2023年黑龍江省綏化市中考數學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

3.如圖是一個正方體，被切去一角，則其左視圖是（）

A.

B.

C.

D.

4.納米是非常小的長度單位，Iran=0.000000001m,把0.000000001用科學記數法表示為

()

A.1xIO-B.lx10-8C.1x108D.lx109

5.下列計算中，結果正確的是()

A.(―PQ)3=p3q3BX*+.%2——%8

C.<75=±5D.(a2)3=a6

6.將一副三角板按如圖所示擺放在一組平行線內，41=25。，N2=30。，則N3的度數為（）

A.55°B,65°C.70°D,75°

7.下列命題中敘述正確的是（）

A.若方差s%>s）則甲組數據的波動較小

B.直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離

C.三角形三條中線的交點叫做三角形的內心

D.角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上

8.綏化市舉辦了2023年半程馬拉松比賽，賽后隨機抽取了部分參賽者的成績（單位：分鐘），

并制作了如下的參賽者成績組別表、扇形統計圖和頻數分布直方圖則下列說法正確的是（）

組別參賽者成績

A70<x<80

B80<x<90

C90<x<100

D100<%<110

E110<x<120

A.該組數據的樣本容量是50人

B.該組數據的中位數落在90?100這一組

C.90?100這組數據的組中值是96

D.110?120這組數據對應的扇形統計圖的圓心角度數為51。

9.在平面直角坐標系中，點4在y軸的正半軸上，4C平行于x軸，點

B,C的橫坐標都是3,8c=2,點。在4c上，且其橫坐標為1,若反

比例函數y=：（x>0）的圖象經過點B,D,則k的值是（）

A.1

B.2

C.3

D-

口2

io.某運輸公司，運送一批貨物，甲車每天運送貨物總量的;.在甲車運送1天貨物后，公司增

派乙車運送貨物，兩車又共同運送貨物;天，運完全部貨物.求乙車單獨運送這批貨物需多少

天？設乙車單獨運送這批貨物需X天，由題意列方程，正確的是（）

1111

+_-1

A.4-4-2-

2X

c/i+AAiD3+G+力=i

11.如圖，在菱形4BCD中，乙4=60。，AB=4,動點M,N同時

從4點出發,點M以每秒2個單位長度沿折線A-B-C向終點C運動;

點N以每秒1個單位長度沿線段4D向終點。運動，當其中一點運動

至終點時，另一點隨之停止運動.設運動時間為x秒，△4MN的面積

為y個平方單位，則下列正確表示y與x函數關系的圖象是（）

12.如圖，在正方形ABCD中，點E為邊CD的中點，連接4E,過點B作

BF14E于點尸，連接BD交4E于點G,FH平分N"G交BD于點H.則下

列結論中，正確的個數為（）

（1）AB2=BF-AE

②SABGF：SAHAF=2：3

③當AB=a時，BD2-BD-HD=a2

A.0個B.1個C.2個D.3個

二、填空題（本大題共10小題，共30.0分）

13.因式分解：x2+xy—xz—yz=.

14.若式子M有意義，則x的取值范圍是.

X

15.在4張完全相同的卡片上，分別標出1,2,3,4.從中隨機抽取1張后，放回再混合在一

起.再隨機抽取一張，那么第二次抽取卡片上的數字能夠整除第一次抽取卡片上的數字的概率

是______

16.已知一元二次方程/+%=5%+6的兩根為均與小，則1e+1點的值為

17.化簡：（若君%）+爰亮

18.如圖，。。的半徑為2cm,4B為。。的弦，點C為?上的一點，

將助沿弦4B翻折，使點C與圓心0重合，則陰影部分的面積為

.（結果保留兀與根號）

A

B

C

19.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與AAB'C'的相似比為1：2,點4是位似中心，已知

b的式子表示)

20.如圖，A/IBC是邊長為6的等邊三角形，點E為高BD上的動點

,連接CE,將CE繞點C順時針旋轉60。得到CF.連接AF,EF,DF,

則ACDF周長的最小值是.

21.在求1+2+3+…+100的值時，發現：1+100=101,2+99=101從而得到1+

2+3+-+100=101x50=5050.按此方法可解決下面問題.圖(1)有1個三角形，記作％=

1;分別連接這個三角形三邊中點得到圖(2),有5個三角形，記作a?=5；再分別連接圖(2)中

間的小三角形三邊中點得到圖(3),有9個三角形，記作=9；按此方法繼續下去，則的+a2+

a3+--+an=.(結果用含n的代數式表示)

22.己知等腰△48C,乙4=120。，=2.現將A/IBC以點B為旋轉中心旋轉45。，得到△

A'BC,延長C'4'交直線BC于點。.則A'D的長度為.

三、解答題(本大題共6小題，共54.()分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

23.(本小題7.0分)

已知：點P是。。外一點.

(1)尺規作圖：如圖，過點P作出的兩條切線PE,PF,切點分別為點E、點凡(保留作圖痕

跡，不要求寫作法和證明)

(2)在(1)的條件下，若點。在。。上(點。不與E,尸兩點重合)，且4EPF=30。，求4EDF的度

24.(本小題8.0分)

如圖，直線MN和EF為河的兩岸，且MN〃EF,為了測量河兩岸之間的距離，某同學在河岸FE

的B點測得NCBE=30。，從8點沿河岸FE的方向走40米到達。點，測得4COE=45。.

(1)求河兩岸之間的距離是多少米？(結果保留根號)

(2)若從。點繼續沿DE的方向走(12「+12迷到達P點.求tan/CPE的值.

MCN

EPDBF

25.（本小題9.0分）

某校組織師生參加夏令營活動，現準備租用4、B兩型客車(每種型號的客車至少租用一輛).4

型車每輛租金500元，B型車每輛租金600元.若5輛力型和2輛B型車坐滿后共載客310人；3輛4

型和4輛B型車坐滿后共載客340人.

(1)每輛4型車、B型車坐滿后各載客多少人？

(2)若該校計劃租用4型和B型兩種客車共10輛，總租金不高于5500元，并將全校420人載至

目的地.該校有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？

(3)在這次活動中，學校除租用4、B兩型客車外，又派出甲、乙兩輛器材運輸車.已知從學校

到夏令營目的地的路程為300千米，甲車從學校出發0.5小時后，乙車才從學校出發，卻比甲

車早05小時到達目的地.如圖是兩車離開學校的路程s(千米)與甲車行駛的時間t(小時)之間的

函數圖象.根據圖象信息，求甲乙兩車第一次相遇后，t為何值時兩車相距25千米.

26.(本小題9.0分)

已知：四邊形4BCD為矩形，AB=4,力。=3,點尸是BC延長線上的一個動點(點尸不與點C重

合),連接力F交CD于點G.

(1)如圖一，當點G為CO的中點時，求證：AADGUAFCG；

(2)如圖二，過點C作CEL4F,垂足為E.連接BE,設BF=x,CE=y.求y關于x的函數關系

式；

(3)如圖三，在(2)的條件下，過點B作BM1BE,交凡4的延長線于點M.當CF=1時，求線段

的長.

27.(本小題10.0分)

如圖，MN為。。的直徑，且MN=15,MC與ND為圓內的一組平行弦，弦4B交MC于點”.點

4在前上，點B在位1上，Z.0ND+^AHM=90°.

(1)求證：MH-CH=AH-BH；

(2)求證：AC=BC；

(3)在。0中，沿弦ND所在的直線作劣弧感的軸對稱圖形，使其交直徑MN于點G.若

sinzCMW=|,求NG的長.

28.(本小題11.0分)

如圖，拋物線yi=a/+bx+c的圖象經過4(-6,0),6(-2,0),C(0,6)三點，且一次函數y=

依+6的圖象經過點B.

(1)求拋物線和一次函數的解析式；

(2)點E,F為平面內兩點，若以E、F、B、C為頂點的四邊形是正方形，且點E在點F的左側.這

樣的E,F兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標；如果不存在，

請說明理由；

(3)將拋物線%=ax2+bx+c的圖象向右平移8個單位長度得到拋物線丫2,此拋物線的圖象

與x軸交于M,N兩點(M點在N點左側).點P是拋物線丫2上的一個動點且在直線NC下方.已知點

P的橫坐標為過點P作PO1NC于點。，求m為何值時，CD有最大值，最大值是多少？

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：小是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故4不符合題意；

以是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故8不符合題意；

C、既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故C符合題意；

。、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故。不符合題意；

故選：C.

把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做

中心對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸

對稱圖形，由此即可判斷.

本題考查軸對稱圖形，中心對稱圖形，關鍵是掌握軸對稱圖形，中心對稱圖形的定義.

2.【答案】D

【解析】解：|一5|+2。=5+1=6.

故答案為：D.

本題考查絕對值和零指數基的運算.

本題考查絕對值和零指數塞的運算.解題的關鍵是熟悉任何非零數的零次基都等于1.

3.【答案】B

【解析】解：該幾何體的左視圖是:

故選：B.

左視圖是從物體左側看到的視圖，其中看得見的輪廓畫成實線，看不見的輪廓畫成虛線，由此判

斷即可.

本題考查了幾何體的三視圖，熟知：左視圖是從物體左側看到的視圖.

4.【答案】A

【解析】解:0.000000001=1X10-9

故選：A.

本題主要根據科學記數法的定義和負指數的知識來解答.

本題主要考查了科學記數法的相關知識，難度不大.

5.【答案】D

【解析】解：A：(一pq)3=(-p)3q3=-p3q3,故選項A錯誤，

B：x-x3+x2-x2=x4+x4=2x4,故選項8錯誤，

C：725=5,故選項C錯誤，

D：3)3=a2x3=a6.

故答案為：D.

本題考查整式的乘法中基的乘方和積的乘方，算術平方根，同底數基的乘法的運算.

本題考查整式的乘法中幕的乘方和積的乘方，算術平方根，同底數幕的乘法的運算.解題的關鍵

是理解算術平方根的意義，幕的乘方的運算.

6.【答案】C

【解析】解：如圖，

由題意可得：Z-CAE=90°,/.ACF=45°,

vZ1=25°,

^BAC=Z1+/.CAE=115°,

■■AB//CD,

Z.BAC+Z.ACD=180°,

/-ACD=180°-4BAC=65°,

43=180°-Z.ACD-/.ACF=70°.

故選：c.

由題意可求得/B4C=115°,再由平行線的性質可求得乙4CD的度數，結合平角的定義即可求43.

本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質并靈活運用.

7.【答案】D

【解析】解：4若方差s%>s）則乙組數據的波動較小，故此選項不合題意；

B.直線外一點到這條直線的垂線段長度，叫做點到直線的距離，故此選項不合題意；

C.三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，故此選項不合題意；

。.角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上，故此選項符合題意.

故選：D.

直接利用方差的意義以及點到直線的距離、重心、角平分線的性質分別分析得出答案.

此題主要考查了方差的意義以及點到直線的距離、重心、角平分線的性質，正確掌握相關性質是

解題關鍵.

8.【答案】B

【解析】解：A該組數據的樣本容量是：12+24%=50,樣本容量沒有單位，原說法錯誤，故本

選項不符合題意；

A80?90這一組數據有：50-4-7-12x2=15（人），所以該組數據的中位數落在90?100這

一組，原說法正確，故本選項符合題意；

C.90?100這組數據的組中值是95,原說法錯誤，故本選項不符合題意；

D110?120這組數據對應的扇形統計圖的圓心角度數為：360。x5=50.4。，原說法錯誤，故本

選項不符合題意.

故選:B.

用C中的頻數除以24%可得樣本容量；根據中位數的定義可得該組數據的中位數落在90?100這一

組；90?100這組數據的組中值是95；用360。乘90?100這組數據的組中值是所占比例可知這組

數據對應的扇形統計圖的圓心角度數.

本題主要考查了頻數分布直方圖，扇形統計圖，中位數以及頻數（率）分布表，解題的關鍵是讀懂

圖，找出對應數據，解決問題.

9.【答案】C

【解析】解：??,點4在y軸正半軸上，4C〃x軸，點B,C的橫坐標都是3,且8C=2,點。在47上，

且橫坐標為1,

.?.設B(3,a),則。(l,a+2),

???反比例函數y=5(x>0)的圖象經過點B,D,

???3a=a+2,解得Q=1,

???B(3,l),

fc=3x1=3.

故選：C.

先設B(3,a),則。(l,a+2),再根據反比例函數y=>0)的圖象經過點B,0得出3a=a+2,

求出a的值，進而得出8點坐標，求出k的值即可.

本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函

數的解析式是解答此題的關鍵.

10.【答案】B

【解析】解：由題意可得，

那G+3j

故選：B.

根據題意可知：甲單獨工作1天的工作量+甲和乙合作;天的工作=單位”1“，列出相應的方程即

可.

本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的分式方程.

11.【答案】A

【解析】解：連接80,過B作BE_L4C于E,當0<t<4時，點M在4B上，

:.AB=AD,

??.△AB。是等邊三角形，

???AE=ED=^AD=2,BE=\T^AE=2c,

vAM=2x,AN=小，

AMAB仁

:.——=——=2,

ANAE

???Z.A=Z-A,

MAMNFABN,

???乙ANM=^AEB=90°,

MN=VAM2-AN2=Cx，

y=xV-3x=*,

當4St<8時，點M在BC上，

y=^AN-BE=^xx2yJ~3=Cx,

綜上所述，當0<x<4時的函數圖象是開口向上的拋物線的一部分，當4St<8時，函數圖象是

直線的一部分，

故選：A.

連接BD,過B作BE14。于E,根據已知條件得到△4BD是等邊三角形，根據相似三角形的判定定

理得到△AMN*ABN,根據相似三角形的性質得到乙4NM=乙4EB=90°,當0ct<4時，點M

在ZB上，當44t<8時，點M在BC上，根據三角形的面積公式即可得到結論.

本題考查了動點問題的函數圖象，二次函數的圖象，一次函數的圖象，矩形的性質，勾股定理，

等邊三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握各定理是解題的關鍵.

12.【答案】D

【解析】解：???四邊形48CD是正方形，

乙BAD=AADE=90°,AB=AD,

"BF1AE,

???Z,ABF=90°-Z.BAF=Z.DAE,

???cosZ.ABF=cosZ-EAD,

RIIBFAD

I而一而‘

又AB=AD,

：-AB2=BF-AE.

故①正確；

設正方形的邊長為a,

?.,點E為邊CD的中點，

?-DE=p

???tanZ-ABF=tanNEAD=

在RtAABE中，

AB=VAF2+BF2=y/~5AF=a，

???AF=-^-a?

在Rt△ADE中，

AE=VAD2+DE2=穿，

???EF=AE-AF=一~^a=

?:AB“DE,

GAB^AGED,

-A-G-ABcz.

~GE=DE

廠廠14rt1可

**?GE=~AE=a>

DO

FG=AE-AF-GE

256

AF_<5__3

FG=7T=5,

~isa

???S&BGF：S—BF=2：3.

故②正確;

AB=a,

??AD=AB=a,

BD2=AB2+4。2=2a2,

如圖所示，過點H分別作BF,4E的垂線，垂足分別為M,N,如圖,

???四邊形FMHN是矩形，

???FH是4BFG的角平分線,

HM=HN,

???四邊形FMHN是正方形,

???FN=HM=HN,

:.BF=2,AF=~-■—CL?FG—a，

.MH_FG_1

‘麗=而=?

設MH=b,則BF=BM+FM=BM+MH=3b+b=4b,

在RtABMH中,

BH=VBM2+MH2=>T10b.

vBF=-a，

2\T5

:.—^―a=4b，

解得：b=需a.

???BW=>nrOx^a=^a，

???BD2-BDHD=2a2-<2ax^a=a2.

故③正確.

故選：D.

①根據題意可得乙4BF=90°-/.BAF=/.DAE,則cos乙4BF=cos/EAD,即器=崇又ABAD,

即可判斷①；②設正方形的邊長為a,根據勾股定理求得4F,證明△GABSAGED,根據相似三

角形的性質求得GE,進而求得FG,即可判斷②：過點H分別作BF,4E的垂線，垂足分別為M,N

根據②的結論求得BH,勾股定理求得BD,即可判斷③.

本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質與判定，正方形的性質，熟練掌握相似三角形的性

質與判定是解題的關鍵.

13.【答案】(x+y)(x-z)

【解析】解：原式=+xy)—z(x+y)

=x(x+y)—z(x+y)

=(x+y)(x—z),

故答案為：(x+y)(x—z).

利用分組分解法及提公因式法因式分解即可.

本題考查因式分解，將原式分組為(/+xy)-z(X+y)是解題的關鍵.

14.【答案】刀2—5且為40

【解析】解：由題意得x+520且

解得x>-5且久豐0,

故答案為：%2-5且工40.

根據分式的分母不為0和二次根式的被開平方數大于等于0進行求解.

此題考查了分式和二次根式定義的應用能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識.

15.【答案】:

【解析】解：畫樹狀圖如下：

開始

1234

/TV/yV

1234123412341234

共有16種等可能的結果，其中第二次抽取卡片上的數字能夠整除第一次抽取卡片上的數字的結果

有8種，

???第二次抽取卡片上的數字能夠整除第一次抽取卡片上的數字的概率是2=

ioZ

故答案為：

畫樹狀圖，共有16種等可能的結果，其中第二次抽取卡片上的數字能夠整除第一次抽取卡片上的

數字的結果有8種，再由概率公式求解即可.

本題考查了樹狀圖法，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以

上完成的事件；解題時還要注意是放回試驗還是不放回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況

數與總情況數之比.

16.【答案】一|

【解析】解：一元二次方程/+%=5%+6整理得，

%2—4%—6=0.

根據題意得％1+%2=4，%1%2=-6，

所以原式=空=吃=一|.

故答案為：

根據根與系數的關系得到與+上=4,xxx2=-6,再把原式變形得到黨，然后利用整體代入

的方法進行計算.

本題考查了一元二次方程以2+法+。=09片0)的根與系數的關系：若方程的兩根為與,冷，

bc

則與+%2=_]/巾2=/

17.【答案】工

x-2

【解析】解：(器-品)一懸

_「x+2x—11x(x—2)

lX(x-2)(X-2)2JX-4

22

_r%—4x—x]x(x—2)

-x(x-2)2x(x-2)2x-4

x-4x(x-2)

一x(x-2)2x-4

1

7^2

故答案為：當

先通分計算括號里的分式加減，再計算除法.

此題考查了分式混合運算的能力，關鍵是能準確確定運算順序，并能進行正確地計算.

18.【答案】(|兀一7~5)。022

【解析】解：如圖，連接。4OC,0C交4B于點M,

由折疊性質可得。4=AC,AB1OC,

:.OA=OC=AC=2cm,

1

:.OM=CM=^0C=lcm,ZLAOC=60°,

vZ.AMO=90°,

AM=VOA2—OM2=V22—l2=Vs(cm),

'S陰影=S扇形AOC-S^AOC

607rx221/一?

=(|zr-15)(cm?),

故答案為：(1?r-yTs)cm2.

連接04,OC,OC交AB于點、M,根據折疊性質及等邊三角形性質求得4aoe=60。，0M的長度，

再利用勾股定理求得4M的長度，然后利用扇形40c的面積減去△40C的面積即可求得答案.

本題考查扇形面積公式和折疊性質，結合已知條件求得人1OC的度數及OM的長度是解題的關鍵.

19.【答案】（6-2a,-2匕）

【解析】解：過C作CM1ABTM,過C'_LAB'于N,

貝IJNANC'=Z.AMC=90°,

???△ABC與△ABC的相似比為1：2,

AC1

旅=5'

???乙NAC'=匕CAM,

???△4CMsZk4C'N,

.AM_CM_AC

‘麗=而=AC7'

???點4(2,0),點CQ,b),

???OA—2,OM—a,CM=b,

???AM=Q-2,

.Q-2_b_1

'~AN=而=2'

:,AN=2a-4,C'N=2b,

AON=AN-OA=2a-6,

??.點C'的坐標為(6-2a,-2b),

故答案為：(6—2a,-2b).

過C作于M,過于N,則乙4NC'=/AMC=90。，根據相似三角形的判定和性質

定理即可得到結論.

本題考查的是位似變換和坐標與圖形性質，掌握相似三角形的性質：相似三角形的對應邊的比相

等是解題的關鍵.

20.【答案】3+3日

【解析】解：是等邊三角形，

:.AC=BC=6,乙ABC=乙BCA=60°,

???Z-ECF=60°,

:.(BCE=60°-Z-ECA=Z.ACF,

???CE=CF,

???△BCEwzMCF(SAS),

???Z-CAF=Z-CBE,

???△ABC是等邊三角形，BD是高，

11

???乙CBE="ABC=30°,CD=^AC=3,

過C點作CG14F,交4尸的延長線于點G,延長CG到H,使得GH=CG,連接AH,DH,DH與AG交

于點/,連接C/,FH,

則44CG=60°,CG=GH=\AC=3,

CH=AC=6,

4cH為等邊三角形，

DH=CD-tan600=3y/~3,

AG垂直平分CH,

???CI=HI,CF=FH,

CI+DI=HI+DI=DH=

CF+DF=HF+DF>DH,

???當尸與/重合時，即。、F、，三點共線時，CF+DF的值最小為：CF+DF=DH=3口，

：,△CD尸的周長的最小值為3+3口

故答案為：3+3C.

分析已知，可證明△BCE三△4CF,得NC4尸=4CBE=30。，可知點F在A/IBC外，使4a4尸=30。

的射線4尸上，根據將軍飲馬型，求得DF+CF的最小值便可求得本題結果.

本題主要考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的性質與判定，將軍飲馬的應用，

關鍵在于證明三角形全等確定E點運動軌跡.

21.【答案】2n2-n

【解析】解：???圖(1)有1個三角形，記作的=1；

圖(2)有5個三角形，記作a2=5=1+4=14-4x1；

圖(3)有9個三角形，記作=9=14-4+4=1+4x2；

???,

???圖(ri)中三角形的個數為：an=1+4(n-1)=4n—3,

?，?+…+Q?l

=1+5+9+…+(4九-3)

l+4n-3

=—271

=2n2—n.

故答案為：2n2-n.

根據題意可求得即=4n-3,從而可求解.

本題主要考查圖形的變化規律，解答的關鍵是由所給的圖形總結出即=4n-3.

22.【答案】4+2/3或4-2門

【解析】解：???將△力BC繞點B旋轉45。得到△4BC',

??.有以下兩種情況：

①當△48c繞點B逆時針旋轉45。得到△A'BC,

過點B作BE14'。于E,作80的垂直平分線HF交于H,交4。于F,連接8F,

△ABC為等腰三角形，Z4=120°,AB=2,

乙BA'C'=z.A=120°,A'B=AB=2,AABC=30°,

4DA'B=60°,

由旋轉的性質得：AA'BA=45°,

/.A'BC=/.A'BA+/.ABC=75°,

又?:乙A'BC=LDA'B+乙D,

即75°=60°+N。=15°,

在中,^DA'B=60°,A'B=2,

???AA'BE=30°,

-.A'E=^AB=1,

由勾股定理得：BE=VA'B2-A'E2=

???HF為BC的垂直平分線，

???DF=BF,

：,乙D=4FBD=15°,

???LEFB=ND+Z.FBD=30°,

???BF=2BE=2/3.故：DF=BF=2<3，

由勾股定理得：EF=VBF2-BE2=3.

A'D=AE+EF+DF=4+2門；

②當△ABC繞點8順時針旋轉45。得到△A'BC,

過點。作。M_L4'D于M,作AD的垂直平分線PQ交于Q,

由旋轉的性質得：乙4B4=45。，Z.BA'C=z>4=120°,A'B=AB=2,

???WBD=/.ABA'-AABC=15°,^BA'D=60°,

???DM1.A'D,

???Z.A'DM=30。，

在北△ADM中，z.A'DM=30°,設AM=x,

則4。=2A'M=2x,

由勾股定理得：DM=VA'D2-A'M2=V3x，

???PQ為BD的垂直平分線，

BQ—DQ,

^A'BD=乙QDB=15°,

???乙DQM=AA'BD+乙QDB=30°,

DQ=BQ=2DM=2cx，

由勾股定理得：QM=VQD2-DM2=3x,

A'M+QM+BQ=A'B,

x+3x+2V_3x=2，

??x=2—A/-3>

即4'D=2x=4-2yT3.

綜上所述：AD的長度為4+2「或4一

故答案為：4+2/號或4一2一3.

分兩種情況：①當△4BC繞點8逆時針旋轉45。得到△4BC',過點B作BE14'D于。，作BO的垂直

平分線HF交。B于"，交于F,連接BF,先求出4。=15。，再求出4E=1,BE=C，進而

得。F=BF=2C，EF=3,據此可求得4。的長；

②當繞點B順時針旋轉45。得到△ABC',過點。作DM1AD于M,作AC的垂直平分線PQ交

A'B于Q,先求出乙4'BD=15°,設AM=x,則AD=2x,DM=Gx，進而可求得DQ=BQ=

2Ox-QM=3x,據此可求出x,進而可求得4。的長.

此題主要考查了圖形的旋轉變換及性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，勾股定理等，

解答此題的關鍵是理解題意，熟練掌握圖形的旋轉變換，理解在直角三角形中，30。的角所對的直

角邊等于斜邊的一半，分類討論是解答此題的難點，漏解是解答此題的易錯點之一.

23.【答案】解：(1)如圖，PE、PF為所作；

I

???PE,PF為。。的兩條切線，

AOE1PEfOF1.PF,

???乙OEP=乙OFP=90°,

:.(EOF=180°-(EPF=180°-30°=150°,

當點。在優弧E尸上時，4EDF=、4EOF=75°,

當點。'在弧EF上時,LED'F=180°-Z.EDF=180°-75°=105°,

綜上所述，NEDF的度數為75。或105。.

【解析】(1)連接OP，作OP的垂直平分線得到OP的中點M,再以M點為圓心，MA為半徑作圓交00

于點E、F,則根據圓周角定理得到NOEP=Z.OFP=90°,從而可判斷PE,PF為。。的兩條切線；

(2)連接。E、OF,如圖，先根據切線的性質得到NOEP=NOFP=90。，則根據四邊形的內角和可

計算出4EOF=150。，當點。在優弧EF上時，利用圓周角定理得到4ECF=75。，當點。'在弧EF上

時，利用圓內接四邊形的性質得到4ED'F=105°.

本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的

基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了圓周角定理和切線的判定與性質.

24.【答案】解：如圖，過點C作CH1EF于點H,

在Rt△CHB中，

vtan乙CBH=§=黑，

3HD

HB=CCH，

在RtACHD中，/.CDH=45°,

?.CH=DH,

又：BH-DH=BD=40,

???y/~lCH-CH=40,

解得CH=200+20.

即河兩岸之間的距離是(20/3+20)米；

(2)在Rt△CHP中，HP=HD=PD=20「+20-(12>T3+12)=8yJ~3+8,

???tanzCPF=零

_20口+20

―8G+8

_20

=~8

_5

一2'

【解析】(1)根據直角三角形的邊角關系得出CCH-CH=40.進而求出答案；

(2)求出HP,根據銳角三角函數的定義進行計算即可.

本題了、考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提.

25.【答案】解：(1)設每輛4型車坐滿后載客x人，每輛B型車坐滿后載客y人,

根據題意得:膘髯:歌

解得:

??.每輛4型車坐滿后載客40人，每輛B型車坐滿后載客55人；

(2)設租用力型車m輛，則租用B型車(10-m)輛，

[500m+600(10-m)<5500

：(40m+55(10-7n)>420

解得：5<m<8|,

m是正整數，

二?n可取5,6.7.8

???共有4種方案，

設總租金為w元，

根據題意得w=500m+600(10-m)=-100m+6000,

v-100<0,

w隨m的增大而減小，

:.m=8時，w最小為-100x8+6000=5200(元)；

.??租用4型車8輛，租用B型車2輛最省錢；

(3)設s科=kt,把(4,300)代入得:

300=4k,

解得k=75,

s甲=75t,

設Sz=kt+b,把(0.5,0),(3.5,300)代入得：

CO.5k+b=0

(3.5k+b=300'

解得憶境，

???s乙=100t—50,

???兩車第一次相遇后，相距25千米，

100C-50-75t=25或300-75t=25,

解得y3或1=y,

在甲乙兩車第一次相遇后，當t=3小時或號小時時，兩車相距25千米.

【解析】(1)設每輛A型車坐滿后載客x人，每輛B型車坐滿后載客y人，根據5輛A型和2輛B型車坐

滿后共載客310人；3輛4型和4輛B型車坐滿后共載客340人得：管:?=鴛，解方程組可得答

13%+4y=340

案;

(2)設租用4型車m輛，則租用B型車(10-m)輛，可得：端黑黑味)之藍弼,又小是

正整數，故TH可取5,6,7,8,共有4種方案，設總租金為w元，有w=500m+600(10-?n)=

-100m+6000,由一次函數性質可得租用4型車8輛，租用8型車2輛最省錢；

(3)設5尹=配，s^=kt+b,用待定系數法求出解析式，根據兩車第一次相遇后，相距25千米,

可得100t-50-75t=25或300-75t=25,即可解得答案.

本題考查一次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能從函數圖象中獲取有用的信息.

26.【答案】⑴證明：?.?四邊形ABCD為矩形，

..-.AD//BF,

:.Z-D=Z.DCFf

vG為CD中點、,

:.DG=CG,

vZ-AGD=乙FGC,

???△4DG三"CGOISA)；

(2)解：???四邊形48co為矩形，

???乙ABC=90°,

???CE1AF,

/.Z.CEF=90°=Z.ABC,

vZF=ZF,

???△CEF~dABF,

tCE__CF^

'AB=AF9

vAB=4,BF=%,

在Rt△4BF中，AF=VAB2+BF2=V%2+16-

??,CE=y,

.y_%-3

/，4=J爐+16,

...y=-412(或者v_(4X-12)VX2+16

(3)解：過點E作ENLBF于點N,

M

???四邊形/BCD為矩形，AD=3,

:.AD=BC=3,

vAB=4,CF=1,

:.AB—BF,

.?.△ABF為等腰直角三角形，

Z.CFE=乙BAF=45°,

CE1AF,

.?.△CEF為等腰直角三角形，

???乙ECF=45°,

???EN1CF,

EN平分CF,

CN=NF=NE=I，

在RtABNE中，根據勾股定理得:

BE2=BN2+EN2,

.?。小+獷+（獷=宇

VZ-ECF=乙BAF=45°,

???乙BAM=乙BCE=135°,

??,BM1BE,

???乙MBA+Z.ABE=90°,

乙ABE+乙EBC=90°,

???4MBA=乙EBC，

???△BAM~?BCE,

.BM_BA_4

"~BE~'BC~3,

BM_4

豆=3?

2

【解析】(1)根據矩形的性質得出4V/BF,則=根據題意得出DG=CG,即可證明4

4DG三△FCGG4S4)；

(2)在RM4BF中，根據勾股定理表示出AF,證明△CE~Z\4BF,根據相似三角形的性質即可求

解；

(3)過點E作ENLBF于點N,得出AABF,△CEF為等腰直角三角形，在Rt4BNE中,勾股定理

求得BE,證明ABAMsABCE,根據相似三角形的性質即可求解.

本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，

列函數關系式，勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

27.【答案】⑴證明：?.?乙4BC和NAMC是詫所對的圓周角，

:.(ABC=乙4MC,

vZ.AHM=乙CHB,

CBH,

'~CH=~BHf

??,MH.CH=AH?BH.

(2)證明：連接OC,交AB于點F,

???MC與ND為一組平行弦，BP：MC//ND,

???Z.OND=ZOMC,

???OM=OC,

???Z,OMC=乙OCM,

???"ND+Z.AHM=90°,

???Z.OCM+4AHM=4。CM+乙CHB=90°,

???乙HFC=90°,

???OC1AB,

???OC是48的垂直平分線，

AC=BC；

(3)解：連接DM、DG,過點。作DE，MN,垂足為E,設點G的對稱點G',連接G'。、G'N,

?:DG=DG',乙G'ND=^GND,DM=DG^DGr=DM,

???DG=DM,

??.△OGM是等腰三角形,

???DE1MN,

???GE=ME,

???DN“CM,

???乙CMN=乙DNM,

???MN為直徑，

：?Z.MDN=90°,

:?乙MDE+乙EDN=9。。,

vDE1MN,

???乙DEN=90°,

:.(DNM+乙EDN=90°,

3

???sinzEDM=sinzD/VM=sinzCM/V=

在RtZkMND中，MN=15,

.cwMD3MD3

??,Sin乙DNM=7777=

MN5155,

??.MD=9,

在孔△MED中，siMEDM=：=奈，

5MD

...等=1,

27

.??ME=y,