突破點19集合與常用邏輯用語提煉1集合的概念、關系及運算(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．(2)集合與集合之間的關系：A?B，B?C?A?C.(3)空集是任何集合的子集．(4)含有n個元素的集合的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．(5)重要結論：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.提煉2充要條件設集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}，則有從邏輯觀點看從集合觀點看p是q的充分不必要條件(p?q，qD?/p)ABp是q的必要不充分條件(q?p，pD?/q)BAp是q的充要條件(p?q)A＝Bp是q的既不充分也不必要條件(pD?/q，qD?/p)A與B互不包含提煉3簡單的邏輯聯結詞(1)命題p∨q，只要p，q有一真，即為真；命題p∧q，只有p，q均為真，才為真；綈p和p為真假對立的命題．(2)命題p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命題p∧q的否定是(綈p)∨(綈q).提煉4全(特)稱命題及其否定(1)全稱命題p：?x∈M，p(x)．它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)．(2)特稱命題p：?x0∈M，p(x0)．它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．專題限時集訓(十九)集合與常用邏輯用語[A組高考題、模擬題重組練]一、集合1．(2016·全國乙卷)設集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))D[∵x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3，∴A＝{x|1＜x＜3}．∵2x－3＞0，∴x＞eq\f(3,2)，∴B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(3,2))))).∴A∩B＝{x|1＜x＜3}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(3,2)))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＜x＜3)))).故選D.]2．(2016·全國甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，則A∪B＝()A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}C[B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．]3．(2016·山東高考)設集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，則A∪B＝()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，則A∪B＝{x|x>－1}．故選C.]4．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪(?RQ)＝()A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)B[∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴?RQ＝{x∈R|x2<4}＝{x|－2<x<2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(?RQ)＝{x|－2<x≤3}＝(－2,3]．]5．(2012·全國卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，則()A．AB B．BAC．A＝B D．A∩B＝?B[∵A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，∴BA.]6．(2016·威海二模)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，定義A－B＝{x|x∈A，且x?B}，則A－B＝()A．(－1,2) B．[2,3)C．(2,3) D．(－1,2]B[A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，由題意知A－B＝{x|2≤x＜3}，故選B.]二、命題及其關系、充分條件與必要條件7．(2016·泰安一模)以下說法錯誤的是()【導學號：67722074】A．命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”B．“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要條件C．若命題p：存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)－x0＋1＜0，則綈p：對任意x∈R，都有x2－x＋1≥0D．若p∧q為假命題，則p，q均為假命題D[“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”，A項正確；由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，因此“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要條件，B項正確；命題p：存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)－x0＋1＜0，則綈p：對任意x∈R，都有x2－x＋1≥0，C項正確；由p∧q為假命題，則p，q中至少有一個為假命題，因此D項不正確．故選D.]8．(2016·天津高考)設x＞0，y∈R，則“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件C[當x＝1，y＝－2時，x＞y，但x＞|y|不成立；若x＞|y|，因為|y|≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分條件．]9．(2016·四川高考)設p：實數x，y滿足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：實數x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x－1，,y≥1－x，,y≤1，))則p是q的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[p表示以點(1,1)為圓心，eq\r(2)為半徑的圓面(含邊界)，如圖所示．q表示的平面區域為圖中陰影部分(含邊界)．由圖可知，p是q的必要不充分條件．故選A.]10．(2016·山東高考)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[由題意知a?α，b?β，若a，b相交，則a，b有公共點，從而α，β有公共點，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，則a，b的位置關系可能為平行、相交或異面．因此“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．故選A.]11．(2016·黃岡二模)設集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≥1}，則“x∈A且x?B”成立的充要條件是()A．－1＜x≤1 B．x≤1C．x＞－1 D．－1＜x＜1D[由x∈A且x?B知x∈A∩(?RB)，又?RB＝{x|x＜1}，則A∩(?RB)＝{x|－1＜x＜1}．]三、簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞12．(2015·全國卷Ⅰ)設命題p：?n∈N，n2＞2n，則綈p為()A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2nC．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2nC[因為“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，所以命題“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”．故選C.]13．(2013·全國卷Ⅰ)已知命題p：?x∈R,2x＜3x；命題q：?x∈R，x3＝1－x2，則下列命題中為真命題的是()A．p∧q B．綈p∧qC．p∧綈q D．綈p∧綈qB[當x＝0時，有2x＝3x，不滿足2x＜3x，∴p：?x∈R,2x＜3x是假命題．如圖，函數y＝x3與y＝1－x2有交點，即方程x3＝1－x2有解，∴q：?x∈R，x3＝1－x2是真命題．∴p∧q為假命題，排除A.∴綈p為真命題，∴綈p∧q是真命題，選B.]14．(2016·濰坊二模)下列命題中假命題的是()A．?x0∈R，lnx0＜0B．?x∈(－∞，0)，ex＞x＋1C．?x＞0,5x＞3xD．?x0∈(0，＋∞)，x0＜sinx0D[對于A，比如x0＝eq\f(1,e)時，lneq\f(1,e)＝－1，是真命題；對于B，令f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1＜0，f(x)遞減，所以f(x)＞f(0)＝0，是真命題；對于C，函數y＝ax當a＞1時是增函數，是真命題，對于D，令g(x)＝x－sinx，g′(x)＝1－cosx≥0，g(x)遞增，所以g(x)＞g(0)＝0，是假命題．故選D.]15．(2016·青島一模)已知命題p：?x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q為假命題，則實數m的取值范圍為()A．m≥2 B．m≤－2或m＞－1C．m≤－2或m≥2 D．－1＜m≤2B[由命題p：?x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1，由命題q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，可得－2＜m＜2，若命題p，q均為真命題，則此時－2＜m≤－1.因為p∧q為假命題，所以命題p，q中至少有一個為假命題，所以m≤－2或m＞－1.]16．(2014·全國卷Ⅰ)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－2y≤4))的解集記為D，有下面四個命題：p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中真命題是()A．p2，p3 B．p1，p4C．p1，p2 D．p1，p3C[作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－2y＝4，))得交點A(2，－1)．目標函數的斜率k＝－eq\f(1,2)>－1，觀察直線x＋y＝1與直線x＋2y＝0的傾斜程度，可知u＝x＋2y過點A時取得最小值0.y＝－eq\f(x,2)＋eq\f(u,2)，eq\f(u,2)表示縱截距結合題意知p1，p2正確．][B組“10＋5”模擬題提速練一、選擇題1．(2016·濟南模擬)已知集合M＝{x|x2－2x－8≤0}，集合N＝{x|lgx≥0}，則M∩N＝()A．{x|－2≤x≤4} B．{x|x≥1}C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥－2}C[M＝{x|－2≤x≤4}，N＝{x|x≥1}，則M∩N＝{x|1≤x≤4}．]2．(2016·菏澤一模)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x∈Z||x|≤1}，則A∩(?ZB)＝()A．? B．4C．{3,4} D．{2,3,4}D[因為集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x∈Z||x|≤1}＝{－1,0,1}，所以A∩(?ZB)＝{2,3,4}．]3．(2016·江南十校一模)已知集合P＝{x|－1＜x＜b，b∈N}，Q＝{x|x2－3x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠?，則b的最小值等于()A．0 B．1C．2 D．3C[集合P＝{x|－1＜x＜b，b∈N}，Q＝{x|x2－3x＜0，x∈Z}＝{1,2}，P∩Q≠?，可得b的最小值為2.]4．(2016·武漢一模)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，集合B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}，若A?B，則c的取值范圍為()A．(0,1] B．(0,1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)C[由題意將兩個集合化簡得：A＝(0,1)，B＝(0，c)，因為A?B，所以c≥1.]5．(2016·貴州七校聯考)以下四個命題中，真命題的個數是()①“若a＋b≥2，則a，b中至少有一個不小于1”的逆命題；②存在正實數a，b，使得lg(a＋b)＝lga＋lgb；③“所有奇數都是素數”的否定是“至少有一個奇數不是素數”；④在△ABC中，A<B是sinA<sinB的充分不必要條件．A．0 B．1C．2 D．3C[對于①，原命題的逆命題為：若a，b中至少有一個不小于1，則a＋b≥2，而a＝2，b＝－2滿足a，b中至少有一個不小于1，但此時a＋b＝0，故①是假命題；對于②，根據對數的運算性質，知當a＝b＝2時，lg(a＋b)＝lga＋lgb，故②是真命題；對于③，易知“所有奇數都是素數”的否定就是“至少有一個奇數不是素數”，③是真命題；對于④，根據題意，結合邊角的轉換，以及正弦定理，可知A<B?a<b(a，b為角A，B所對的邊)?2RsinA<2RsinB(R為△ABC外接圓的半徑)?sinA<sinB，故A<B是sinA<sinB的充要條件，故④是假命題．選C.]6．(2016·鄭州一模)已知E，F，G，H是空間四點，命題甲：E，F，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的()【導學號：67722075】A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[命題甲能推出命題乙，是充分條件，命題乙：直線EF和GH不相交，可能平行，命題乙推不出命題甲，不是必要條件．]7．(2016·臨沂一模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≥－1))))，B＝{y|y＝ex＋1，x≤0}，則下列結論正確的是()A．A＝B B．A∪B＝RC．A∩(?RB)＝? D．B∩(?RA)＝?D[A＝{y|0＜y≤2}，B＝{y|1＜y≤2}，則?RA＝{y|y≤0或y＞2}，從而B∩(?RA)＝?.]8．(2016·青島一模)已知a∈R，則“a＜1”是“|x－2|＋|x|＞a恒成立”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[因為|x－2|＋|x|≥|(x－2)－x|＝2，所以a＜1時，|x－2|＋|x|＞a恒成立，反之若|x－2|＋|x|＞a恒成立，則a＜1不一定成立，故選A.]9．(2016·威海二模)命題p：若2x≥2y，則lgx≥lgy；命題q：若隨機變量N(3，σ2)，P(ξ≤6)＝0.72，則P(ξ≤0)＝0.28.下列命題為真命題的是()A．p∧q B．綈p∧qC．p∨綈q D．綈p∧綈qB[對于命題p，當x＜0，y＜0時，lgx，lgy沒有意義，故命題p是假命題，對于命題q：由P(ξ≤3)＝eq\f(1,2)，P(0＜ξ≤3)＝P(3＜ξ≤6)＝0.72－0.5＝0.22，得P(ξ≤0)＝0.5－0.22＝0.28，故命題q是真命題．綜上知綈p∧q為真命題，故選B.]10．(2016·商丘二模)命題p：函數y＝log2(x2－2x)的單調增區間是[1，＋∞)，命題q：函數y＝eq\f(1,3x＋1)的值域為(0,1)．下列命題是真命題的為()A．p∧q B．p∨qC．p∧(綈q) D．綈qB[令t＝x2－2x，則函數y＝log2(x2－2x)化為y＝log2t，由x2－2x＞0，得x＜0或x＞2，所以函數y＝log2(x2－2x)的定義域為(－∞，0)∪(2，＋∞)．函數t＝x2－2x的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸方程為x＝1，所以函數t＝x2－2x在定義域內的增區間為(2，＋∞)．又因為函數y＝log2t是增函數，所以復合函數y＝log2(x2－2x)的單調增區間是(2，＋∞)．所以命題p為假命題；由3x＞0，得3x＋1＞1，所以0＜eq\f(1,3x＋1)＜1，所以函數y＝eq\f(1,3x＋1)的值域為(0,1)，故命題q為真命題．所以p∧q為假命題，p∨q為真命題，p∧(綈q)為假命題，綈q為假命題，故選B.]二、填空題11．(2016·廈門二模)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數為________．4[A＝{x|(x－1)(x－2)＝0，x∈R}＝{1,2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}＝{1,2,3,4}．因為A?C?B，所以C可以為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．]12．(2016·泉州二