頁第四節(jié)數(shù)列求和核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.與等差、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)相結(jié)合，考查數(shù)列的求和，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2．與不等式的證明相結(jié)合，考查數(shù)列的求和，凸顯數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．方法一分組轉(zhuǎn)化法求和若數(shù)列的通項為分段函數(shù)或幾個特殊數(shù)列通項的和或差的組合等形式，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法，就是對原數(shù)列的通項進行分解，分別對每個新的數(shù)列進行求和后再相加減．[典例]已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設bn＝2an＋(﹣1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和．[解](1)當n＝1時，a1＝S1＝1；當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝eq\f(n2＋n,2)﹣eq\f(n－12＋n－1,2)＝n.a1也滿足an＝n，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(﹣1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(﹣1＋2﹣3＋4﹣…＋2n)．記A＝21＋22＋…＋22n，B＝﹣1＋2﹣3＋4﹣…＋2n，則A＝eq\f(21－22n,1－2)＝22n＋1﹣2，B＝(﹣1＋2)＋(﹣3＋4)＋…＋[﹣(2n﹣1)＋2n]＝n.故數(shù)列{bn}的前2n項和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n﹣2.[方法技巧]分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型[提醒]某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論．[針對訓練]1．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2﹣an＝2﹣2(﹣1)n，n∈N*，則S2019的值為()A．2020×1011﹣1B．1010×2019C．2019×1011﹣1D．2019×1011解析：選C由遞推公式，可得：當n為奇數(shù)時，an＋2﹣an＝4，數(shù)列{an}的奇數(shù)項是首項為1，公差為4的等差數(shù)列；當n為偶數(shù)時，an＋2﹣an＝0，數(shù)列{an}的偶數(shù)項是首項為2，公差為0的等差數(shù)列，∴S2019＝(a1＋a3＋…＋a2019)＋(a2＋a4＋…＋a2018)＝2019×1011﹣1.2．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n﹣1＋(﹣1)n(ln2﹣ln3)＋(﹣1)nnln3，求其前n項和Sn.解：Sn＝2(1＋3＋…＋3n﹣1)＋[﹣1＋1﹣1＋…＋(﹣1)n]·(ln2﹣ln3)＋[﹣1＋2﹣3＋…＋(﹣1)nn]ln3，所以當n為偶數(shù)時，Sn＝2×eq\f(1－3n,1－3)＋eq\f(n,2)ln3＝3n＋eq\f(n,2)ln3﹣1；當n為奇數(shù)時，Sn＝2×eq\f(1－3n,1－3)﹣(ln2﹣ln3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,2)－n))ln3＝3n﹣eq\f(n－1,2)ln3﹣ln2﹣1.綜上所述，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋\f(n,2)ln3－1，n為偶數(shù)，,3n－\f(n－1,2)ln3－ln2－1，n為奇數(shù).))方法二裂項相消法求和如果一個數(shù)列的通項為分式或根式的形式，且能拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，那么通過累加將一些正、負項相互抵消，只剩下有限的幾項，從而求出該數(shù)列的前n項和．[典例]在數(shù)列{an}中，a1＝4，nan＋1﹣(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項和Sn.[解](1)證明：nan＋1﹣(n＋1)an＝2n2＋2n的兩邊同時除以n(n＋1)，得eq\f(an＋1,n＋1)﹣eq\f(an,n)＝2(n∈N*)，又eq\f(a1,1)＝4，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首項為4，公差為2的等差數(shù)列．(2)由(1)，得eq\f(an,n)＝2n＋2，∴an＝2n2＋2n，故eq\f(1,an)＝eq\f(1,2n2＋2n)＝eq\f(1,2)·eq\f(n＋1－n,nn＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).[方法技巧]1．用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律(1)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．(2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．2．幾種常見的裂項方式數(shù)列(n為正整數(shù))裂項方式eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋k)))(k為非零常數(shù))eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,4n2－1)))eq\f(1,4n2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))))eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)﹣eq\r(n)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(loga\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))))(a>0，a≠1)logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝loga(n＋1)﹣logan[針對訓練]1．設數(shù)列{an}對n∈N*都滿足an＋1＝an＋n＋a1，且a1＝1，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a28)＋eq\f(1,a29)＝________.解析：因為a1＝1，且an＋1＝an＋n＋a1，則an＋1﹣an＝n＋1，那么an﹣an﹣1＝n(n≥2)，因為an＝(an﹣an﹣1)＋(an﹣1﹣an﹣2)＋…＋(a2﹣a1)＋a1＝n＋(n﹣1)＋…＋2＋1＝eq\f(nn＋1,2)，所以eq\f(1,an)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))).所以eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a28)＋eq\f(1,a29)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,29)－\f(1,30)))＝eq\f(29,15).答案：eq\f(29,15)2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2＝8，Sn＝eq\f(an＋1,2)﹣n﹣1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2×3n,anan＋1)))的前n項和Tn.解：(1)∵a2＝8，Sn＝eq\f(an＋1,2)﹣n﹣1，∴a1＝S1＝eq\f(a2,2)﹣2＝2，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝eq\f(an＋1,2)﹣n﹣1﹣eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)－n))，即an＋1＝3an＋2，又a2＝8＝3a1＋2，∴an＋1＝3an＋2，n∈N*，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，且首項為a1＋1＝3，公比為3，∴an＋1＝3×3n﹣1＝3n，∴an＝3n﹣1.(2)∵eq\f(2×3n,anan＋1)＝eq\f(2×3n,3n－13n＋1－1)＝eq\f(1,3n－1)﹣eq\f(1,3n＋1－1)，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2×3n,anan＋1)))的前n項和Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3－1)－\f(1,32－1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,32－1)－\f(1,33－1)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－1)－\f(1,3n＋1－1)))＝eq\f(1,2)﹣eq\f(1,3n＋1－1).方法三錯位相減法求和如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的．[典例]在①a5＝b4＋2b6，②a3＋a5＝4(b1＋b4)，③b2S4＝5a2b3三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答．設{an}是公比大于0的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，{bn}是等差數(shù)列．已知a1＝1，S3﹣S2＝a2＋2a1，a4＝b3＋b5，________.(1)求{an}和{bn}的通項公式；(2)設Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn，求Tn.[解](1)選條件①：設等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1＝1，S3﹣S2＝a2＋2a1，∴q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1，∵q>0，∴q＝2，an＝2n﹣1.設等差數(shù)列{bn}的公差為d，∵a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b1＋6d＝8，,3b1＋13d＝16，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝1，,d＝1，))∴bn＝n，∴an＝2n﹣1，bn＝n.選條件②：設等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1＝1，S3﹣S2＝a2＋2a1，∴q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1，∵q>0，∴q＝2，an＝2n﹣1.設等差數(shù)列{bn}的公差為d，∵a4＝b3＋b5，a3＋a5＝4(b1＋b4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b1＋6d＝8，,2b1＋3d＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝1，,d＝1，))∴bn＝n，∴an＝2n﹣1，bn＝n.選條件③：設等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1＝1，S3﹣S2＝a2＋2a1，∴q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1，∵q>0，∴q＝2，an＝2n﹣1.設等差數(shù)列{bn}的公差為d，∵a4＝b3＋b5，b2S4＝5a2b3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b1＋6d＝8，,b1－d＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝1，,d＝1，))∴bn＝n，∴an＝2n﹣1，bn＝n.(2)∵an＝2n﹣1，bn＝n，∴Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝1×20＋2×21＋…＋(n﹣1)×2n﹣2＋n×2n﹣1，∴2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n﹣1)×2n﹣1＋n×2n，∴﹣Tn＝1＋21＋22＋…＋2n﹣1﹣n×2n＝eq\f(1－2n,1－2)﹣n×2n＝2n﹣1﹣n×2n，∴Tn＝(n﹣1)·2n＋1.[方法技巧](1)一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法．(2)用錯位相減法求和時，應注意：①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形．②在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn﹣qSn”的表達式．[針對訓練]設{an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求數(shù)列{nan}的前n項和．解：(1)設{an}的公比為q，由題設得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2，所以q2＋q﹣2＝0，解得q＝﹣2或q＝1(舍去)．故{an}的公比為﹣2.(2)記Sn為{nan}的前n項和．由(1)及題設可得，an＝(﹣2)n﹣1.所以Sn＝1＋2×(﹣2)＋…＋n×(﹣2)n﹣1，﹣2Sn＝﹣2＋2×(﹣2)2＋…＋(n﹣1)×(﹣2)n﹣1＋n×(﹣2)n.兩式相減得3Sn＝1＋(﹣2)＋(﹣2)2＋…＋(﹣2)n﹣1﹣n×(﹣2)n＝eq\f(1－－2n,3)﹣n×(﹣2)n.所以Sn＝eq\f(1,9)﹣eq\f(3n＋1－2n,9).eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1．已知數(shù)列{an}滿足：an＋1＝an﹣an﹣1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S2021＝()A．3B．2C．1D．0解析：選C∵an＋1＝an﹣an﹣1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝﹣1，a5＝﹣2，a6＝﹣1，a7＝1，a8＝2，…，故數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項的和為0，故S2021＝336×0＋a2017＋a2018＋…＋a2021＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋2＋1＋(﹣1)＋(﹣2)＝1.故選C.2．在數(shù)列{an}中，若an＋1＋(﹣1)nan＝2n﹣1，則數(shù)列{an}的前12項和等于()A．76B．78C．80D．82解析：選B由已知an＋1＋(﹣1)nan＝2n﹣1，得an＋2＋(﹣1)n＋1an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(﹣1)n(2n﹣1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，結(jié)果分別相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故選B.3．若數(shù)列{an}的通項公式是an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，前n項和為9，則n等于()A．9B．99C．10D．100解析：選B因為an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)﹣eq\r(n)，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(eq\r(2)﹣eq\r(1))＋(eq\r(3)﹣eq\r(2))＋…＋(eq\r(n＋1)﹣eq\r(n))＝eq\r(n＋1)﹣1，令eq\r(n＋1)﹣1＝9，得n＝99.4．已知數(shù)列{an}滿足log2an＝n＋log23，則a2＋a4＋a6＋…＋a20的值為()A．3×(211﹣4)B．3×(212﹣4)C.eq\f(411－4,5)D．411﹣4解析：選D∵log2an＝log22n＋log23＝log2(2n·3)，∴an＝3·2n，a2n＝3·22n＝3·4n，∴a2＋a4＋a6＋…＋a20＝3×(4＋42＋43＋…＋410)＝3×eq\f(41－410,1－4)＝411﹣4.故選D.5．設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝﹣1，eq\f(an＋1,Sn＋1)＝Sn，則S10＝()A.eq\f(1,10)B．﹣eq\f(1,10)C．10D．﹣10解析：選B由eq\f(an＋1,Sn＋1)＝Sn，得an＋1＝SnSn＋1.又an＋1＝Sn＋1﹣Sn，所以Sn＋1﹣Sn＝Sn＋1Sn，即eq\f(1,Sn＋1)﹣eq\f(1,Sn)＝﹣1，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是以eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝﹣1為首項，﹣1為公差的等差數(shù)列，所以eq\f(1,Sn)＝﹣1＋(n﹣1)·(﹣1)＝﹣n，所以eq\f(1,S10)＝﹣10，所以S10＝﹣eq\f(1,10)，故選B.6．在數(shù)列{an}中，a1＝﹣2，a2＝3，a3＝4，an＋3＋(﹣1)nan＋1＝2(n∈N*)．記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S20的值為________．解析：由題意知，當n為奇數(shù)時，an＋3﹣an＋1＝2，又a2＝3，所以數(shù)列{an}中的偶數(shù)項是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10×3＋eq\f(10×9,2)×2＝120.當n為偶數(shù)時，an＋3＋an＋1＝2，又a3＋a1＝2，所以數(shù)列{an}中的相鄰的兩個奇數(shù)項之和均等于2，所以a1＋a3＋a5＋…＋a17＋a19＝(a1＋a3)＋(a5＋a7)＋…＋(a17＋a19)＝2×5＝10，所以S20＝120＋10＝130.答案：1307．有一正項等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，滿足a2a4＝64，S3＝14.設bn＝log2an(n∈N*)．(1)求a1，a2的值，并求出數(shù)列{an}的通項公式；(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列，并說明理由；(3)記cn＝eq\f(1,bnbn＋1)，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.解：(1)由a2a4＝64，得aeq\o\al(2,3)＝64.又∵an>0，∴a3＝8.∵S3＝a1＋a2＋a3，∴a1＋a2＋8＝14，∴a1＋a1q＝6，即a1(1＋q)＝6，∴eq\f(8,q2)(1＋q)＝6，即3q2﹣4q﹣4＝0，解得q＝2或q＝﹣eq\f(2,3)(舍去)．∴a1＝2，a2＝4，an＝2×2n﹣1＝2n(n∈N*)．(2)數(shù)列{bn}為等差數(shù)列．理由如下：由(1)知an＝2n，∴bn＝log2an＝log22n＝n，∴bn＋1＝n＋1，∴bn＋1﹣bn＝1.又b1＝1，∴{bn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．(3)由(2)可知，bn＝n，∴cn＝eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)﹣eq\f(1,n＋1)，∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋(eq\f(1,n)﹣eq\f(1,n＋1))＝1﹣eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).8．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝5，nSn＋1﹣(n＋1)Sn＝n2＋n.(1)求證：數(shù)列{eq