頁第四節隨機變量的分布列、均值與方差核心素養立意下的命題導向1.結合離散型隨機變量及其分布列的概念，考查常見離散型分布列的求法，凸顯數據分析、數學運算的核心素養．2．結合具體實例，考查超幾何分布的特征及應用，凸顯數學建模的核心素養．3．理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念，會求簡單的離散型隨機變量的均值、方差，凸顯數學運算的核心素養．4．能利用離散型隨機變量的均值、方差的概念解決一些簡單實際問題，凸顯數學建模的核心素養．[理清主干知識]1．隨機變量的有關概念(1)隨機變量：隨著試驗結果變化而變化的變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量．2．離散型隨機變量分布列的概念、性質及均值方差(1)概念：若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列．有時也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性質：①pieq\a\vs4\al(≥)0，i＝1,2,3，…，n；②eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))pi＝eq\a\vs4\al(1).(3)稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(4)稱D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術平方根eq\r(DX)為隨機變量X的標準差．3．常見的離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布X01P1－pp若隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從兩點分布，并稱p＝P(X＝1)為成功概率．(2)超幾何分布在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))如果隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布．4．均值與方差的性質若Y＝aX＋b，其中a，b是常數，X是隨機變量，則(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；(4)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2；(5)若X1，X2相互獨立，則E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；(6)若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；(7)若X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；(8)若X服從超幾何分布，即X～H(N，M，n)，則E(X)＝eq\f(nM,N)，D(X)＝eq\f(nMN－MN－n,N2N－1)；(9)若X～N(μ，σ2)，則X的均值與方差分別為E(X)＝μ，D(X)＝σ2.[澄清盲點誤點]一、關鍵點練明1．袋中有3個白球、5個黑球，從中任取兩個，可以作為隨機變量的是()A．至少取到1個白球B．至多取到1個白球C．取到白球的個數D．取到的球的個數2．設隨機變量X的分布列如下：X12345Peq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p則p的值為()A.eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．eq\f(1,12)3．已知隨機變量X的分布列為X01234P0.10.2a0.20.1則D(X)＝()A．1.44B．1.2C.eq\r(1.2)D．24．從一批含有13件正品，2件次品的產品中，不放回地任取3件，則取得次品數為1的概率是()A.eq\f(32,35)B．eq\f(12,35)C.eq\f(3,35)D．eq\f(2,35)二、易錯點練清1．有一批產品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數X的所有可能取值是________．2．已知隨機變量X的分布規律為P(X＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1,2,3)，則P(X＝2)＝________.考點一離散型隨機變量的分布列考法(一)離散型隨機變量分布列的性質[例1]離散型隨機變量X的概率分布規律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜X＜\f(5,2)))的值為()A.eq\f(2,3)B．eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D．eq\f(5,6)[方法技巧]離散型隨機變量分布列性質的應用(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數．(2)求隨機變量在某個范圍內取值的概率時，根據分布列，將所求范圍內隨機變量的各個取值的概率相加即可，其依據是互斥事件的概率加法公式．考法(二)離散型隨機變量分布列的求法[例2]一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.(1)現從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得一個新函數，求所得函數是奇函數的概率；(2)現從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數的卡片則停止抽取，否則繼續抽取，求抽取次數ξ的分布列．[方法技巧]求離散型隨機變量X的分布列的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個值的概率；(3)寫出X的分布列．[提醒]求離散型隨機變量的分布列的關鍵是求隨機變量所取值對應的概率，在求解時，要注意應用計數原理、古典概型等知識.考法(三)超幾何分布[例3]某外語學校的一個社團中有7名同學，其中2人只會法語，2人只會英語，3人既會法語又會英語，現選派3人到法國的學校交流訪問．求：(1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率；(2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數X的分布列．[方法技巧]求超幾何分布的分布列的步驟[針對訓練]1．若隨機變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當P(X＜a)＝0.8時，實數a的取值范圍是()A．(－∞，2]B．[1,2]C．(1,2]D．(1,2)2．某大學志愿者協會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現從這10名同學中隨機選取3名同學到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)．(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的分布列．考點二離散型隨機變量的均值與方差考法(一)離散型隨機變量的均值與方差[例1]某小組共10人，利用假期參加義工活動．已知參加義工活動次數為1,2,3的人數分別為3,3,4.現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．(1)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”，求事件A發生的概率；(2)設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望與方差．[方法技巧]求離散型隨機變量均值與方差的關鍵及注意(1)求離散型隨機變量的均值與方差關鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進行計算．(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應用．考法(二)均值與方差在決策中的應用[例2]某投資公司在2019年年初準備將1000萬元投資到“低碳”項目上，現有兩個項目供選擇：項目一：新能源汽車．據市場調研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發生的概率分別為eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；項目二：5G通信設備．受中美貿易戰的影響，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，也可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15).針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由．[方法技巧]利用均值、方差進行決策的2個方略(1)當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．(2)若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩定程度，進而進行決策．[針對訓練]1．某商場銷售某種品牌的空調，每周周初購進一定數量的空調，商場每銷售一臺空調可獲利500元，若供大于求，則多余的每臺空調需交保管費100元；若供不應求，則可從其他商店調劑供應，此時每臺空調僅獲利200元．(1)若該商場周初購進20臺空調，求當周的利潤(單位：元)關于當周需求量n(單位：臺，n∈N)的函數解析式f(n)；(2)該商場記錄了去年夏天(共10周)的空調周需求量n(單位：臺)，整理得下表：周需求量n1819202122頻數12331以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，若商場周初購進20臺空調，X表示當周的利潤(單位：元)，求X的分布列及數學期望．2．某水果批發商經銷某種水果(以下簡稱A水果)，購入價為300元/袋，并以360元/袋的價格售出，若前8小時內所購進的A水果沒有售完，則批發商將沒售完的A水果以220元/袋的價格低價處理完畢(根據經驗，2小時內完全能夠把A水果低價處理完，且當天不再購進)．該水果批發商根據往年的銷量，統計了100天A水果在每天的前8小時內的銷售量，制成頻數分布條形圖如圖．現以記錄的100天的A水果在每天的前8小時內的銷售量的頻率作為A水果在一天的前8小時內的銷售量的概率，記X表示A水果一天的前8小時內的銷售量，n表示水果批發商一天批發A水果的袋數．(1)求X的分布列；(2)以日利潤的期望值為決策依據，在n＝15與n＝16中選其一，應選用哪個？eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1．袋中有大小相同的5只鋼球，分別標有1,2,3,4,5五個號碼，任意抽取2個球，設2個球號碼之和為X，則X的所有可能取值個數為()A．25B．10C．7D．62．設隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k(k＝1,2,3)，則m的值為()A.eq\f(17,38)B．eq\f(27,38)C.eq\f(17,19)D．eq\f(27,19)3．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量ξ表示所選3人中女生的人數，則P(ξ≤1)等于()A.eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)4．隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝()X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)A．2B．3C．4D．55．一個攤主在一旅游景點設攤，游客向攤主支付2元進行1次游戲．游戲規則：在一個不透明的布袋中裝入除顏色外無差別的2個白球和3個紅球，游客從布袋中隨機摸出2個小球，若摸出的小球同色，則游客獲得3元獎勵；若異色，則游客獲得1元獎勵．則攤主從每次游戲中獲得的利潤(單位：元)的期望值是()A．0.2B．0.3C．0.4D．0.56．甲、乙兩人獨立地從六門選修課程中任選三門進行學習，記兩人所選課程相同的門數為X，則E(X)為()A．1B．1.5C．2D．2.57．甲、乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止，設甲在每局中獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙在每局中獲勝的概率為eq\f(1,3)，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數ξ的期望E(ξ)為()A.eq\f(241,81)B．eq\f(266,81)C.eq\f(274,81)D．eq\f(670,243)8．設0<p<1，隨機變量ξ的分布列是ξ012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)則當p在(0,1)內增大時()A．D(ξ)減小B．D(ξ)增大C．D(ξ)先減小后增大D．D(ξ)先增大后減小9．隨機變量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差數列，則P(|ξ|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________．10．已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有大小相同的2個紅球和4個黑球，現從甲、乙兩個盒內各任取2個球．設ξ為取出的4個球中紅球的個數，則P(ξ＝2)＝________.11．某糕點房推出一類新品蛋糕，該蛋糕的成本價為4元，售價為8元．受保質期的影響，當天沒有銷售完的部分只能銷毀．經過長期的調研，統計了一下該新品的日需求量．現將近期一個月(30天)的需求量展示如下：日需求量x(個)20304050天數510105(1)從這30天中任取2天，求2天的日需求量均為40個的概率；(2)以表中的頻率作為概率，根據分布列求出該糕點房一天制作35個該類蛋糕時，對應的利潤的期望值E(X)＝eq\f(320,3).現有員工建議擴大生產一天45個，試列出生產45個時，利潤Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判斷此建議該不該被采納．12．某工廠生產一種產品的標準長度為10.00cm，只要誤差的絕對值不超過0.03cm就認為合格，工廠質檢部抽檢了某批次產品1000件，檢測其長度，繪制