教案教師：__王鑫___學生：_劉競琰上課時間：學生簽字：__________數論（二）數的整除【專題知識點概述】一、常見數字的整除判定方法1.一個數的末位能被2或5整除，這個數就能被2或5整除；一個數的末兩位能被4或25整除，這個數就能被4或25整除；一個數的末三位能被8或125整除，這個數就能被8或125整除；2.一各位數數字和能被3整除，這個數就能比9整除；一個數各位數數字和能被9整除，這個數就能被9整除；3.如果一個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差能被11整除，那么這個數能被11整除.4.如果一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、11或13整除，那么這個數能被7、11或13整除.（以上規律僅在十進制數中成立.）5.部分特殊數的分解：1001=7×11×13；111111=111×1001二、整除性質(1)性質1如果數a和數b都能被數c整除，那么它們的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．在理解這個性質時，我們要注意，反過來是不成立的，即兩數的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，這兩個數不一定能被c整除．如5︱(26+24)，但526，524．再看下面這個問題：2∣12，12∣36．2能否整除36？顯然，回答是肯定的．這是因為36是12的倍數，12又是2的倍數，那么36一定是2的倍數．由此我們又可以得出：(2)性質2如果數a能被數b整除，b又能被數c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同樣的方法，我們還可以得出：(3)性質3如果數a能被數b與數c的積整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．(4)性質4如果數a能被數b整除，也能被數c整除，且數b和數c互質，那么a一定能被b與c的乘積整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12．(5)性質5如果數a能被數b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m為非0整數）；(6)性質6如果數a能被數b整除，且數c能被數d整除，那么bd也能被ac整除．如果b｜a，且d｜c，那么ac｜bd；【習題精講】【例1】（難度級別※）已知道六位數20□279是13的倍數，求□中的數字是幾？【例2】（難度級別※）173□是個四位數字。數學老師說：“我在這個□中先后填人3個數字，所得到的3個四位數，依次可被9、11、6整除。”問：數學老師先后填入的3個數字的和是多少？【例3】（難度級別※※）由1，3，4，5，7，8這六個數字所組成的六位數中，能被11整除的最大的數是多少？【例4】（難度級別※※）圖書館有一些書，總數在1000本以內，如果24本包成一捆，則最后一捆差2本；若按28本包成一捆，則最后一捆還是差2本；若按32本包成一捆，則最后一捆是30本，那么這批圖書共有多少本？【例5】（難度級別※※）某個七位數1993□□□能夠同時被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位數字依次是多少？【例6】（難度級別※※）從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數字中選出五個不同的數字組成一個五位數，使它能被3、5、7、13整除，這個數最大是多少？【例7】（難度級別※※※）修改31743的某一個數字，可以得到823的倍數。問修改后的這個數是幾？【例8】（難度級別※※※）某個自然數既能寫成9個連續自然數的和，還同時可以寫成10個連續自然數的和，也能寫成11個連續自然數的和，那么這樣的自然數最小可以是幾？【例9】（難度級別※※※）在下面的方框中各填一個數字，使六位數11□□11能被17和19整除，那么方框中的兩位數是多少？【例10】（難度級別※※※）已知四十一位數55…5□99…9（其中5和9各有20個）能被7整除，那么中間方格內的數字是多少？【例11】（難度級別※※※）用數字6，7，8各兩個，組成一個六位數，使它能被168整除。這個六位數是多少？【例12】（難度級別※※※※）將數字4，5，6，7，8，9各使用一次，組成一個被667整除的6位數，那么，這個6位數除以667的結果是多少？【例13】（難度級別※※※※）將自然數1，2，3，…依次寫下去組成一個數：10000000000111213……。如果寫到某個自然數時，所組成的數恰好第一次能被72整除，那么這個自然數是多少？【例14】（難度級別※※※※※）1至9九個數字，按順時針次序為1，9，3，4，2，6，8，5，7排成一個圓圈。請你在某兩個數字之間剪開，分別按順時針和逆時針次序形成兩個九位數（例如，在1和7之間剪開，得到兩個數是193426857和758624391）。如果要求剪開后所得到的兩個九位數的差能被396整除，那么剪開處左右兩個數字的乘積是多少？【例15】（難度級別※※※※※）在1、2、3、4……2007這2007個數中有多少個自然數a能使2008+a能被2007-a整除【作業】1.六位數20□□08能被49整除，□□中的數是多少？2.如果六位數1992□□能被105整除，那么它的最后兩位數是多少？3.一個數的40倍減1能被97整除，這樣的自然數中最小的是多少？4.已知中一共重復了20次.那么這個數被37除得的余數是多少？5.有些數既能表示成3個連續自然數的和，又能表示成4個連續自然數的和，還能表示成5個連續自然數的和。請找出700到1000之間，所有滿足上述條件的自然數。6.如果能被31整除，那么自然數n應滿足什么條件？7.各位數字是0，1或2，且能被225整除的最小自然數是多少？8.已知是891的倍數，其中a,b,c各代表一個不同的數字，那么三位數代表的是多少？9.