專題12解題技巧專題：不等式(組)中含參數問題壓軸題五種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一根據不等式(組)的解集求參數】 1【類型二利用整數解求參數的取值范圍】 2【類型三根據不等式(組)的解集的情況求參數的取值范圍】 4【類型四整式方程(組)與不等式(組)結合求參數】 6【類型五分式方程與不等式(組)結合求參數】 8【過關檢測】 12【典型例題】【類型一根據不等式(組)的解集求參數】例題：（2023春·安徽合肥·七年級合肥市第四十二中學校考期中）已知關于的不等式的解集如圖所示，則的值等于______【答案】【分析】由數軸得，解不等式得，由此得到，求解即可．【詳解】解：由數軸得，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了已知解集求不等式中的參數，解一元一次方程，正確理解數軸得到解集是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·福建漳州·七年級統考期中）若關于x的不等式的解集是，則a滿足（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據兩邊同時除以，不等號的方向改變，可得．【詳解】解：∵不等式的解集是，∴，解得：．故選：C．【點睛】本題考查了不等式的性質．注意：不等式兩邊同除以同一個負數時，不等號的方向改變．同理，當不等式兩邊同時除以一個數后不等號的方向改變，也可以知道不等式兩邊同時除以的是一個負數．2．（2023春·七年級課時練習）已知不等式組的解集為，則的值為__________．【答案】##0.5【分析】先求出兩個不等式的解集，再根據不等式組的解集列出關于m、n的方程，然后求出m、n，最后代入代數式進行計算即可得解．【詳解】解：，由①可得：，由②可得：，∵不等式組解集為，∴，解得：，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法以及負數指數冪，根據不等式組的解集列出關于m、n的方程是解題的關鍵．【類型二利用整數解求參數的取值范圍】例題：（2023春·浙江寧波·九年級校聯考競賽）若關于x的不等式組共有2個整數解，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式，得，結合不等式組的整數解的情況，得出關于m的不等式組，求解即可．【詳解】解不等式，得，∵關于x的不等式組共有2個整數解，∴這兩個整數解為，∴，解得，故選：B．【點睛】本題考查一元一次不等式組的整數解，解答本題的關鍵是明確題意，得出關于m的不等式組．【變式訓練】1．（2023春·七年級課時練習）已知關于的不等式只有3個正整數解，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解不等式求得不等式的解集，再根據不等式只有三個正整數解，可得到一個關于a的不等式，最后求得a的取值范圍即可．【詳解】解：解不等式，解得：，不等式有三個正整數解，一定是1、2、3，根據題意得：，解得：，故選：A．【點睛】本題主要考查了不等式的整數解，正確求解不等式得到解集是解答本題的關鍵．2．（2023·山東泰安·新泰市實驗中學校考一模）關于的不等式組恰有四個整數解，那么的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可先用表示出不等式組的解集，再根據恰有四個整數解可得到關于的不等組，可求得的取值范圍．【詳解】，解①得：，解②得：，由題意可知原不等式組有解，∴原不等式組的解集為：，∵不等式組恰有四個整數解，∴整數解為：0、1、2、3，∴，故選：C【點睛】本題主要考查解不等式組，求得不等式組的解集是解題的關鍵，注意恰有四個整數解的應用．【類型三根據不等式(組)的解集的情況求參數的取值范圍】例題：（2023春·七年級課時練習）若關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是_____．【答案】【分析】先對原不等式組解答，再根據關于x的不等式組無解，從而可以得到a的取值范圍，本題得以解決．【詳解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，∵關于x的不等式組無解，∴，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查解一元一次不等式組，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級階段練習）若不等式組的解集為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據不等式解集判斷口訣同大取大可知：．【詳解】解：因為兩不等式的解集均為大于號，根據同大取大可知．故選：D．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習）若不等式組的解集為，則__________．【答案】2【分析】先解不等式組可得，再結合不等式組的解集可得答案．【詳解】解：由②得，∴不等式組的解集為：，∵，∴，解得：；故答案為：2．【點睛】本題考查的是根據不等式組的解集求解參數的值，理解題意，掌握解一元一次不等式組的方法是解本題的關鍵．【類型四整式方程(組)與不等式(組)結合求參數】例題：（2023春·浙江杭州·九年級專題練習）已知關于的二元一次方程組的解滿足，則m的取值范圍是______．【答案】【分析】由已知方程組得出且，根據得出關于的不等式組，解之即可得出答案．【詳解】解：，，得：，∴，，得：，∵，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，解二元一次方程組，解題的關鍵是根據方程組和不等式組得出關于m的不等式組．【變式訓練】1．（2023春·七年級課時練習）若關于的不等式組有解，且關于的方程的解為正整數，則滿足條件的所有整數的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】先解不等式組，求出a的范圍，再根據的解為正整數，確定a的值，從而求出答案．【詳解】解不等式①得：解不等式②得：∵關于的不等式組有解，∴∴解∵關于的方程的解為正整數∴當時，，∴∴當時，，∴當時，，∴應舍去當時，，不符合條件，∴滿足條件的所有整數的個數是2個故選B．【點睛】本題考查解一元一次不等式組及一元一次方程中字母的值，解題的關鍵是明確如何討論a的個數．2．（2023春·四川成都·八年級成都市第二十中學校?？茧A段練習）若方程組的解滿足，則m的取值范圍為_________．【答案】【分析】先將兩個方程相加，得到x+y的值，然后求解即可．【詳解】解：解方程組：①＋②得，x+y=m+2，∵，∴m+2>5，解得：．故答案為：．【點睛】題目主要考查解方程組及不等式，理解題意，熟練掌握運用求解方法是解題關鍵．【類型五分式方程與不等式(組)結合求參數】例題：（2023春·安徽阜陽·七年級?？茧A段練習）已知關于的一元一次不等式組的解集為，且關于的分式方程的解為正整數，則所有滿足條件的整數的積為（

）A．8 B．24 C．14 D．28【答案】A【分析】利用不等式組的解為，確定a的取值范圍，解分式方程，當解為正整數時求得a值，將符合條件的a值相乘即可得出結論．【詳解】解：，解不等式①得，，解得，解不等式②得，解得，∵關于的一元一次不等式組的解集為，∴，∴，關于的分式方程的解為，∵是原分式方程的增根，∴，∴，∵關于的分式方程的解為正整數，∴為正整數，∴，∵，∴，∴所有滿足條件的整數的積為，故選：A．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，分式方程的解，注意解分式方程可能產生增根是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·江蘇淮安·八年級統考期末）若關于x的方程的解為正數，則m的取值范圍是(

)A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】先解關于x的方程得到用m的代數式表達的x的值，再根據原方程的解為正數，列出關于m的不等式組，解此不等式組即可求得m的取值范圍．【詳解】解：由題意可知解關于x的方程得：，∵關于x的方程的解為正數，∴，解得：且．故選：B．【點睛】本題考查分式方程的根，解不等式組，解題的關鍵是理解m的取值需同時滿足以下兩個條件：（1）解關于x的方程所得的不能是增根，即；（2）．2．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？家荒＃┤絷P于的不等式組無解，且關于的分式方程有整數解，則滿足條件的所有整數的和為（

）A．10 B．12 C．16 D．14【答案】B【分析】先求得不等式組中各不等式的解集，根據不等式組無解可求得的取值范圍，然后求得分式方程的解，根據解為整數，且，即可求得滿足條件的所有整數的值．【詳解】解不等式，得．解不等式，得．因為關于的不等式組無解，可得．解得．解關于的分式方程，得．∵為整數，，,∴或或．∴滿足條件的所有整數的和．故選：B．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組和解分式方程，牢記解一元一次不等式組和解分式方程的步驟是解題的關鍵．3．（2023春·四川成都·八年級?？茧A段練習）若數a使關于x的不等式組有且只有四個整數解，且使關于y的方程的解為非負數，則符合條件的所有整數a的和為．【答案】1【分析】由題意，求得不等式組的解集為；由不等式有且只有四個整數解，則，解得，；解分式方程得，；由方程的解為非負數，可得，解得，；綜上，且，的值為；然后求和即可．【詳解】解：，解①得，；解②得，，∴不等式組的解集為；∵不等式有且只有四個整數解，∴，解得，；，解分式方程得，；∵方程的解為非負數，∴，解得，；綜上，且，∵a是整數，∴的值為；∴，故答案為：1．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數解，解分式方程．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【過關檢測】一、單選題1．（2023春·安徽合肥·七年級?？计谥校┮阎P于x的不等式的解集在數軸上表示如圖所示，則a的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式，結合數軸上的解列等式求解即可得到答案．【詳解】解：解不等式得，，由圖像得，不等式的解集為：，∴，解得：，故選B；【點睛】本題考查不等式的解，解題的關鍵是看懂數軸得到解集．2．（2023春·福建廈門·七年級?？茧A段練習）若不等式組無解，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據不等式的解集大于大的，不等式的解集小于小的，不等組無解，可得答案．【詳解】解：解不等式①得：，∵不等式組無解，∴．故選：B．【點睛】本題考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到(無解)．3．（2023春·山東濟寧·七年級統考期末）如果不等式組有且僅有個整數解，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據不等式的性質求出不等式的解集，再根據求不等式組解集的規律求出不等式組的解集，最后根據不等式組的解集和整數解得出答案即可．【詳解】解：，解不等式，得，解不等式，得，所以根據題意，不等式組的解集是，不等式組有且僅有個整數解，這個整數解是，，，，故選：B．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數解，能根據求不等式組解集的規律求出不等式組的解集是解此題的關鍵．4．（2023春·福建泉州·七年級?？计谥校┮阎P于的不等式組的解集為，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據不等式組的解集求出、的值，繼而可得答案．【詳解】解：由得：，由得：，∵不等式組的解集為，∴，，解得：，，∴，故選：D．【點睛】本題考查解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解題的關鍵．也考查了求代數式的值．5．（2023秋·重慶巫溪·八年級統考期末）關于x的不等式組的解集為，且關于y的方程的解為正數，則所有滿足條件的整數a的值的和為（）A．15 B．17 C．18 D．22【答案】B【分析】先解一元一次不等式組，并由解集得，再解分式方程，并由原方程的解為正數得且，進而可求解．【詳解】解：，解不等式②，得，∵原不等式組的解集為，∴，解得：，，方程兩邊同時乘以，得：，解得：，∵方程的解為正數，∴且，解得：且，∴且，∴整數a為4，6，7，和為，故選：B．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組及解分式方程，熟練掌握其一般解法是解題的關鍵．6．（2023春·河北承德·七年級統考期末）已知關于的不等式組，下列四個結論：①若它的解集是，則；②當，不等式組有解；③若它的整數解僅有3個，則的取值范圍是；④若它無解，則．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由不等式的解集為可得，可判斷①，由不等式組無解，可得，可判斷②④，由整數解為2，3，4，可得，可判斷③，從而可得答案．【詳解】解：關于的不等式組的解集為，∴，∴，故①符合題意；當，不等式組為，不等式組無解，故②不符合題意；當它的整數解僅有3個，則整數解為：2，3，4，∴，∴，故③符合題意；若無解，則，∴，故④符合題意；故選C【點睛】本題考查的是不等式組的整數解問題，不等式組的解集問題，無解問題，掌握確定不等式組的解集的方法是解本題的關鍵．二、填空題7．（2023春·湖北十堰·七年級統考期末）若關于x的不等式的解集是，則關于x的不等式的解集是．【答案】【分析】先根據第一個不等式的解集求出，，，再代入第二個不等式，求出不等式的解集即可．【詳解】解：，，關于x的不等式的解集是，，，，，，，關于x的不等式的解集為．故答案為：．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，能求出m，n的值是解此題的關鍵．8．（2023春·湖北黃岡·七年級統考期末）若關于x的不等式組有解，則m的取值范圍是．【答案】【分析】先解不等式組，再根據解的情況確定參數的取值范圍．【詳解】解：由不等式組得：∵不等式組有解∴解得：故答案為：【點睛】本題考查根據不等式組的解的情況確定參數的取值范圍．正確求解不等式組是解題的前提．9．（2023春·湖北武漢·七年級期末）若關于的不等式組有解，且關于的方程有非負整數解，則符合條件的所有整數的和為．【答案】【分析】根據不等式的性質，解一元一次不等式組，根據不等式組的取值方法求出的取值范圍，運用解一元一次方程的方法將關于的方程的解求出，根據解的非負整數可求出的取值范圍，由此即可求解．【詳解】解：，解式，去分母得，，移項得，∴式的解為，解式，移項得，，合并同類項得，，∴式的解為，∵關于的不等式組有解，∴，∴，解得，，解關于的方程，去括號得，，移項得，，合并同類項得，，系數化為得，，且，∵關于的方程有非負整數解，∴，∴，解得，，∵為整數，∴的值是，，，，∴所有整數的和為，故答案為：．【點睛】本題主要考查一元一次不等式與一元一次方程的綜合運用，掌握不等式的性質解不等式組，不等式組的取值方法，解一元一次方程的方法，非負整數概念的理解等知識是解題的關鍵．10．（2023春·重慶南川·七年級統考期末）如果整數使得關于的不等式組有解，且使得關于，的二元一次方程組的解為整數（，均為整數），則符合條件的所有整數的和為．【答案】【分析】根據不等式的性質解不等式組，根據不等式組的解集的情況求出整數的取值范圍，根據解二元一次方程組的方法求出關于，的值，根據二元一次方程組的解為整數，通過試根的方法判定整數的值，由此即可求解．【詳解】解：，由①得，；由②得，；∵關于的不等式組有解，∴，，得，，則，∴，把代入③得，，解得，，∴關于，的二元一次方程組的解為，且，均為整數，由不等式有解得，，∴當時，，，符合題意；當時，，中，分母為零，無意義，不符合題意；當時，，，符合題意；當時，，，符合題意；當時，，，不符合題意；當時，，，符合題意；當時，，，不符合題意；綜上所述，符合題意得的值有：，∴符合條件的所有整數的和為，故答案為：．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，不等式組解集，二元一次方程組的解的綜合，掌握不等式的性質解不等式組，求不等式組的解集，解二元一次方程組的方法及解的情況等知識是解題的關鍵．11．（2023秋·重慶·九年級重慶實驗外國語學校校考開學考試）若關于x的一元一次不等式組至少有4個整數解，且關于y的分式方程的解為非負數，則所有滿足條件的整數a的值之和為．【答案】8【分析】先求出不等式組的解集，根據至少有4個整數解，確定出a的范圍，再由分式方程解為非負數，確定出滿足題意整數a的值，求出之和即可．【詳解】解：，解①得，，解②得，，∴，∵不等式組至少有4個整數解，即，0，1，2，∴，解得：，根據分式方程解得：，∵分式方程解為非負數，∴且，解得：且，∴a的范圍是且，則整數解為，0，2，3，4,整數a的值之和為．故答案為：8．【點睛】此題考查了解一元一次不等式組，分式方程的解，解一元一次不等式，熟練掌握各自的解法是解本題的關鍵．12．（2023秋·安徽·八年級校聯考開學考試）已知關于的方程的解是正數，請解決下列問題（1）實數的取值范圍是．（2）在（1）的條件下，若關于的不等式組恰好有兩個偶數解，則符合條件的所有整數的和是．【答案】【分析】（1）根據解一元一次方程的方法“去分母、去括號、移項、合并同類項，系數化為”即可求解；（2）根據不等式的性質解不等式，并根據不等式的解集確定參數的取值，由此即可求解．【詳解】解：（1），去分母得，，去括號得，，移項得，，合并同類項得，，系數化為得，，則，即，∵關于的方程的解是正數，∴，即，∴；（2），整理不等式組得，，解得，∵由不等式組恰好有兩個偶數解，得到偶數解為，∴，解得，∴，∴滿足題意的整數的值有，，，，，，∴符合條件的所有整數的和是．【點睛】本題主要考查解一元一次方程與解一元一次不等式的綜合，掌握解一元一次方程的方法，根據不等式的解集求參數的方法是解題的關鍵．三、解答題13．（2023春·四川內江·七年級統考階段練習）已知關于x的不等式組恰有3個整數解，求a的取值范圍．【答案】【分析】先求出每個不等式的解集，再根據不等式組恰有3個整數解，即可求解a的取值范圍．【詳解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，∵不等式組有3個整數解，∴．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確理解題意、熟練掌握解一元一次不等式的方法是解題關鍵．14．（2023春·四川廣元·七年級統考期末）已知方程組的解滿足．(1)求a的取值范圍；(2)當a為何整數時，不等式的解集為？【答案】(1)；(2)﹣1或0．【分析】（1）兩個方程相加可得出，根據列出關于的不等式，解之可得答案；（2）根據不等式的解集為、為整數和（1）中的取值范圍，可以求得的值；【詳解】（1）兩個方程相加可得，則，根據題意，得：，解得，即a的取值范圍是；（2）由不等式，得，∵不等式的解集為，∴，得，又∵且a為整數，即a的值是﹣1或0．【點睛】本題考查解二元一次方程組、解一元次不等式組、一元一次不等式組的整數解，解答本題的關鍵是明確題意，利用不等式的性質解答15．（2023春·四川自貢·七年級統考期末）已知不等式組(1)若該不等式組的解集為，求a的值：(2)若該不等式組無解，求a的取值范圍．【答案】(1)a的值為2(2)a的取值范圍為【分析】（1）解不等式組中兩個不等式后根據不等式組的解集可得關于a的方程，解之可得；（2）根據“大小小大無解了”可確定關于a的不等式，解之可得．【詳解】（1）解不等式得：，解不等式得：，∵不等式組的解集是，∴，解得：；（2）∵不等式組無解，∴，解得：．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．16．（2023春·天津·七年級?？计谀┮阎匠探M的解x為正數，y為負數．(1)求a的取值范圍；(2)化簡；(3)在a的取值范圍內，且關于z的不等式的解集是，求關于t的不等式的解集．【答案】(1)；(2)3；(3).【分析】（1）先把a當作已知求出x、y的值，再根據x、y的取值范圍得到關于a的一元一次不等式組，求出a的取值范圍即可；（2）根據a的取值范圍去掉絕對值符號，把代數式化簡即可；（3）把，代入，得到，進而即可求解．【詳解】（1）解：，得：，得：，∵方程組的解x為正數，y為負數，、∴且，∴；（2）∵，∴∴；（3）∵，，，∴，即，∵，∴，即，∵，∴，∴.【點睛】本題考查解一元一次不等式，解二元一次方程組，熟練掌握解不等式和加減消元法是關鍵.17．（2023春·北京平谷·七年級統考期末）若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內，則稱該一元一次方程為該不等式組的“友好方程”，例如：方程的解為．不等式組的解集為．因為．所以稱方程為不等式組，的“友好方程”．(1)請你寫出一個方程，使它和不等式組為“友好方程”；(2)若關于的方程是不等式組的“友好方程”，求的取值范圍；(3)若關于的方程是關于的不等式組的“友好方程”，且此時不等式組有3個整數解，試求的取值范圍．【答案】(1)（答案不唯一）(2)(3)【分析】（1）分別解每一個不等式，得到不等式組的解集，再根據“友好方程”的定義即可得到答案；（2）分別解每一個不等式，得到不等式組的解集，再求出方程的解，根據“友好方程”的定義即可得到關于的不等式組，解不等式組即可得到答案；（3）分別解每一個不等式，得到不等式組的解集，再求出方程的解，最后根據