專題11相似三角形的六大基本模型專項訓練考點一（雙）A字型相似考點二（雙）8字型相似考點三母子型相似考點四旋轉相似考點五K字型相似考點六三角形內接矩形/正方形考點一（雙）A字型相似例題：（2022·四川省成都市石室聯合中學九年級期中）如圖，在中，D、E分別是邊、上的點，且，，．則下列說法不正確的是（）A． B．C． D．【變式訓練】1．（2021·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：52．（2021·安徽·安慶市石化第一中學九年級期中）圖，，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．3．（2021·上海市金山初級中學九年級期中）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．4．（2022·山東濟南·九年級期中）如圖，一路燈與墻相距20米，當身高米的小亮在離墻17米的D處時，影長為1米．(1)求路燈B的高度；(2)若點P為路燈，請畫出小亮位于N處時，在路燈P下的影子NF（用粗線段表示出來）5．（2022·湖南·寧遠縣水市鎮中學九年級階段練習）如圖，在中，點分別在上，且．（1）求證：；（2）若點在上，與交于點，求證：．考點二（雙）8字型相似例題：（2021·海南海口·九年級期末）如圖，在?ABCD中，E為CD的中點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，則：為（

）A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35【變式訓練】1．（2022·遼寧·沈陽市第七中學九年級期中）如圖，四邊形和都是平行四邊形，點F在邊上，且，連接分別交于點G，H，設與面積的比為k，則k的值為（）A． B． C． D．2．（2022·湖南岳陽·九年級期中）如圖，在菱形中，，點E在邊上，連接交的延長線于點F，若，則的長為_____．3．（2022·四川省成都市石室聯合中學九年級期中）如圖，點F在平行四邊形的邊上，延長交的延長線于點E，交于點O，若，則＝_____．4．（2021·重慶市大學城第一中學校八年級期中）如圖，在中，是上一點，，點是的中點，若，則的值為___________5．（2021·內蒙古·中考真題）如圖，在中，，過點B作，垂足為B，且，連接CD，與AB相交于點M，過點M作，垂足為N．若，則MN的長為__________．6．（2022·陜西渭南·八年級期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F是AE的中點，CF交BE于點G，若，則___．7．（2021·重慶·九年級期末）如圖與交于，且．（1）求證：∽．（2）若，，，求的長．8．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點，連接，若的延長線和的延長線相交于點F．（1）求證：；（2）連接和相交于點為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．9．（2021·河南省淮濱縣第一中學九年級開學考試）

如圖，正方形的邊長為，點是射線上的一個動點，連接并延長，交射線于點，將沿直線翻折，點落在點處．

（1）當時，如圖，延長，交于點，①的長為________；②求證：．（2）當點恰好落在對角線上時，如圖，此時的長為________；________；（3）當時，求的正弦值．考點三母子型相似例題：（2021·廣西·百色市田陽區第五初級中學九年級期中）已知：如圖，中，，平分．(1)求證：；(2)試說明．【變式訓練】1．（2021·北京市師達中學九年級階段練習）如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為______．2．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，AD＝BD．(1)求證：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的長．3．（2021·安徽滁州·九年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．4．（2022·吉林省第二實驗學校九年級階段練習）[感知]如圖①所示，在等腰中，，AD平分，易得（不需要證明）(1)[探究]如圖②所示，李麗同學將圖①的等腰改為任意，AD平分，他通過觀察、測量，猜想仍然成立，為了證明自己的猜想，他與同學進行交流討論，得到了證明猜想的兩種方法：方法1：過點D分別作于點E，于點F，利用與的面積比證明結論．方法2：過點B作交AD延長線于點E，利用與相似證明結論．請你參考上面的兩種方法，選擇其中的一種方法完成證明．(2)[應用]如圖③所示，在中，，，，AD平分．若點E在邊AB上，，CE交AD于點F，則______．考點四旋轉相似例題：（2022·吉林長春·九年級期末）在同一平面內，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點A為公共頂點，．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點A逆時針旋轉，使AD、AE與邊BC的交點分別為M、N點M不與點B重合，點N不與點C重合．【探究】求證：．【應用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．(1)的值為______．(2)若，則MN的長為______．【變式訓練】1．（2021·全國·九年級專題練習）如圖1，在中，，在斜邊上取一點D，過點D作，交于點E．現將繞點A旋轉一定角度到如圖2所示的位置（點D在的內部），使得．（1）①求證：；②若，求的長；（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設，若，，求k的值；（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設，，試探究三者之間滿足的等量關系．（直接寫出結果，不必寫出解答過程）2．（2022·四川省成都市石室聯合中學九年級期中）如圖1，在矩形中，已知．，點E、F分別是、的中點，連接．將繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α．(1)問題發現：①當時，＝；②當時，＝；(2)拓展探究：將繞點C按順時針方向旋轉到如圖2的位置，求此時的值；(3)問題解決：當旋轉至A、F、E三點共線時，求線段的長（寫出必要的解題過程）．考點五K字型相似例題：（2022·陜西西安·九年級期中）如圖，在中，，點P為邊上一動點（不與點B、C重合），過點P作射線交于點M，使．(1)求證：；(2)當時，求的長．【變式訓練】1．（2021·湖南長沙·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點E在邊CD或延長線上運動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝_____．2．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長．3．（2022·山東菏澤·三模）（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當時，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結論還成立嗎？說明理由．（3）應用如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．4．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F．（1）探究發現：如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則＝；（2）數學思考：①如圖2，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數式表示）；②當點E在直線AC上運動時，①中的結論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．考點六三角形內接矩形/正方形例題：（2022·黑龍江大慶·八年級期中）如圖，有一塊三角形土地，它的底邊m，高m，某單位要沿底邊BC建一座是矩形的大樓，且使矩形的兩個端點D、G分別在AB、AC上，當這座大樓的地基面積為1875時，求這個矩形沿BC邊所占的EF的長．【變式訓練】1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，在中，點F、G在上，點E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長為____________．2．（2022·上海嘉定·九年級期中）如圖，已知在中，邊，高，正方形的頂點、在邊上，頂點、分別在邊和上，那么這個正方形的邊長等于___________．3．（2021·廣西·百色市田陽區第五初級中學九年級期中）如圖，是一塊三角形的鐵皮，長為，邊上的高長為，要將它加工成一塊矩形鐵皮，使矩形的一邊在上，其余兩個頂點E，H分別在上，且矩形的面積是三角形面積的一半，求這個矩形的長和寬．4．（2021·全國·九年級課時練習）一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學過的知識說明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計，計算結果中的分數可保留）．5．（2021·浙江·寧波市興寧中學九年級期中）課本中有一道作業題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC＝12m，高線AD＝8m．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長為多少米？小穎解得此題的答案為4.8m．(1)你知道小穎是怎么做的嗎？請你寫出解答過程？(2)善于反思