計(jì)算仿真偏差〕并對(duì)兩個(gè)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)。〔注：該問(wèn)題中，設(shè)最大可感染人數(shù)為2000人〕4、假設(shè)總?cè)丝诳煞譃閭魅静』颊吆鸵赘腥菊撸赘腥菊咭蚺c患病者接觸而得病，而患病者會(huì)因治愈而減少且對(duì)該傳染病具有很強(qiáng)的免疫功能，建立模型分析t時(shí)刻患病者與易感染者的關(guān)系，并對(duì)傳染情況〔如流行趨勢(shì)，是否最終消滅〕進(jìn)行預(yù)測(cè)。三、模型假設(shè)模型一：1)、感染人數(shù)是時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)；2)、單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)是常數(shù)，或單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的感染人數(shù)成正比。模型二：1)、感染人數(shù)是時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)；感染人數(shù)受環(huán)境條件的限制，有一個(gè)最大的可感染人數(shù)。3)、單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)率和感染人數(shù)有關(guān)，是其線性函數(shù)，最大感染時(shí)對(duì)應(yīng)增長(zhǎng)率為零。四、模型建立與求解模型建立模型一：設(shè)t時(shí)刻的感染人數(shù)為，初始時(shí)刻(t=0)的感染者人數(shù)為，感染者的增長(zhǎng)率為r，根據(jù)單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)率是常數(shù)的假設(shè)，t到時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增量為:因此，滿足如下的微分方程：MATLAB>>dsolve(‘Dx=r0*(1-x/xm)*x’,’x(0)=x0’)ans=xm/(1+exp(-r0*t)*(xm-x0)/x0)X=[39,53,72,96,129,171,232,314,386,502,629,760,920,1065,1232]x1=dsolve('Dx=r1*x','x(0)=39')r1=log(53/39)r1=0.3067模型二：仍然設(shè)t時(shí)刻的感染人數(shù)為，初始時(shí)刻的感染者人數(shù)為0，感染者人數(shù)為0時(shí)，感染人數(shù)的增長(zhǎng)率為。根據(jù)單位時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)的增長(zhǎng)率和感染人數(shù)有關(guān)，是其線性函數(shù)的假設(shè)，可得增長(zhǎng)率關(guān)于感染者人數(shù)的線性函數(shù)關(guān)系式：進(jìn)一步，由最大感染時(shí)對(duì)應(yīng)的增長(zhǎng)率為零可確定參數(shù)k的值為：因此，在該模型的假設(shè)下，感染人數(shù)應(yīng)滿足如下的微分方程：MATLAB>>dsolve(‘Dx=r0*(1-x/xm)*x’,’x(0)=x0’ans=xm/(1+exp(-r0*t)*(xm-x0)/x0)模型求解這是一個(gè)非線性微分方程，利用微分方程中的別離變數(shù)法，求得其解為：=X=[39,53,72,96,129,171,232,314,386,502,629,760,920,1065,1232];r1=0.3067;t=0:14;X1=39*exp(r1*t)r2=r2=-log(75933/103933);r2=-log(75933/103933);ans=0.3139;五、模型分析及評(píng)價(jià)模型分析根據(jù)前述微分方程作出dx/dt~x的曲線圖，見(jiàn)圖1-1，這是一條拋物線。由該圖可看出感染人數(shù)增長(zhǎng)率隨感染人數(shù)的變化規(guī)律：增長(zhǎng)率隨著感染人數(shù)的增加而先增后減，在xm/2時(shí)到達(dá)最大。這預(yù)示著傳染病高潮的到來(lái)，是醫(yī)療衛(wèi)生部門(mén)關(guān)注和需要密切注意的時(shí)刻。因?yàn)楦腥救藬?shù)增長(zhǎng)率在一定程度上代表了醫(yī)療衛(wèi)生水平，增長(zhǎng)率越小衛(wèi)生水平越高。所以改善保健設(shè)施、提高衛(wèi)生水平可以推遲傳染病高潮的到來(lái) 將問(wèn)題所給出表中t=0時(shí)刻和t=1時(shí)刻的數(shù)據(jù)代入所建立的兩個(gè)模型中，確定模型中的未知參數(shù)r和，然后再利用它們得到t=2到t=14時(shí)刻的仿真數(shù)據(jù)，進(jìn)一步地可以得到兩個(gè)模型的仿真誤差百分比。兩個(gè)模型仿真效果和性能可以從下面的表和圖中清晰地看出。實(shí)際感染人數(shù)與按兩個(gè)模型計(jì)算的感染人數(shù)的比擬表X=[39,53,72,96,129,171,232,314,386,502,629,760,920,1065,1232]x1=dsolve('Dx=r1*x','x(0)=39')r1=log(53/39)x2=dsolve('Dx=r2*x-r2/2000*x^2','x(0)=39')r2=solve('78000/(39+1961*exp(-r2))=53')r1=0.3067;t=0:14;X1=39*exp(r1*t)r2=-log(75933/103933);fort=0:14;X2(1,t+1)=78000/(39+1961*exp(-r2*t));end;Y1=(X1-X)./X*100;Y2=(X2-X)./X*100;XX=[X;X1;X2;Y1;Y2];Y2=abs(Y1);a=1:15;plot(a,X,'r--',a,X1,'b+-',a,X2,'g.:');legend('原始數(shù)據(jù)','模型1的仿真數(shù)據(jù)','模型2的仿真數(shù)據(jù)','Location','NorthWest');ylabel('感染人數(shù)');xlabel('時(shí)間');axis([1,15,0,3000]);x22=dsolve('Dx=r22*x-r22/2500*x^2','x(0)=39')r22=solve('97500/(39+2461*exp(-r22))=53')r22=-log(95433/130433);fort=0:14;X22(1,t+1)=97500/(39+2461*exp(-r22*t));end;a=1:15;plot(a,X,'r--',a,X1,'b+-',a,X2,'g.:',a,X22,'m-.');legend('原始數(shù)據(jù)','模型1的仿真數(shù)據(jù)','模型2的仿真數(shù)據(jù),xm=2000','模型2的仿真數(shù)據(jù),xm=2500','Location','NorthWest');ylabel('感染人數(shù)');xlabel('時(shí)間');axis([1,15,0,3000]);模型評(píng)價(jià)：建立數(shù)學(xué)模型，通常是要根據(jù)所做出的假設(shè)，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各量之前的等試或不等試關(guān)系，列出表格，畫(huà)出圖像等表達(dá)式用于描述事物的特征。1〕通過(guò)上述分析說(shuō)明，第一個(gè)模型用于短期感染者估計(jì)有較好的近似效果，但不能用于傳染病的長(zhǎng)期預(yù)報(bào)；第二個(gè)模型較為符合實(shí)際情況。2〕同時(shí)說(shuō)明，感染者人數(shù)的增