第3章電路的基本分析方法3.1電路的拓撲關系3.2電路KCL和KVL方程的獨立性3.3-支路電流法3.4網孔電流法和回路電流法3.5節點電壓法

3.1電路的拓撲關系

3.1.1圖的初步概念

圖(Graph)是節點和支路的集合。在圖G中支路用線段(直線段或曲線段)表示,支路和支路的連接點稱為節點。在圖論中,節點稱為頂點,支路稱為邊。注意:在圖的定義中允許獨立的節點存在,即沒有支路和該節點相連,獨立節點也稱為孤立節點;在圖G中,不允許不和節點相連的支路存在,就是說,任何支路的兩端必須落在節點上。

如果移去一個節點,就必須把和該節點相連的所有支路均移去,移去一條支路則不影響和它相連的節點(若將和某一節點相連的所有支路均移去,則該節點就變成了孤立節點)。若一條支路和某節點相連稱該支路和該節點相關聯,那么和一個節點所連的所有支路稱為這些支路和該節點相關聯。

例如圖3-1所示的圖,在圖G1中有4個節點、6條支路;圖G2中有5個節點和5條支路,節點⑤是孤立節點。如果在圖G1中移去節點④,則和它關聯的支路(3,5,6)均要移去,這樣圖G1就變成圖G3;如果在圖G1中分別移去支路2、3、6(和它們關聯的節點不能移去),則圖G1就變成了圖G4。

圖3-1圖的概念說明圖

圖3-2是在圖3-1(a)圖G1的基礎上變換而來的,請判斷哪些圖是圖G1的樹,哪些不是,為什么?你能找出G1中剩余的樹嗎?

圖3-2圖3-1中G1的衍生圖

3.1.2電路模型和圖的關系

有了關于圖的初步知識以后,接下來學習如何利用圖的有關知識幫助我們分析電路。在實現這個目的之前,先研究如何將電路模型轉換成對應的圖。

在電路模型中,一個二端元件或若干個二端元件串聯所形成的分支稱為一條支路,兩個或兩個以上支路的連接點稱為節點。只要將電路中的支路用圖中的支路表示,電路中的

節點保持不變,這樣一個電路模型就可以轉換成對應的圖。

例如圖3-3(a)所示的電路可以轉換成圖3-3(b)所示的圖G。由于R2、R4、R5和受控的電壓源u3-均為二端元件,因此可以用不同的支路(2,4,5,3)分別表示它們;uS6和R6串聯形成一條支路,所以可用一條支路(6)表示;R1和iS1并聯也可以用一條支路(1)表示,因為利用電源變換可以將其變換成電壓源和電阻的串聯形式,所以有伴的電流源可以轉換成一條支路。可見,轉換后的圖G有4個節點、6條支路。要說明的是,由一個完整的電路所轉換成的圖G均是連通的。

圖3-3-電路模型到圖的例子

分析電路的目的是(最多)求出電路中所有支路上的電壓和電流。有了電路的圖G以后,對于圖G可以設出每條支路的電壓和電流,并標出它們的參考方向,則圖G就變成有向圖。上例中圖G的有向圖如圖3-3(c)所示。有向圖中每條支路上的方向既表示該支路電壓的參考方向又表示電流的參考方向,并且電壓和電流的參考方向均是關聯的。

有了電路的有向圖以后,就可以列出圖中所有節點上的KCL方程和所有回路的KVL方程。

3.2電路KCL和KVL方程的獨立性

3.2.1電路KCL方程的獨立性對圖3-3(c)所示有向圖中的節點①、②、③、④分別列出KCL方程為

對于有n個節點b條支路的有向圖而言,KCL方程的獨立個數為n-1個。這是因為,n個節點的所有KCL方程之和為

可見,這n個KCL方程是非獨立的(線性相關),原因是支路電流ij(j=1,2,…,b)作為正負在所有的方程中各出現一次。

3.2.2電路KVL方程的獨立性

由上一節知,一個有n個節點、b條支路的連通圖G,其中的基本回路或獨立回路的個數為b-(n-1)。對于有n個節點、b條支路的有向圖或電路,任何樹的樹支數是n-1個,連支數是b-(n-1)個。如果所有回路均是單連支回路,并且和所有連支一一對應,則這些回路就是基本回路,基本回路是彼此獨立的,則基本回路對應的KVL方程相互之間是獨立的。另一種解釋是,因為一個基本回路中僅含一條連支,所以連支電壓在各自的KVL方程中均是新變量,它不同于其他方程中的所有變量,所以基本回路的KVL方程彼此之間是獨立的。設獨立方程數的個數為l,則它等于連支數的個數,即l=b-(n-1)。

對于一個有n個節點、b條支路的電路,設獨立回路數為l=b-(n-1),則

該式說明,將l個獨立的KVL方程相加,其結果必不等于零。可以證明,若電路中任意數目的回路數g>l,上面求和(代數和)式中的部分KVL方程相加等于零,則說明這些部分方程之間是非獨立的。就是說,當g>l時,g個KVL方程之間不是彼此獨立的,所以l是一個具有n個節點b條支路電路的最大線性無關KVL方程的個數。

例如,圖3-4是圖3-3(c)所示的有向圖,設支路1、4、5為樹支,則連支為2、3、6支路,這樣所有的單連支(獨立)回路為(2,1,4)、(3,1,4,5)、(6,5,4)。分別定義它們為回路l1、l2和l3,

設所有回路的繞行方向均為順時針方向,則KVL方程依次為

再列出回路(2,3,5)的KVL方程為

則上述4個方程是非獨立的,因為由式(3-1a)和式(3-1b)中可得出式(3-1d)式。

3.3-支路電流法

分析電路的目的是已知電路求響應,一個電路中最多的響應是所有支路上的電壓和電流。對于一個具有n個節點、b條支路的電路,它的全部響應就是b條支路的電流和b條支路的電壓,所以總響應(變量)為2b個。

由前面的分析知道,對于一個具有n個節點、b條支路的電路,可以列出n-1個獨立的KCL方程和b-(n-1)個獨立的KVL方程,兩者相加,其個數為b個。對于b條支路,利用每條支路上的VCR,又可以列出b條支路的約束方程,則列出的方程總數為2b個。利用這2b個方程可以求出該電路中2b個響應,所以該方法也稱為2b法。

為了減少方程數,先以b條支路電流為未知變量,列出n-1個KCL方程,再用支路電流表示b-(n-1)個KVL方程中的各個電壓變量,這樣就得到b個關于支路電流的方程,然后再利用每條支路上的VCR求出b條支路上的電壓,所以該方法稱為支路電流法,簡稱支路法。

該方法的具體步驟介紹如下。

例如圖3-5(a)所示電路,該電路所對應的有向圖如圖3-5(b)所示,圖中節點數n=4,支路數b=6。圖3-5支路電流法

最后需說明的是,若某支路由無伴的電壓源或電流源構成,無法寫出該支路的VCR方程,就無法將該支路的電壓用支路電流來表示。對于無伴電壓源支路,因為支路電壓為已知,所以使問題簡單了;對于無伴電流源支路,因為支路電流是已知的,需要設出該支路的電壓然后再列方程,這樣問題就可以解決了。

3.4網孔電流法和回路電流法

由支路法知道,一個b條支路的電路要列b維方程組。例如圖3-5(a)所示電路必須列一個6維方程組。能不能在目的不變的情況下將方程的維數降下來呢?回答是肯定的。

已經知道,一個具有n個節點b條支路的電路,由KCL能列出n-1個獨立方程,由KVL能列出b-(n-1)個獨立方程。若能設定一種變量只用KCL或者KVL方程,就可以將b維方程組降為n-1或b-(n-1)維方程組。本節的網孔電流法(簡稱網孔法)和回路電流法(簡稱回路法)就是只依據KVL間接地求出b條支路電流的方法。網孔法僅適用于平面電路,而回路法既適用于平面電路也適用于非平面電路。下面先介紹平面電路和非平面電路的概念。

就電路所對應的圖G而言,如果圖G中支路和支路之間(進行變換后)除了節點以外沒有交叉點,這樣的圖稱為平面圖,所對應的電路稱為平面電路,否則稱為非平面圖或非平面電路。例如圖3-6(a)是一個平面圖,圖3-6(b)是一個非平面圖。圖3-1中的圖G1就是一個平面圖。

圖3-6平面圖和非平面圖

3.4.1網孔電流法

對于一個平面電路而言,網孔的個數就等于基本回路的個數,對于較為簡單的平面圖,網孔和基本回路可以一一對應,而對于復雜電路,網孔的個數等于基本回路的個數(見習題3-3),因此,網孔上的KVL方程是相互獨立的。

網孔電流法(網孔法)是以網孔電流im為未知變量的。設平面電路有m個網孔,網孔電流的個數就等于獨立回路的個數[m=b-(n-1)],設網孔電流分別為im1、im2、…、imm。網孔電流是一種假想的變量,電路中所有支路電流可以用它們來表示。就是說,它們可以替換形式如式(3-6)中的電流ik,這樣KVL方程就變成以網孔電流為變量的方程。為了便于比較,仍然采用圖3-5(a)所示的電路,將支路3經電源變換后其結果如圖3-7(a)所示,圖中uS3=R3iS3,圖3-7(b)是它的有向圖。

圖3-7網孔電流法

如果電路中含有無伴的電流源支路,由于電流源的端電壓為未知量,處理方法是設它的端電壓為u,這樣就多出一個電壓變量,由于無伴電流源的電流為已知,可以增加一個電流方程(或電流約束)。

根據上述,并設電路有m個網孔,網孔法的具體步驟可歸納如下。

例3-1電路如圖3-8所示,根據網孔法求電路中的電流i2,i3。圖3-8例3-1圖

再根據KCL,有

用所計算的結果進行檢驗,例如在第2個網孔中根據KVL有

可見答案是正確的。

3.4.2回路電流法

網孔法只適用于平面電路,而回路電流法(回路法)既適用于平面電路也適用于非平面電路。對于任意電路所對應的圖而言,當選定樹以后,由單連支確定的回路是基本回路,根據基本回路可以列出其KVL方程。

回路法是以回路電流il為未知變量,變量的個數等于基本回路的個數[l=b-(n-1)],即回路電流分別為il1、il2、…、ill。和網孔電流相同,回路電流也是一種假想電流,而每個支路上的電流同樣可以用這些假想的電流來表示。例如在圖3-9所示的有向圖中,選樹為支路4,2,3,則連支為支路1、5、6,對應的基本回路如圖3-9所示。

圖3-9回路電流和支路電流的關系

設回路電流分別為il1、il2和il3,由圖3-9知回路電流等于對應的連支電流,其參考方向和連支電流的參考方向相同,即i1=il1、i5=il2、i6=il3,根據KCL,有

可見,所有支路電流均可以用假設的回路電流表示。

例3-2電路如圖3-10(a)所示,列出回路方程。圖3-10例3-2圖

例3-3-電路如圖3-11(a)所示,列出回路方程并整理。圖3-11例3-3圖

3.5節點電壓法

例如圖3-12(a)所示電路,圖3-12(b)是對應的有向圖。

圖3-12節點電壓法

例3-4電路如圖3-13所示,列出該電路的節點電壓方程。圖3-13-例3-4圖

解選節點③為參考點,設節點①、②的節點電壓分別為un1、un2,將電阻寫成電導的形式,直接列出節點電壓方程,即

值得注意的是,電阻R1沒有被計入節點①的自導中,原因是節點電壓方程實質上是KCL方程,和電流源串聯的電阻R1不會影響該支路電流的大小,所以也不會影響節點①的KCL方程,因此在列寫節點電壓方程時,要注意和電流源串聯的電阻(或電導)不需要被計入。受控的電流源也是如此。

如果電路中含有無伴的電壓源支路,因為電壓源的電流為未知量,處理方法是設出它的電流i,這樣就多出一個電流變量,由于已知無伴電壓源的電壓,可以增加一個電壓方程(或電壓約束)。另外,對于電路中的受控源,將其先按獨立源對待列方程,然后將控制量用節點電壓變量表示,整理方程即可。

例3-5電路如圖3-14所示,試用節點法求圖中的電壓u。圖3-14例3-5圖

例3-6電路如圖3-15所示,試列出電路的節點電壓方程。圖3-15例3-6圖

本章討論了電路分析的基本方法,KCL和KVL是分析電路的基礎,對于一個具有n個節點b條支路的電路,可以列出n-1個獨立的KCL方程和b-(n-1)個的獨立的KVL方程。由此得出分析電路的基本分析方法,即支路法、回路法(含網孔法)和節點法。利用支路法可以求出給定電路所有支路的支路電流,進而可以求出所有支路的電壓;利用回路法(或網孔法)可以求出所有獨立回路(或網孔)的電流,從而可以間接地求出所有支路的電流和電壓;利用節點法可以求出n-1個節點到參考點的電壓,從而可以間接地求出所有的支路的電壓和電流。可見,利用基本分析方法能夠求出給定線性電路的全部響應。對于

一個具體的電路,除指定以外,選用求解方法的原則是哪一種方法所列的電路方程少則選用哪一種。

因為本書分析的對象限定為線性電路,因而上述諸方法所列的方程均為線性方程,可將它們統一寫成矩陣的形式,即

式中,X分別表示支路電流、回路(或網孔)電流以及節點電壓的列向量,對于線性電路來說A是常系數矩陣,B是由電路中所有激勵組合而成的列向量。對于復雜電路,式(3-18)的維數將增加,此時可以借助計算機求解第4章電路定理4.1線性電路4.2疊加定理和齊性定理4.3替代定理4.4

戴維南定理和諾頓定理4.5特勒根定理4.6互易定理4.7最大功率傳輸條件4.8對偶原理

4.1線性電路

4.1.1線性電路的概念

由1.4節集總參數元件的概念知,集總參數元件是一類只表示實際元器件中一種基本物理現象的元件。如果元件的集總參數值不隨和它有關的物理量變化,這樣的元件稱為線性元件。例如,線性電阻的阻值不隨流過它的電流以及兩端的電壓而變化,線性受控源的系數也不隨控制量和被控量變化等。

4.1.2線性電路方程的性質

對于線性元件或線性電路而言,描述它們的方程是線性方程。在數學中,如果一個函數(方程)既滿足齊次性又滿足可加性,則稱該函數是線性函數,齊次性和可加性也是線性函數的兩個性質。

4.2疊加定理和齊性定理4.2.1疊加定理圖4-1所示電路有兩個獨立源共同激勵,設3個響應分別為i1、i2和u1并求解。圖4-1兩個獨立源激勵的電路

以i1、i2為變量列出電路的支路電流方程為

由克萊姆法則求解,得

圖4-2兩個獨立源分別作用的電路

由以上例子可以看出,當線性電路中有多個獨立源共同作用(激勵)時,其響應等于電路中每個獨立源單獨作用時響應的代數和(線性組合);當一個獨立源單獨作用時,其他所有的獨立源均置零(即電壓源短路,電流源開路)。這就是線性電路的疊加定理。一個獨立源單獨作用,其他獨立源置零,實質上是將原有的電路簡化了,可見疊加定理是通過許多簡化的電路間接求解復雜電路響應的過程。

功率不滿足疊加定理,例如對圖4-1所示電路,則有

這是因為功率的表達式是非線性方程。

例4-1試用疊加定理求圖4-3(a)所示電路中的I和U。圖4-3例4-1圖

例4-2試用疊加定理求圖4-4(a)所示電路中的電壓u。圖4-4-例4-2圖

解兩個獨立源分別作用的電路如圖4-4(b)和圖4-4(c)所示。注意受控源應保留在電路中,因為控制量改變了,所以受控源的被控量也要隨之改變。對于圖4-4(b)有

4.2.2齊性定理

由式(4-8)可知,當有多個獨立源同時激勵時,電路中的任一響應(電壓或電流)等于所有獨立源單獨激勵時響應的疊加。如果只有一個獨立源激勵,即在式(4-8)中只保留一個獨立源,令其他獨立源均為零,則電路中的任一響應為hkujuSj或hkipiSp。由此可見,若激勵增大或減小α

倍(α為實常數),則響應也同樣增大或減小α倍,即響應和激勵成正比。這就是線性電路的齊性定理。

另外,當有多個獨立源激勵時,由式(4-8)還可以看出,若所有激勵同時增大或縮小α倍,則響應也增大或減小α倍,即滿足齊性定理。這里要注意的是激勵必須“同時”增大或減小α倍,響應才能增大或減小α倍。

例4-3求圖4-5所示梯形電路中的電流i5。圖4-5例4-3圖

解對于這樣的純電阻電路,傳統的方法是通過電阻的串、并聯首先求出電流i1,然后通過逐步分流最后求出電流i5。如果利用齊性定理,先假設i'5=1A,然后逐步求出產生該電流所需的電源電壓,進而可以求出電源變化的倍數,最后求出實際的電流i5。由圖知

4.3替代定理

設圖4-6(a)是一個分解成N1和N2(均為一端口電路)的復雜電路,令連接端口處的電壓為uk,流過該端口的電流為ik。如果uk和ik為已知,則替代定理為:對于N1而言,可以用一個電壓等于uk的電壓源uS,或者用一個電流等于ik的電流源iS替代N2,替代后N1中的電壓和電流均保持不變,替代后的電路如圖4-6(b)和圖4-6(c)所示。同樣,對于N2而言,可以用uS=uk的電壓源或iS=ik的電流源替代N1,替代后N2中的電壓和電流均保持不變。

圖4-6替代定理

下面給出替代定理的證明。在兩個一端口的端子a、c之間反方向串聯兩個電壓源uS,如圖4-7(a)所示。如果令uS=uk,由KVL有ubd=0,說明b、d之間等電位,即可以將b、d兩點短接,結果就得到圖4-6(b)。如果在兩個一端口之間反方向并聯兩個電流源,如圖4-7(b)所示,并令iS=ik,再根據KCL就可以證明圖4-6(c)。

圖4-7替代定理的證明

圖4-8(a)所示電路是例4-1所求解的電路,應用替代定理,用一個uS=U的電壓源替代a-b端口右邊的電路,如圖4-8(b)所示。已知uab=U=1V,可求出I=1/3A。圖4-8替代定理的應用

4.4-戴維南定理和諾頓定理根據電路的基本分析方法,對于已知電路可以直接或間接地求出電路中的所有響應。但是在實際問題中,電路中有一條特殊的支路(通常稱為負載支路),它的參數是變化的,而其他部分則固定不變。如交流電源插座上可以接不同的負載,而插座內部電路相對固定;音頻功率放大器外部的負載(擴音器)也是可以變化的,而功率放大器內部則相對固圖4-9含源一端口以及外部電路定。為了避免對固定部分的重復計算,可以用戴維南或諾頓定理對固定不變的部分進行等效簡化,使電路的分析簡化。這樣一類電路可以表示成圖4-9的形式。

圖4-9含源一端口以及外部電路

4.4.1戴維南定理

戴維南定理指出:一個含獨立電源、線性電阻和受控源的一端口(含源一端口NS),對外電路或端口而言可以用一個電壓源和一個電阻的串聯來等效,該電壓源的電壓等于含源

一端口NS的開路電壓,其電阻等于將含源一端口內部所有獨立源置零后一端口的輸入電阻。

將圖4-9中的含源一端口NS開路,如圖4-10(a)所示,圖中uoc為它的開路電壓,圖4-10(b)是將圖4-10(a)內部所有獨立源置零后的無源一端口N0和它的等效電阻Req。根據戴維南定理,對于端口a-b而言,圖4-9中的NS可以等效成圖4-10(c)中所示的形式,即將NS等效成一個電壓源uoc和一個電阻Req的串聯。電壓源uoc和電阻Req的串聯電路稱為NS的戴維南等效電路,其中Req也稱為戴維南等效電阻。根據等效的概念,等效前后一端口a、b之間的電壓u和流過端點a、b上的電流i不變,即對外電路或負載電路來說等效前后的電壓、電流保持不變。可見,這種等效稱為對外等效。

圖4-11戴維南定理的證明

例4-4-電路如圖4-12所示,已知uS=36V,iS=2A,R1=R2=10Ω,

R3=3Ω,R4=12Ω,求電路中的電流i4。圖4-12例4-4圖

圖4-13例4-4求解圖

例4-5求圖4-14(a)所示含源一端口的戴維南等效電路。圖4-14-例4-5圖

再由歐姆定律和分流公式,有

4.4.2諾頓定理

諾頓定理指出:一個含有獨立電源、線性電阻和受控源的一端口NS,對外電路或端口而言可以用一個電流源和一個電導(或電阻)的并聯來等效,該電流源的電流等于NS端口的短路電流,電導(或電阻)等于將該含源一端口內部所有獨立源置零后的端口輸入電導(或電阻)。

圖4-15諾頓定理

例4-6電路如圖4-16(a)所示,求諾頓等效電路和戴維南等效電路。

圖4-16例4-6圖

4.5特勒根定理

特勒根定理是電路理論中對集總參數電路普遍適用的一條基本定理。和基爾霍夫定理一樣,特勒根定理只與電路的拓撲結構有關,與構成電路元件的性質無關。特勒根定理有兩種表述形式。

特勒根定理1:對于一個具有n個節點、b條支路的電路,設各支路的電壓與電流分別為(u1,u2,…,ub)和(i1,i2,…,ib),且各支路電壓與電流的參考方向相關聯,則在任何時刻t,對于所有支路有

證明設一個具有4個節點6條支路的有向圖如圖4-17所示。圖4-17特勒根定理的證明

特勒根定理1說明:對于任意電路,在任意時刻t,所有支路功率的代數和為零。因為該定理的依據僅僅是電路(網絡)的拓撲約束(KCL和KVL),和構成支路元件的性質無關,所以該定理對于由線性、非線性、時不變以及時變等元件構成的集總參數電路(網絡)都適用。

定理2說明:在兩個具有相同拓撲的電路(網絡)中,一個電路的支路電壓與另一電路對應支路電流乘積的代數和為零,或者是同一電路在不同時刻所有支路電壓與其支路電流乘積的代數和為零。因為是兩個支路元件不同的電路,所以該定理不能用功率守恒來解釋,但式(4-15)和式(4-16)仍然具有功率的量綱,所以定理2又被稱為“似功率定理”。

例4-7設有兩個相同的且僅由電阻構成的網絡N0,已知它們的外部接有電阻和電源元件,并獲得部分響應數據,外部元件的連接關系與響應結果數據如圖4-18(a)和(b)所示,根據特勒根定理試求圖4-18(b)中的電壓U。圖4-18例4-7圖

解可以將圖4-18(b)中的有伴電流源看成一條支路,則圖4-18(a)和(b)就具有相同的拓撲。設圖4-18(a)為網絡N,圖4-18(b)為網絡N^,并令網絡N0外部的支路分別為支路1和2,N0內部的支路編號為3~b,則它們的拓撲結構圖分別如圖4-19(a)和(b)

所示。

注意:在應用特勒根定理時,各對應支路電壓和電流的參考方向一定要關聯,如果非關聯,則相應乘積項的前面應加一負號。

4.6互易定理

圖4-20互易定理形式1

圖4-22互易定理形式3

需要注意的是,在應用互易定理時,電路中只能有一個獨立源激勵,N0僅為電阻網絡,若其中含有受控源,一般情況下互易定理不成立,同時要注意激勵源與響應的參考方向。

例4-8求圖4-23(a)所示電路中的電壓u。圖4-23例4-8

4.7最大功率傳輸條件

電路有兩大基本功能,一是傳遞和處理信息,二是傳輸和轉換能量。就能量而言,人們關心的是能量傳輸和轉換的方式以及傳輸和轉換的大小。例如,當含源一端口外接負載時,關心的問題之一是含源一端口能將多大的功率傳輸給負載。一般來說