【中考數學填選重點題型突破】專題三：折線最短問題【備考指南】在中考試卷中，有一類關于折線段的最小值問題，此類題因與實際生活中的最短路徑密切相關，同時在今后的生活中常常會應用到，因此這種問題也是中考常考的一個問題。這種問題應用到的基本數學知識是軸對稱，兩點之間線段最短、垂線段最短等，同時伴隨轉化的數學思想，學生很難熟練掌握，從而考生在解決此類問題時，因無法建模，而導致失分。解決此類問題有沒有一種通俗易懂的方法呢？實際上，我們只要掌握八個字，就可以建立解決此類問題的模型，即：找對稱軸，化折為直。如何找對稱軸呢？通過拐點所在直線，即可確定對稱軸，再利用軸對稱將折線由對稱軸的同側轉化為兩側，最后通過兩點之間線段最短、垂線段最短等知識將折線取直即可.【典例引領】例：如圖，在等邊三角形ABC中，BC邊上的高AD=6，E是高AD上的一個動點，F是邊AB的中點，在點E運動的過程中，存在EB+EF的最小值，則這個最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【分析】以拐點E所在的等邊三角形的高所在的直線為對稱軸，可得到B的對稱點C，連接CF，交AD于點E，此時CF最短，即EB+EF的值最小.【解答】解：連接CF．∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC，∴EB=EC．當C、F、E三點共線時，EF+EC=EF+BE=CF．∵等邊△ABC中，F是AB邊的中點，∴AD=CF=6，∴EF+BE的最小值為6．故選D．【解題指導】本題主要考查了等邊三角形的軸對稱性質和勾股定理的應用等知識，熟練掌握和運用等邊三角形的性質以及軸對稱的性質是解決本題的關鍵．解題時注意，最小值問題一般需要考慮兩點之間線段最短或垂線段最短等結論．變式訓練1：如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．2+2【答案】B【分析】根據軸對稱確定最短路線問題，作點P關于BD的對稱點P′，連接P′Q與BD的交點即為所求的點K，然后根據直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質可知P′Q⊥CD時，PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：作點P關于BD的對稱點P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，∵AB=4，∠A=120°，∴點P′到CD的距離為4×=2，∴PK+QK的最小值為2，故選：B．【解題指導】本題主要考查了菱形的性質、軸對稱、平行線間的距離等知識，利用“化折為直”的轉化思想是解題的關鍵.變式訓練2：如圖，已知正方形ABCD的邊長是4，點E是AB邊上一動點，連接CE，過點B作BG⊥CE于點G，點P是AB邊上另一動點，則PD+PG的最小值為_____．【答案】213-2【分析】作DC關于AB的對稱點D′C′，以BC中的O為圓心作半圓O，連D′O分別交AB及半圓O于P、G．將PD+PG轉化為D′G找到最小值．【解答】如圖：取點D關于直線AB的對稱點D′，以BC中點O為圓心，OB為半徑畫半圓，連接OD′交AB于點P，交半圓O于點G，連BG，連CG并延長交AB于點E，由以上作圖可知，BG⊥EC于G，PD+PG=PD′+PG=D′G，由兩點之間線段最短可知，此時PD+PG最小，∵D′C=4，OC′=6，∴D′O=42∴D′G=213-2∴PD+PG的最小值為213-2故答案為：213【解題指導】本題考查了軸對稱的性質、直徑所對的圓周角是直角、線段和的最小值問題等，綜合性較強，能靈活利用相關知識正確添加輔助線是解題的關鍵.通常解此類問題都是將線段之和轉化為固定兩點之間的線段和最短.【強化訓練】1．如圖，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC邊的中點，P，M分別是AC，AB上的動點，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是（）A．6 B．33 C．26 D．4.5【答案】C【分析】如圖，作點E關于AC的對稱點E′，過點E′作E′M⊥AB于點M，交AC于點P，由PE+PM=PE′+PM=E′M知點P、M即為使PE+PM取得最小值的點，利用S菱形ABCD=12AC?BD=AB?E′M求得E′M【解答】解：如圖，作點E關于AC的對稱點E′，過點E′作E′M⊥AB于點M，交AC于點P，則點P、M即為使PE+PM取得最小值的點，則有PE+PM=PE′+PM=E′M，∵四邊形ABCD是菱形，∴點E′在CD上，∵AC=62，BD=6，∴AB=32由S菱形ABCD=12AC?BD=AB?E′M得12×62×6=33?E′解得：E′M=26，即PE+PM的最小值是26，故選C．【解題指導】本題考查了軸對稱——最短路徑問題，涉及到菱形的性質、勾股定理等，確定出點P的位置是解題的關鍵.2．如圖，在正方形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，P為對角線BD上的一個動點，則下列線段的長等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DE C．BD D．AF【答案】D【分析】點E關于BD的對稱點E′在線段CD上，得E′為CD中點，連接AE′，它與BD的交點即為點P，PA+PE的最小值就是線段AE′的長度；通過證明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解．【解答】解：過點E作關于BD的對稱點E′，連接AE′，交BD于點P．∴PA+PE的最小值AE′；∵E為AD的中點，∴E′為CD的中點，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠ADE′=90°,∴DE′=BF，∴ΔABF≌ΔADE′，∴AE′=AF.故選D.【解題指導】本題考查了軸對稱--最短路線問題、正方形的性質．此題主要是利用“兩點之間線段最短”和“任意兩邊之和大于第三邊”．因此只要作出點A（或點E）關于直線BD的對稱點A′（或E′），再連接EA′（或AE′）即可．3．如圖，∠AOB=60°，點P是∠AOB內的定點且OP=3，若點M、N分別是射線OA、OB上異于點O的動點，則△PMN周長的最小值是（）A．362 B．332 C．6 【答案】D【分析】作P點分別關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD分別交OA、OB于M、N，如圖，利用軸對稱的性質得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用兩點之間線段最短判斷此時△PMN周長最小，作OH⊥CD于H，則CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三邊的關系計算出CD即可．【解答】解：作P點分別關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD分別交OA、OB于M、N，如圖，則MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此時△PMN周長最小，作OH⊥CD于H，則CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=12OC=3CH=3OH=32∴CD=2CH=3．故選D．【解題指導】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題：熟練掌握軸對稱的性質，會利用兩點之間線段最短解決路徑最短問題．4．在△ABC中，若O為BC邊的中點，則必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依據以上結論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，點P在以DE為直徑的半圓上運動，則PF2+PG2的最小值為（）A．10 B．192 C．34 D．【答案】D【分析】設點M為DE的中點，點N為FG的中點，連接MN，則MN、PM的長度是定值，利用三角形的三邊關系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出結論．【解答】解：設點M為DE的中點，點N為FG的中點，連接MN交半圓于點P，此時PN取最小值．∵DE=4，四邊形DEFG為矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=12DE=2∴NP=MN-MP=EF-MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故選D．【解題指導】本題考查了點與圓的位置關系、矩形的性質以及三角形三變形關系，利用三角形三邊關系找出PN的最小值是解題的關鍵．5．如圖，已知拋物線y=ax2-4x+c(a≠0)與反比例函數y=9x的圖象相交于B點，且B點的橫坐標為3，拋物線與y軸交于點C(0,6)，A是拋物線y=ax2-4x+c的頂點，P點是x軸上一動點，當PA+PB最小時，P點的坐標為_______【答案】(125，【分析】根據題意作出合適的輔助線，然后求出點B的坐標，從而可以求得二次函數解析式，然后求出點A的坐標，進而求得A＇的坐標，從而可以求得直線A＇B的函數解析式，進而求得與x軸的交點，從而可以解答本題【解答】解：作點A關于x軸的對稱點A＇，連接A＇B，則A＇B與x軸的交點即為所求，∵拋物線y=ax2-4x+c(a≠0)與反比例函數y=9x的圖象相交于點B，且B點的橫坐標為3，拋物線與y軸交于點C（0,6∴點B（3,3），∴a×解得，a=1∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2∴點A的坐標為（2,2），∴點A＇的坐標為（2，-2），設過點A＇（2，-2）和點B（3,3）的直線解析式為y=mx+n∴{∴直線A＇B的函數解析式為y=5x-12,令y=0,則0=5x-12得x=125故答案為：（125【解題指導】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征、最短路徑問題，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．6．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=62，點D，E分別是邊BC，AC上的動點，則DA+DE的最小值為_____．【答案】16【分析】如圖，作A關于BC的對稱點A'，連接AA'，交BC于F，過A'作AE⊥AC于E，交BC于D，則AD=A'D，此時AD+DE的值最小，就是A'E的長，根據相似三角形對應邊的比可得結論．【解答】解：如圖，作A關于BC的對稱點A'，連接AA'，交BC于F，過A'作AE⊥AC于E，交BC于D，則AD=A'D，此時AD+DE的值最小，就是A'E的長；Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=62，∴BC=32+S△ABC=12AB?AC=12BC?∴3×62=9AF，AF=22，∴AA'=2AF=42，∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，∴∠A'=∠C，∵∠AEA'=∠BAC=90°，∴△AEA'∽△BAC，∴AA'A'E∴42∴A'E=163即AD+DE的最小值是163故答案為：163【解題指導】本題考查軸對稱﹣最短問題、三角形相似的性質和判定、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識，解題的關鍵是靈活運用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題.7．如圖，等腰△ABC的底邊BC=20，面積為120，點F在邊BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分線，若點D在EG上運動，則△CDF周長的最小值為______．【答案】18【分析】如圖作AH⊥BC于H,連接AD，由EG垂直平分線段AC推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得當A、D、F共線時DF+DC最小，最小值就是線段AF的長．【解答】解：∵EG垂直平分線段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴當A、D、F共線時DF+DC最小，最小值就是線段AF的長．∵1∴AH=12∵AB=AC,AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF=∴DF+DC的最小值為13∴△CDF的周長最短=13+5=18.故答案為：18.【解題指導】本題考查的知識點是軸對稱-最短路線問題,線段垂直平分線的性質,等腰三角形的性質，解題關鍵是學會運用軸對稱，解決最短問題.8．如圖，在?ABCD中，AD=7，AB=23，∠B=60°．E是邊BC上任意一點，沿AE剪開，將△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四邊形AEFD，則四邊形AEFD周長的最小值為_____．【答案】20【分析】當AE⊥BC時，四邊形AEFD的周長最小，利用直角三角形的性質解答即可．【解答】解：當AE⊥BC時，四邊形AEFD的周長最小，∵AE⊥BC，AB=23，∠B=60°，∴AE=3，BE=3，∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF=BC=AD=7，∴四邊形AEFD周長的最小值為：14+6=20，故答案為：20.【解題指導】本題考查平移的性質，解題的關鍵是確定出當AE⊥BC時，四邊形AEFD的周長最小．9．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形內部有一動點P滿足S△PAB=13S矩形ABCD，則點P到A、B兩點的距離之和PA+PB的最小值為______【答案】42【分析】首先由S△PAB=13S矩形ABCD，得出動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，作A關于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB【解答】解：設△ABP中AB邊上的高是h．∵S△PAB=13S矩形ABCD∴12AB?h=13AB?∴h=23AD=2∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，∴BE=AB即PA+PB的最小值為42．故答案為：42．【解題指導】本題考查了軸對稱-最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質，勾股定理，兩點之間線段最短的性質．得出動點P所在的位置是解題的關鍵．10．如圖拋物線y=x2+2x﹣3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線對稱軸上任意一點，若點D、E、F分別是BC、BP、PC的中點，連接DE，DF，則DE+DF的最小值為_____．【答案】3【分析】連接AC,與對稱軸交于點P,此時DE+DF最小，求解即可.【解答】解：連接AC,與對稱軸交于點P,此時DE+DF最小，∵點D、E、F分別是BC、BP、PC的中點，∴DE=在二次函數y=x2+2x﹣3中，當x=0時，y=-3,當y=0時，x=-3或x=1.即AOA=OC=3,AC=點P是拋物線對稱軸上任意一點，則PA=PB,PA+PC=AC,PB+PC=3DE+DF的最小值為：1故答案為：3【解題指導】考查二次函數圖象上點的坐標特征，三角形的中位線，勾股定理等知識點，找出點P的位置是解題的關鍵.11．如圖，在ΔABC中，AB=AC，AO⊥BC于點O，OE⊥AB于點E，以點O為圓心，OE為半徑作半圓，交AO于點F.若點F是AO的中點，OE=3，點P是BC邊上的動點，當PE+PF取最小值時，BP的長為__________.【答案】3.【分析】作B關于BC的對稱點G，交BC于H，連接FG交BC于P，此時PE+PF最小.通過證明ΔEHP∽ΔFOP即可求解【解答】解：∵OE=OF=3且F是OA的中點∴AO=6，∵OE⊥AB∠EAO=300，∠EOF=60作B關于BC的對稱點G，交BC于H，連接FG交BC于P，此時PE+PF最小∴∠B=∵EO=3∴EG=3，EH=32∵EG⊥BC，FO⊥BC∴ΔEHP∽ΔFOP∴EHFO=∵BO=HP+OP=3∴3HP=323∴BP=3【解題指導】本題主要考查了最短路徑問題.找出點E的對稱點G是解決本題的關鍵.12．如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊AD，BC的中點，連接DF，過點E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點G．過點H作MN∥CD，分別交AD，BC于點M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點P是MN上一點，求△PDC周長的最小值是__________．【答案】10+226．【分析】先證△DEG∽△CDF可得CF=2DG，再作點C關于NM的對稱點K，連接DK交MN于點P，連接PC，此時△PDC的周長最短．周長的最小值為：CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴DGCF=DEDC=∴CF=2DG．作點C關于NM的對稱點K，連接DK交MN于點P，連接PC，此時△PDC的周長最短．周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．∵CD=AD=10，ED=AE=5，DG=52，EG=525，DH=DE?DG∴EH=2DH=25，∴HM=DH?EHDE=2∴DM=CN=NK=DH2在Rt△DCK中，DK=CD2+CK2∴△PCD的周長的最小值為10+226．【解題指導】本題考查正方形的性質、軸對稱最短問題、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決折線最短問題．13．反比例函數y=kx（k為常數，且k≠0）的圖象經過點A（1，3）、B（3，m）．在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，則點P的坐標為__________【答案】（52，0【分析】先把A點坐標代入y=kx求出k得到反比例函數解析式；然后把B（3，m）代入反比例函數解析式求出B點坐標；再作A點關于x軸的對稱點A′，連接BA′交x軸于P點，則A′（1，﹣3），利用兩點之間線段最短可判斷此時此時PA+PB的值最小，再利用待定系數法求出直線BA′的解析式，然后求出直線與x軸的交點坐標即可得到P【解答】解：把A（1，3）代入y=kx得k=1×3=3∴反比例函數解析式為y=3x把B（3，m）代入y=3x得3m=3，解得m=1∴B點坐標為（3，1）；作A點關于x軸的對稱點A′，連接BA′交x軸于P點，則A′（1，﹣3），∵PA+PB=PA′+PB=BA′，∴此時PA+PB的值最小，設直線BA′的解析式為y=mx+n，把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得m+n=-33m+n=1，解得m=2∴直線BA′的解析式為y=2x﹣5，當y=0時，2x﹣5=0，解得x=52∴P點坐標為（52，0【解題指導】本題考查了用待定系數法求反比例函數的解析式、最短路徑問題，熟練掌握待定系數法求函數解析式是解題的關鍵.14．如圖，在平面直角坐標系中有三點（1，2），（3，1），（-2，-1），其中有兩點同時在反比例函數y=kx的圖象上，將這兩點分別記為A，B，另一點記為C，設點C關于直線AB的對稱點為D，P是x軸上的一個動點，則PC＋PD的最小值是【答案】34.【分析】利用待定系數法確定k值、C點坐標，及一次函數解析式，然后作D關于x軸的對稱點D′（0，-4），連接CD′交x軸于P，此時PC+PD的值最小，為CD′的長.【解答】解：∵反比例函數y=kx∴A（1，2），B（-2，-1），C（3，1）∴k=2．設直線AB的解析式為y=mx+n，則有m+n+2-2m+n解得m＝∴直線AB的解析式為y=x+1∵C、D關于直線AB對稱，∴D（0，4）作D關于x軸的對稱點D′（0，-4），連接CD′交x軸于P，此時PC+PD的值最小，最小值=CD′=32【解題指導】本題考查反比例函數圖象上的點的特征，一次函數的性質、反比例函數的性質、軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法確定函數解析式，學會利用軸對稱解決最短問題．15．如圖，一次函數y=-12x+52的圖像與反比例函數y=kx(k＞0)的圖像交于A