平面向量專題練習(xí)(帶答案詳解)一、單選題1．已知向量，，則（）A．3B．2C．1D．02．已知向量，，若，則的值是（）A．-4B．-1C．1D．43．已知向量，且與互相垂直，則k的值是（）A．1B．C．D．4．等腰直角三角形中，，，點(diǎn)是斜邊上一點(diǎn)，且，那么（）A．B．C．2D．45．設(shè)是非零向量，則是成立的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件6．在中為邊的三等分點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．C．D．7．若，，且，則與的夾角是（）A．B．C．D．8．已知非零向量滿足，的夾角的余弦值為，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A．18B．24C．32D．369．已知向量的夾角為，且,則（）A．B．C．D．10．已知向量，若A、B、C三點(diǎn)共線，則（）A．B．C．D．11．在中，，，且，則（）．A．B．1C．D．12．已知橢圓的離心率為，且是橢圓上相異的兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則的取值范圍為（）A．B．C．D．13．已知向量，，若，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A．2B．4C．或2D．或414．著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理．設(shè)點(diǎn)，分別是△的外心、垂心，且為中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．15．已知向量，滿足，當(dāng)，的夾角最大時(shí)，則（）A．0B．2C．D．416．已知是的重心，且，則實(shí)數(shù)()A．3B．2C．1D．17．設(shè)，均為單位向量，當(dāng)，的夾角為時(shí)，在方向上的投影為（）A．B．C．D．18．若向量，滿足，，且滿足，則與的夾角為（）A．B．C．D．19．已知向量，且，則m=()A．?8B．?6C．6D．8二、填空題20．若點(diǎn)在三角形的邊上，且，則的值為.21．已知，，且，則向量與向量的夾角是.22．已知在Rt△ABC中，AC⊥BC，，若B、C、D三點(diǎn)共線，則m+n＝.23．中，，，則的取值范圍是，的取值范圍是.24．已知向量，若向量，則向量在向量方向上的投影是．25．已知，，則在方向上的投影為.26．設(shè)向量，，其中，則的最小值為．27．設(shè)向量，滿足，，則28．已知,則的最大值為.三、解答題29．已知以為焦點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，且.（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.30．已知，對(duì)于任意點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn).（1）用，表示向量；（2）設(shè)，求與的夾角的取值范圍.參考答案1．C直接根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)果.【詳解】∵，∴，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.2．A利用向量平行的坐標(biāo)表示直接求解即可.【詳解】∵向量，，，∴，解得，∴的值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.3．D由與互相垂直得,再代入求解即可.【詳解】由題,即.故.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的基本運(yùn)算與垂直的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題型.4．D【解析】【分析】將用與進(jìn)行表示，代入可得答案.【詳解】解：由題意得：,故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本定理及平面向量的數(shù)量積，相對(duì)不難.5．B利用的意義，即方向上的單位向量，再根據(jù)充分條件與必要條件的定義，即可求得答案.【詳解】由可知方向相同，，表示方向上的單位向量，所以成立；反之不成立.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查單位向量的概念、向量共線、簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意向量的方向.6．C【解析】（時(shí)等號(hào)成立），即的最小值為,故選C.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算以及利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.7．B根據(jù)相互垂直的向量數(shù)量積為零，求出與的夾角.【詳解】由題有，即，故，因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量夾角的求解，屬于基礎(chǔ)題.8．A根據(jù)向量垂直關(guān)系和數(shù)量積運(yùn)算公式，可得關(guān)于k的方程，解得.【詳解】由可設(shè)，則.因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積及其運(yùn)算，同時(shí)考查向量垂直關(guān)系的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.9．D把向量的模用向量的數(shù)量積表示出來，由數(shù)量積的定義求解．【詳解】，又，∴，解得，故選：【點(diǎn)睛】本題考查求向量模，掌握數(shù)量積的定義和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．B由A、B、C三點(diǎn)共線和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，即可求解.【詳解】由題意，向量，若A、B、C三點(diǎn)共線，根據(jù)平面向量的基本定理，可得，即，即，可得，且，又由，解得，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共線定理，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11．A由向量的運(yùn)算法則，可得，，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解，得到答案.【詳解】由向量的運(yùn)算法則，可得，，又由，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中熟記向量的基本定理，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12．A根據(jù)橢圓的離心率，求出的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)，結(jié)合，得到的坐標(biāo)表示，得到關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合的范圍，得到答案.【詳解】橢圓的，其離心率為，所以，所以，所以，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，，則因?yàn)?，所以，所以所以是關(guān)于的二次函數(shù)，開口向下，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二次函數(shù)求值域，屬于中檔題.13．C根據(jù)已知得到的坐標(biāo)，然后根據(jù)，得到關(guān)于，的方程組，從而得到答案.【詳解】向量，，所以，因?yàn)椋?，解得或所以的值為?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量平行求參數(shù)的值，根據(jù)向量的模長(zhǎng)求參數(shù)的值，屬于簡(jiǎn)單題.14．D構(gòu)造符合題意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖所示的，其中角為直角，則垂心與重合，為的外心，，即為斜邊的中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，為中點(diǎn)，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，以及三角形的三心問題，同時(shí)考查學(xué)生分析問題的能力和推理論證能力．15．D先建系,設(shè),再結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)及運(yùn)算性質(zhì),將，的夾角最大轉(zhuǎn)化為直線與拋物線相切,利用求出,即可,即可解得所求.【詳解】設(shè),因?yàn)?所以,即,為點(diǎn)的軌跡方程.由上圖易知,當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),的夾角最大.令,由消去得.所以,即點(diǎn)或時(shí)，即或時(shí)，的夾角最大.此時(shí)，.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,,將，的夾角最大轉(zhuǎn)化為直線與拋物線相切,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想,難度一般.16．C將用，表示出來，根據(jù)是重心，即可列方程求得參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)槭堑闹匦?，所以，解?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，涉及三角形重心的向量表示，屬基礎(chǔ)題.17．C利用向量投影公式，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，求得在方向上的投影.【詳解】在方向上的投影為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量投影的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.18．D【解析】【分析】利用向量垂直關(guān)系，可得，然后根據(jù)向量夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】由，所以則，又，所以，由則，又，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查向量的垂直關(guān)系以及向量的夾角公式，掌握公式，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.19．D由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．20．根據(jù)得到，再由，根據(jù)平面向量的基本定理，求得的值，代入即可求解.【詳解】如圖所示，由，可得，又由，所以，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的運(yùn)算法則，以及平面向量的基本定理是解答的關(guān)鍵.著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21．根據(jù)得到，再帶入夾角公式即可.【詳解】因?yàn)椋?即，，..所以夾角是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的夾角公式，熟練掌握夾角公式為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題。22．0或3由得到坐標(biāo)，再由AC⊥BC，B、C、D三點(diǎn)共線的向量表示，得到等量關(guān)系，即得解.【詳解】由于AC⊥BC，故或若B、C、D三點(diǎn)共線，則或4故：m+n＝0或3【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直，共線的坐標(biāo)表示，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.23．根據(jù)題意利用正弦定理可建立與角B的關(guān)系，求出B的范圍即可得范圍，利用向量數(shù)量積運(yùn)算及正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為只與角B有關(guān)的關(guān)系式，根據(jù)B的范圍即可求解．【詳解】在中，，，則，由正弦定理可得：，，由A+B+C=π，可得3B+C=π，即，又角B為三角形內(nèi)角，所以，，所以，，由正弦定理可得：，所以可得，故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，涉及三角形邊角轉(zhuǎn)化，和差公式、二倍角公式，向量的數(shù)量及運(yùn)算等知識(shí)，屬于中等題。24．．向量在向量方向上的投影，計(jì)算即可得出結(jié)論．【詳解】向量在向量方向上的投影．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意投影是有正負(fù)的．25．利用在方向上的投影為計(jì)算即可【詳解】設(shè)與的夾角為，因?yàn)椋栽诜较蛏系耐队盀楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)形式下向量投影的計(jì)算，較簡(jiǎn)單.26．求出的坐標(biāo)，代入向量的數(shù)量積公式得出關(guān)于的函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出的最小值即可.【詳解】，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于?？碱}.27．1將兩個(gè)已知條件兩邊平方后相減，可求得兩個(gè)向量的數(shù)量積.【詳解】依題意得，兩式相減得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量模的運(yùn)算，考查完全平方公式以及化簡(jiǎn)求值能力，屬于基礎(chǔ)題.28．已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直向量，不妨設(shè)，，化簡(jiǎn)，根據(jù)關(guān)系式，求最大值．【詳解】已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的向量，不妨設(shè)，令，則，它表示以為圓心，為半徑的圓，可知最大值是到原點(diǎn)的距離加上半徑，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量的模的幾何意義，圓的性質(zhì)，是中檔題．29．（1）；（2）.（1）將代入拋物線方程，求得的值，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得的值；（2）方法一：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得的縱坐標(biāo)，利用拋物線的“點(diǎn)差法”求得直線的斜率，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得直線的方程；方法二：設(shè)直線的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得直線的方程．【詳解】解：（1）將代入拋物線方程，得，所以的方程為，焦點(diǎn)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，可得．（2）方法一：設(shè)，，，，，，由．可得，，，所以，所以直線的斜率存在且斜率，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，整理得，△，可得，則，，，所以，解得，（舍，所以直線的方程為．方法二：設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，，，聯(lián)立方程組，消去，整理得，△，則，，則，則，，由．得，，，所以，所以直線的方程為，由△，可得，由，得，所以，解得或，（舍去）