2022年湖南省高考數(shù)學調(diào)研試卷(3月份)

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。)

1.(5分)設4={x|/gx>0},8={x|/-x-2V0},則(CRA)CB=()

A.{x|x>-1}B.{x|-l<x<l}C.{x|-l<x<l}D.{x[l<x<2}

2.(5分)已知，是虛數(shù)單位，若2=當為純虛數(shù)，則實數(shù)。=()

A.1B.2C.-1D.-2

3.(5分)若》6=如+01(x+1)+42(x+1)2+?3(x+1)3+...+。6(X+1)6,則43=()

A.20B.-20C.15D.-15

4.(5分)下列說法中正確的是()

1O

A.已知隨機變量X服從二項分布B(4,則E(X)=5

B."A與B是互斥事件”是“A與B互為對立事件”的充分不必要條件

C.已知隨機變量X的方差為。(X),則￡>(2X-3)=2D(X)-3

D.己知隨機變量X服從正態(tài)分布N(4,。2)且尸(XW6)=0.85,則P(2<XW4)

=0.35

5.(5分)已知函數(shù)/(x)=/+2x"(1)+2,且其圖象在點x=2處的切線的傾斜角為a,

it37r

則sin(-4-a)cos(——a)的值為()

22

3344

A.—B.一隹C.—D.-7^7

16161717

6.(5分)蹴鞠，又名蹴球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)

實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴，蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球.2006

年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)

名錄.已知某鞠的表面上有五個點尸、A、B、C、。恰好構成一正四棱錐P-4BCD,若

該棱錐的高為8,底面邊長為4VL則該鞠的表面積為()

A.64nB.IOOTTC.132TTD.144TT

7.(5分)已知累函數(shù)/(x)=(m-l)2xm2-4m+2在(0,+oo)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)=

2X-a,VxiG[L5],3x2G[l.5],使得f(xi)(xz)成立,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.B.a2-23C.“231D.a27

y乙

8.（5分）已知雙曲線C：---=1（a>0,b>0）的左、右焦點分別為尸1,尸2,M,N

為雙曲線一條漸近線上的兩點，A為雙曲線的右頂點，若四邊形MF1NF2為矩形，且/

，則雙曲線C的離心率為（）

lr-V21,—

A.V3B.V7C.—D.V13

3

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）

（多選）9.（5分）下列說法正確的是（）

A.為了更好地開展創(chuàng)文創(chuàng)衛(wèi)工作，需要對在校中小學生參加社會實踐活動的意向進行調(diào)

查，擬采用分層抽樣的方法從該地區(qū)A、B、C、。四個學校中抽取一個容量為400的樣本

進行調(diào)查，已知4、B、C、力四校人數(shù)之比為7：4：3：6,則應從B校中抽取的樣本數(shù)量

為80

B.6件產(chǎn)品中有4件正品，2件次品，從中任取2件，則至少取到1件次品的概率為0.6

C.已知變量x、y線性相關，由樣本數(shù)據(jù)算得線性回歸方程是y=0.4x+a,且由樣本數(shù)

據(jù)算得元=4,y=3.7,則a=2.1

D.箱子中有4個紅球、2個白球共6個小球，依次不放回地抽取2個小球，記事件M=

｛第一次取到紅球）,N=｛第二次取到白球｝,則M、N為相互獨立事件

（多選）10.（5分）已知函數(shù)/（無）=4sin（3x+（p）（4>0,3>0,|（pl<l）的部分圖像如

圖所示，下列結論正確的是（）

A..9=_[71

B.將『（X）的圖像向右平移1個單位，得到函數(shù)y=2sin,x的圖像

C.f（x）的圖像關于直線》=-1對稱

D.若|XI-X2|<4,則|/(XI)-f(X2)|<4

(多選)11.(5分)已知圓C過點A(1,3),B(2,2),直線m：3x-2y=0平分圓C的

面積，過點。(0,1)且斜率為k的直線/與圓C有兩個不同的交點M,N,則()

A.圓心的坐標為C(2,3)

B.圓C的方程為(x-2)2+(y-3)2=l

17

C.k的取值范圍為(-,-)

33

12遍

D.當仁犧，弦政V的長為丁

(多選)12.(5分)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x<0時，/(x)="(x+l),

則下列命題正確的是()

A.當x>0時，/(x)=--X(x-1)

B.函數(shù)『CO有3個零點

C.f(x)<0的解集為(-8,-1)u(0,1)

D.Vxi,X2CR,都有「(Xi)-f(%2)|<2

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。)

13.(5分)若直線/的方向向量薪=(x,-1,2),平面a的法向量7=(-2,-2,4),

且直線平面a,則實數(shù)x的值是.

14.(5分)已知拋物線C：W=2y上有兩動點P,Q,且|「。|=5,則線段PQ的中點到x軸

距離的最小值是.

0。92(_芬x〈-1

15.(5分)設函數(shù)/(x)={1/42，若/(X)在區(qū)間W，4]上的值域為

I-可/+@%+可，—1

[-1,2],則實數(shù)機的取值范圍為.

16.(5分)用g(〃)表示自然數(shù)拉的所有正因數(shù)中最大的那個奇數(shù)，例如：9的正因數(shù)有1、

3、9,g(9)=9,10的正因數(shù)有1、2、5、10,g(10)=5.記S(九)=g(1)+g(2)

+g(3)+…+g(2〃)，則:

(1)S(4)=；

(2)S(〃)=.

四、解答題：(本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(10分)△48C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin4sinB+ccosA=(acosA+2。)

cosB.

(I)求8；

(II)若b=26AB'CB=6,求△ABC的周長.

18.(12分)已知數(shù)列｛“"｝的前〃項的和為S”且滿足S”=2如-1(gN*).

(1)求數(shù)列伍求的通項公式所及S”；

(2)若數(shù)列｛岳｝滿足bn=\Sn-311，求數(shù)列｛兒｝的前n項的和Tn.

19.(12分)箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形.如圖，四邊形ABC。是一

個箏形，AB=AD=遍,CD=CB=1,AC=2,沿對角線AC將△AOC折起到E點，形

成四棱錐E-ABCZ).

(I)點M為線段4E中點，求證：BM〃平面EQ)；

(II)當EB=|時，求直線BC與平面E4。所成角的正弦值.

20.(12分)某市為了解2020年十一雙節(jié)期間市民旅游出行的方式及滿意程度，對去該市

市區(qū)內(nèi)甲、乙、丙三個景點旅游的市民進行了調(diào)查.現(xiàn)從中隨機抽取100人作為樣本，

得到如表(單位：人)：

滿意度得分甲乙丙

報團游自駕游報團游自駕游報團游自駕游

10分1211210714

5分414449

0分107217

合/p>

(1)從樣本中任取1人，求這人沒去丙景點的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.針對甲、乙、丙三個

景點，從全市十一雙節(jié)期間旅游出行選自駕游的所有人中，隨機選取2人，記X為去乙

景點的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

(3)如果王某要去甲、乙、丙三個景點旅游，那么以滿意度得分的均值為依據(jù)，你建議

王某是報團游還是自駕游？說明理由.

_X2V2

21.(12分)在平面直角坐標系xOy中，設尸為橢圓C瓶+京■=1的左焦點，

TT

直線x=-會與x軸交于點為橢圓C的左頂點，己知橢圓長軸長為8,且PM=2MF.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若過點P的直線與橢圓交于兩點A,B,設直線AF,8尸的斜率分別為h,ki.

①求證：匕+七為定值；

②求aABF面積的最大值.

22.(12分)已知函數(shù)/(冗)—ex-Inx,g(x)

(1)求函數(shù)/(x)在上，什1](Z>0)上的最小值；

(2)證明：當.>0時,xf(x)<g(x).

2022年湖南省高考數(shù)學調(diào)研試卷（3月份）

參考答案與試題解析

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。）

1.(5分)設A={x|/gx>0},B={x|?-x-2<0},貝U(CRA)AB=()

A.{x\x>-1}B.[x\-l<x<l}C.{x|-1<x<1}D.{x|l<x<2}

【解答】解：因為A={x|/gx>0}={上>1},

B={xM-x-2<0}={x|(x-2)(x+1)<0}={x|-l<x<2},

所以CR4={4XWI},所以(CRA)AB={X|-l<x<l}.

故選：B.

2.(5分)已知i是虛數(shù)單位，若2=等為純虛數(shù)，則實數(shù)。=()

A.1B.2C.-1D.-2

【解答】解：：Z=^=借郎哥=等+與為純虛數(shù),

￡1±勺1=0，解得a=

0

故選：C.

3.(5分)若X6=〃0+〃1(X+1)+〃2(x+1)2+a3(X+1)3+...+。6(X+1)6,則〃3=()

A.20B.-20C.15D.-15

【解答】解：x6=[-1+(1+x)]6=ao+m(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+....+〃6(x+1)

6

則43=瑤?(-1)3=-20,

故選：B.

4.（5分）下列說法中正確的是（）

A.已知隨機變量X服從二項分布B（41,則E（X）=1Q

B.“A與8是互斥事件”是“A與8互為對立事件”的充分不必要條件

C.已知隨機變量X的方差為。（X）,則。（2X-3）=2￡>（X）-3

D.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（4,。2）且尸（XW6）=0.85,則P（2<XW4）

=0.35

11A

【解答】解：對于A：隨機變量X服從二項分布8(4,-),則E(X)=4x|=^故A

333

錯誤；

對于8：“A與B是互斥事件”不能推出“A與B互為對立事件“，但是“A與B是互斥

事件”u“A與8互為對立事件“，故A與3是互斥事件”是“A與8互為對立事件”

的必要不充分條件，故8錯誤；

對于C：隨機變量X的方差為。(X),則。(2X-3)=4。(X),故C錯誤；

對于。：因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(4,。2)且p(xW6)=0.85,所以P(XW2)

=0.15,所以尸(2<XW4)=0.35,故O正確.

故選：D.

5.(5分)已知函數(shù)/(x)=?+2xV(1)+2,且其圖象在點x=2處的切線的傾斜角為a,

TC3TC

則sin(一+a)cos(——a)的值為()

22

3344

A.—B.一彳zC.—D.一—

16161717

【解答】解：=/+國(1)+2,

：.f(x)=37+W(1),

：.f(1)=3+般⑴，

即/'(1)=-l,/'(x)=3/-4x,

...圖象在點x=2處的切線的斜率2/(2)=4=tana,

n37r

貝！Jsin(一+a)cos(——a)

22

=-cosasina

_sinacosa

sin2a-^-cos2a

-tana

l+tcm2a

4

="T7)

故選：D.

6.(5分)蹴鞠，又名蹴球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)

實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴，蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球.2006

年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)

名錄.己知某鞠的表面上有五個點尸、A、B、C、力恰好構成一正四棱錐尸-A8CD,若

該棱錐的高為8,底面邊長為4位，則該鞠的表面積為（)

A.64nB.100nC.1321TD.144TC

【解答】解：正四棱錐P-ABC。的底面是正方形，底面邊長為4VL高為8,如圖所示:

所以正四棱錐P-ABCD的底面對角線的長為4V2XV2=8,

設正四棱錐外接球的半徑為R,則#=（8-7?）2+42,解得R=5,

所以球的表面積為5=4Tf7?2=4TtX25=100n,

即該鞠的表面積為lOOn.

故選：B.

7.（5分）已知基函數(shù)/（x）=（瓶-1）2*機2-4巾+2在（0,+8）上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）=

2X-a,Vxie[l,5],3xie[i,5],使得（%2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.B.-23C.D.

【解答】解：???累函數(shù)/（%）=（巾一1）2%/-4皿+2在（0,+8）上單調(diào)遞增，

?.?"[=;解得…

（m2-4m+2>0

:./（x）=/,

當刈日1,5]時，/（XI）€[1,25],則八陽）min=\,

又當了2日1,5]時，g（%2）6[2-a,32-。],g（X2）相加=2-a,

由題意得：122-小解得：

故選：A.

X2V2

8.（5分）已知雙曲線C：—=1（。>°，^>0）的左、右焦點分別為乃，F(xiàn)2,M,N

z

ab乙

為雙曲線一條漸近線上的兩點，A為雙曲線的右頂點，若四邊形MF1N仍為矩形，且N

M4N=等，則雙曲線C的離心率為（）

lr-.-

A.V3B.V7C.——D.V13

3

【解答】解：如圖,

因為四邊形MQNF2為矩形，所以|M7V|=|FIF2|=2C（矩形的對角線相等）,

所以以MN為直徑的圓的方程為/+/=02,

直線MN為雙曲線的一條漸近線，不妨設其方程為＞=務，

沱23解需著

由

所以N(a,〃)，M(-a,-b)或N(-a,-b),M(a,b),

不妨設N((7,b),M(-a,-b),又A(a,0)

所以|AM=J(a+a)2+爐="4a2+岳,丹川=J(a—a)2+爐=b,

在△AMN中，NMAN=號,

由余弦定理得|加辭=忸/2+忸川2-21AMi4N|?cos等,

即4c2=4a2+/?2+/>2+V4a2+b2xb,

貝ij2b=V4a2+b2,

所以4b2=4a1+b2,

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）

（多選）9.（5分）下列說法正確的是（）

A.為了更好地開展創(chuàng)文創(chuàng)衛(wèi)工作，需要對在校中小學生參加社會實踐活動的意向進行調(diào)

查，擬采用分層抽樣的方法從該地區(qū)A、B、C、。四個學校中抽取一個容量為400的樣本

進行調(diào)查，已知A、B、C、。四校人數(shù)之比為7：4：3：6,則應從8校中抽取的樣本數(shù)量

為80

B.6件產(chǎn)品中有4件正品，2件次品，從中任取2件，則至少取到1件次品的概率為0.6

C.已知變量無、y線性相關，由樣本數(shù)據(jù)算得線性回歸方程是y=0.4久+a,且由樣本數(shù)

據(jù)算得元=4,y=3.7,則a=2.1

D.箱子中有4個紅球、2個白球共6個小球，依次不放回地抽取2個小球，記事件M=

｛第一次取到紅球｝,N=｛第二次取到白球｝，則M、N為相互獨立事件

【解答】解：對于選項A,

采用分層抽樣的方法從該地區(qū)4、B、C、。四個學校中抽取一個容量為400的樣本進行

調(diào)查，

A、B、C、。四校人數(shù)之比為7：4：3：6,

故應從8校中抽取的樣本數(shù)量為400X元』=80,故正確;

最+屐03

對于選項B,至少取到1件次品的概率為=-=0.6,故正確;

對于選項C,,線性回歸方程是y=0.4x+Q,且5=4,y=3.7,

???a=3.7-04X4=2.1,故正確;

對于選項。，M、N不是相互獨立事件，故錯誤；

故選：ABC.

（多選）10.（5分）己知函數(shù)/（x）=Asin（a）x+（p）（A>0,a）>0,|（p|<l）的部分圖像如

B.將的圖像向右平移1個單位，得到函數(shù)y=2sin*x的圖像

C./(x)的圖像關于直線X=-1對稱

D.若|XI-%2|V4,則(亢1)-f(%2)|<4

【解答】解：由圖可知A=2,函數(shù)fG)的最小正周期為T=4X(5-3)=8,

rjiii27TTC

貝U3=下=不

,57r/057r

由f(5)=2sin(—+<p)=-2,得sin(—+(p)=-1,

44

所以，—+(p=+2^11,(kWZ),得華=百+2汨，(kEZ),

因為即|<1,得隼=?

TCTT

所以/(K)=2sin(―x+j),A項錯誤；

4T,

將fG)的圖象向右平移1個單位，

得到函數(shù)/'(x-1)=2sin[—(x-1)+]]=2sin4的圖象,8項正確；

4，4

可得/(-1)=2sin(-左+/)=0,故。項錯誤；

由于/(X)的最小正周期為7=至=8,

4

T

所以若|xi-功<4=彳則，(xi)-f(%2)|<4,故￡>項正確.

故選：BD.

(多選)11.(5分)已知圓C過點A(1,3),B(2,2),直線相：3x-2y=0平分圓C的

面積，過點￡>(0,1)且斜率為k的直線/與圓C有兩個不同的交點M，N,則()

A.圓心的坐標為C(2,3)

B.圓C的方程為(x-2)2+(y-3)2=1

17

C./的取值范圍為(-,-)

33

12\[5

D.當時，弦的長為丁

【解答】解：設圓方程為(X-?)2+(y-b)2=P,

因為圓C被直線〃?：3x-2y=0平分，

所以圓心(“，b)在直線機上，則由3。-26=0,

由條件圓C過A,B兩點，則一一M=I,

1(2-ay4-(2-by=rz

解得a=2,b=3,r=l,

所以圓心。(2,3),故A正確；

圓C的方程為(x-2)2+(廠3)2=1,故B正確；

由題可知過點。(0,1)且斜率為k的直線/方程為丫=區(qū)+1,即fcc-y+l=0,

由直線/與圓C由兩個不同交點M,N,所以點C到直線/的距離小于半徑r,

即喈坦〈I，解得穿《〈竽，故C錯誤；

V/c2+l33

當％時，可求得點C(2,3)到直線/的距離4=咋型=攣，

2M5

則弦長|MM=2〃2-d2=2小一(等)2=竿，故。正確；

故選：ABD.

(多選)12.(5分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，/(x)=F(x+l),

則下列命題正確的是()

A.當x>0時，f(x)=-ex(x-1)

B.函數(shù)/(x)有3個零點

C.f(x)<0的解集為(-8,-1)u(0,1)

D.Vxi,X2GR,都有/(xi)-f(X2)|<2

【解答】解：函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，/(x)="(x+1),

設x>0時，-x<0,/(-x)=ex(-x+1),'.f(x)=-/(-x)=ex(x-1),

x=0時，f(0)=0.因此函數(shù)/(x)有三個零點：0,+1.

當x<0時，f(x)="(x+1),f(x)=F(x+2),可得x=-2時，函數(shù)f(x)取得

極小值，

/(-2)=^-.可得其圖象：

f(x)<0時的解集為：(-8,-1)u(0,1).

Vxi,X26R,都有/(Xi)-f(JC2)\^\f(0+)-f(0.)|<2.

因此8C￡>都正確.

故選：BCD.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。)

13.(5分)若直線1的方向向量就=(x,-1,2),平面a的法向量Z=(-2,-2,4),

且直線平面a,則實數(shù)x的值是-1.

【解答】解：?.?直線/的方向向量茄=(x,-1,2),

平面a的法向量蔡=(-2,-2,4),且直線/，平面a,

—>—>

Am||n,

x-12

—2—24

解得實數(shù)》=-1.

故答案為：-1.

14.(5分)已知拋物線C：7=2)，上有兩動點尸，Q,且|PQ=5,則線段PQ的中點到x軸

距離的最小值是2.

【解答】解：設拋物線C的焦點為凡點P在拋物線的準線y=-4上的投影為為，點Q

在直線了=-±上的投影為Q1,

線段PQ的中點為E,點E到x軸的距離為力則|PPi|+|QQi|=|/Yl+|Q/q2|PQ|=5,

所以(|PP1|+|QQ1|)-0.5—2,當且僅當|P/q+|QQ=|PQ|,即P、F、Q三點共線時

等號成立，

所以線段PQ的中點到x軸距離的最小值為2,

故答案為：2.

A

X

耳尸一301

X<-1

-

15.(5分)設函數(shù)/(X)+2,若八x)在區(qū)間w，4]上的值域為

-火

3,1

[-1,2],則實數(shù)m的取值范圍為[-8,-1].

【解答】解：函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，結合圖象易得

當”同-8,-1]時,

f(x)€[-1,2].

16.(5分)用g(〃)表示自然數(shù)月的所有正因數(shù)中最大的那個奇數(shù)，例如：9的正因數(shù)有1、

3、9,g(9)=9,10的正因數(shù)有1、2、5、10,g(10)=5.記S(〃)=g(1)+g(2)

+g(3)+…+g⑵),則：

(1)S(4)-86

4n+2

(2)S(n)=

=2k-1,k&N*

【解答】解:由題意得g(〃)

),n=2k,kCN*

由g(")的定義易知g(")=g(2〃)，且若"為奇數(shù)則g(n)=n,

S(4)=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(16)=g(1)+g(3)+g(5)+…+g(15)

+g(2)+g(4)+…+g(16)

=1+3+5+…+15+g(1)+g(2)+g(3)+…+g(8)=64+g(1)+g(3)+g(5)+g(7)

+g(2)+g(4)+g(6)+g(8)

=64+l+3+5+7+g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=64+1+3+5+7+1+3+g(1)+g(2)

=64+1+3+5+7+1+3+1+g(1)=64+1+3+5+7+1+3+1+1=86,

S(〃)=g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2〃)=g(1)+g(3)+g(5)+…+g(2"-1)

+g(2)+g(4)+g(6)+???+g(2D

=l+3+5+7+…+2"-l+g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2"1)=4,rl+S(〃-1)=4""+4”

As(n-2)

=4"-1+4"-2+4"-3+...+4+5(])=+g(1)+g(2)=+2g(1)=+2=.

4n+2

故答案為：86；----

四、解答題：(本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(10分)△43C的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,已知〃sinAsin8+ccosA=(〃cosA+2b)

cosB.

(I)求&

(II)若b=2次，AB^CB=6,求5c的周長.

【解答】解:(I)因為asinAsinB+ccosA=(〃cosA+2h)cos8,可得a(sinXsinB-cosAcosB)

+ccosA=2/?cosB,

所以-〃cos(A+B)+ccosA=2/tcos8,可得〃cosC+ccosA=2bcos5,

由正弦定理可得sirL4cosC+sinCcosA=2sinBcosB,整理可得sin(A+C)=2sin8cos8=sin8,

因為sinBWO,可得COSB=2，

由BE(0,TT),可得3=可.

(II)由余弦定理可得。2=/+c2_2〃CCOS5,即(〃+c)2-3〃c=12,

因為=BA?BC=accosB=^ac=6,解得ac=12,

所以(〃+c)2-36=12,解得〃+C=4V5,

所以△ABC的周長為68.

18.(12分)已知數(shù)列｛如｝的前幾項的和為S〃,且滿足S〃=2a〃-1(n€N*).

(1)求數(shù)列｛如｝的通項公式所及S〃；

(2)若數(shù)列｛歷｝滿足加=|%-31|,求數(shù)列｛加｝的前〃項的和

【解答】解：（1）在S〃=2a〃-1中，令〃=1,則01=241-1,即m=l,

由-1知，S〃+i=2a〃+i-1,

兩式相減得，+1=2〃〃+1-2dn,即Cln+\=2.Cbi9

所以數(shù)列｛〃〃｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛板｝的通項公式。〃=1?2〃一1=2〃7,前〃項和公式Sn=二胃）=2〃-1.

32—2n,l<n<5

(2)bn=\Sn-31|=|2H-1-31|=|2ZZ-32|=

2n-32,n>5

當時，Tn=(32-21)+(32-22)+???+(32-2〃)=32〃-(21+22+-+2,?)=

32M一2(；一,九)=32〃-2W+1+2；

i-z

1256

當〃>5時，Tn=(32-2)+(32-2)+???+(32-2)+(2-32)+…+(2"-32)

=275+(21+22+-+2Z!)-32n=2X98+^1^|^-32n=2,7+1-32n+194,

(32律一2n+i+2,1<n<5

綜上,Tn=\,

(2n+1-32n+194,n>5

19.（12分）箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形.如圖，四邊形ABC。是一

個箏形，AB=AD=A/3,CD=CB=1,AC=2,沿對角線AC將△AOC折起到E點，形

成四棱錐E-ABC。.

（I）點M為線段AE中點，求證：8M〃平面ECQ；

（II）當E8=|時，求直線8C與平面￡40所成角的正弦值.

【解答】解：（I）證明：延長A8,OC交于點凡

,:△AB8XFBC,.?.點B是線段4尸的中點,

?.?點M是線段AE中點，.?.M8〃EF,

平面ECD,EFu平面EC。，

〃平面ECD.

(II)作EOLAC于O,連接BO,

'：AAOE^/\EOB,：.BO±AC,

...AC,平面EOB,如圖，建立空間直角坐標系,

.?.0后=與^=孚，08=空，

:.cosNEOB=0E2,需益B,=_J,/EOB=120°,

20E0B2

V3I3J3J?3

B（一,0,0）,C（0,-4，0）,A（0,0）,D（-笄，0,0）,E（一耳，0,-）,

222244

—731—J33-V33

BC=（一浮，-4,0）,AD=（一苧，-5,0）,DE=（―,0,一）,

222244

設平面AEO的法向量是蔡=（x,y,z）,

T一V33

（n-AD==0-

lL，取z=l,得n=（-V3,1,1）,

一法=/+1=0

設直線BC與平面EAD所成角為a,

—>T

ttTL,BCR

則直線2c與平面EAD所成角的正弦值sina=|cosVn,BC>|=|7-|=者.

|n|-|BC|

直線BC與平面EA。所成角的正弦值為

20.(12分)某市為了解2020年十一雙節(jié)期間市民旅游出行的方式及滿意程度，對去該市

市區(qū)內(nèi)甲、乙、丙三個景點旅游的市民進行了調(diào)查.現(xiàn)從中隨機抽取100人作為樣本,

得到如表（單位：人）：

滿意度得分甲乙丙

報團游自駕游報團游自駕游報團游自駕游

10分1211210714

5分414449

0分107217

合/p>

（1）從樣本中任取1人，求這人沒去丙景點的概率；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.針對甲、乙、丙三個

景點，從全市十一雙節(jié)期間旅游出行選自駕游的所有人中，隨機選取2人，記X為去乙

景點的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

（3）如果王某要去甲、乙、丙三個景點旅游，那么以滿意度得分的均值為依據(jù)，你建議

王某是報團游還是自駕游？說明理由.

【解答】解：（1）設事件“從樣本中任取1人，這人沒去丙景點”為事件A,

由表格中所給數(shù)據(jù)可得，去甲，乙，丙旅游的人數(shù)分別為19,39,42,

士D、

故6?⑷,4=^109+03-9=2509-

（2）由題意可得，X的所有可能取值為0,1,2,

從全市十一雙節(jié)期間旅游出行選自駕游的所有人中，隨機取1人，此人取乙景點的概率

J61

為一=一,

483

P（X=0）=C[x（1一1）2=§，=（x=1）=x|x（1-1）=

P（X=2）=X（1）2=i

故X的分布列為：

X012

P441

1———

999

4412

E(X)=0*@+1*@+2'@=可.

（3）由題干所給表格中數(shù)據(jù)可知，報團游，自駕游的總人數(shù)分別為52,48,

得分為10分報團游，自駕游的總人數(shù)分別為31,25,得分為5分報團游，自駕游的總人

數(shù)分別為12,14,

得分為0分報團游，自駕游的總人數(shù)分別為9,9,

31x10+12x5+9x0185

所以從滿意度來看，報團游滿意度的均值為

5226

25X10+14X5+9X020

自駕游滿意度的均值為

483

18520

■:--->一，

263

...建議王某選擇報團游.

XV

21.（12分）在平面直角坐標系xQv中，設尸為橢圓C：/+言=1（。>6>0）的左焦點,

直線x=-色與x軸交于點尸,M為橢圓C的左頂點，己知橢圓長軸長為8,且PM=2MF.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若過點P的直線與橢圓交于兩點A,B,設直線A凡B尸的斜率分別為h,ki.

①求證：A1+&2為定值；

②求AAB尸面積的最大值.

【解答】解：（1）因為2a=8,所以a=4,

又PM=2MF,

a

所以—