第四章理想流體運動基礎第四章理想流體運動基礎

本章討論無粘流動，在這種流動中忽略粘性的影響，認為流體的粘性系數為零，稱為理想流體。

本章首先推導理想流體的運動方程——歐拉方程，然后積分歐拉方程得到一個標量方程，稱為伯努利方程，伯努利方程是一個關于重力場中流動運動速度、壓強和空間位置關系的代數方程，在工程上有著廣泛的應用。1第四章理想流體運動基礎§4-1歐拉方程

在流場中劃出一塊三邊分別的為dx，dy，dz的微元矩形六面體的流體來看，不計粘性力，表面力就沒有切向力，僅只法向力（壓力）一種，而質量力是可以有的。xyz·Pdxdydz歐拉運動微分方程組是在不計流體粘性前提下推導出來的，該方程實質上是微分形式的動量方程。2第四章理想流體運動基礎假設：六面體體積：dV=dxdydz中心點坐標：x,y,z中心點速度：ux,uy,uz中心點加速度：中心點壓強：p中心點密度：ρ中心點處沿三個方向的單位質量力：

fx,fy,fz微元六面體的表面力可以用中心點處壓強的一階泰勒展開表示,如圖為

x方向質量力，其他方向同理可得。xyz·Pdxdydz3第四章理想流體運動基礎由于沒有剪應力，并且其他面上的壓力在x方向均無投影，從而x方向的表面力為：x方向的質量力為：根據牛頓第二定律：x方向合外力等于質量乘以x方向加速度，得4第四章理想流體運動基礎兩邊同除以微元體積dxdydz，令其趨于零，得同理可以寫出y

和

z方向的表達：這就是笛卡爾坐標系下理想流體的運動微分方程。5第四章理想流體運動基礎矢量形式為：該式是由歐拉在1755年首先提出的，故又稱為歐拉運動微分方程。以當地加速度和遷移加速度表示式右邊的加速度，則歐拉運動方程又可寫為：6第四章理想流體運動基礎或在柱坐標系中，歐拉運動微分方程為式中，fr、fθ、fz分別為單位質量力在r、θ、z坐標軸方向的分量。7第四章理想流體運動基礎§4-2自然坐標系中的歐拉方程以流線方向為參考定義一個正交坐標系，稱為流線坐標系，或自然坐標系。如圖所示，在流線上取一點P，過P點作一個局部的正交坐標系，其三個互相垂直的坐標方向分別為沿流線方向s、垂直于流線的主法線方向n和副法線方向b，三個方向的單位矢量分別表示為、和8第四章理想流體運動基礎沿流線方向的力平衡式為9第四章理想流體運動基礎注意到速度沿流線方向，有V=V(s,t)將上式代入力平衡式，得沿流線的歐拉方程對于定常流動，且忽略重力影響時上式可簡化為或上式表示，在理想不可壓縮流動中沿流線方向速度降低伴隨壓強增高，而速度升高則伴隨壓強降低。10第四章理想流體運動基礎流體微元沿n方向的力平衡式為式中，an是流體微元沿n方向的向心加速度，指向流線的曲率中心，gn則是重力加速度矢量在n方向的分量。對于定常流動為可得定常流動條件下沿流線法向方向的歐拉方程11第四章理想流體運動基礎不計重力，上式可簡化為上式表示，當忽略重力影響時，在理想不可壓縮流動中壓強沿指向流線曲率中心的方向降低，這是由于流體質點受到壓力差產生向心加速度，因此壓強降落的方向與加速度方向相同；如果流線是直線，則曲率半徑無限大，因此在垂直于平直流線的方向壓強無變化。副法線方向流體加速度為零，定常流動條件下沿流線副法向方向的歐拉方程為12第四章理想流體運動基礎§4-3伯努利方程或歐拉方程不可壓縮連續性微分方程13第四章理想流體運動基礎歐拉運動微分方程與連續性微分方程合在一起，是求解理想流體運動問題的一組基本方程。當質量力和密度給定時，四個方程中只有ux、uy、uz、p，因此從理論上講，歐拉運動微分方程封閉，是可解的。但是由于它是一個一階非線性偏微分方程組（對流導數的三項中包含了未知函數與其偏導數的乘積），所以至今仍未找到它的通解，只是在幾種特殊情況下得到了它的特解。對第一式右端加上，并重新組合，可得14第四章理想流體運動基礎于是，第一式可以寫成同理或15第四章理想流體運動基礎理想流體運動微分方程的積分式中為流體微團旋轉角速度矢量。上式稱為蘭姆（H.Lamb）運動微分方程，與歐拉運動微分方程一樣能適用于理想流體的各種流動。蘭姆運動微分方程的好處是在方程中顯示了旋轉角速度。便于分析無旋流動。對于無旋流動，，式子右端第二項等于零，可使方程大為簡化。由于數學上的困難，理想流體的運動微分方程僅在某些特定條件下才能求解。現給出兩個限制條件：（1）作用在流體上的質量力是有勢的，即16第四章理想流體運動基礎（2）流體是正壓體，即密度僅是壓強的函數ρ=f(p)，為了便于計算，引入由下式定義的壓強函數PF（x，y，z，t）對上式微分，可得不可壓縮流體（ρ=常數）和等溫流動中的可壓縮流體（p=ρRT0）就是正壓流體，其壓強函數分別為和密度不是壓強的函數的流體稱為斜壓流體，斜壓流體的壓強函數是不存在的。17第四章理想流體運動基礎在上述兩個條件下，蘭姆運動微分方程式可以寫成分別在無旋流動和有旋流動情況下求解上式1.歐拉積分在無旋流動時，，式子變為從數學分析可知，無旋的條件是uxdx+uydy+uzdz成為某一函數ψ（x,y,z,t）的全微分的必要充分條件。函數ψ（x,y,z,t）稱為速度勢函數，簡稱速度勢。當以t為參變量時，函數ψ（x,y,z,t）的全微分可寫成(4-2)(4-1)18第四章理想流體運動基礎于是或因，故式4-2可寫成將上式兩端分別點乘一個任意微元線段矢量或19第四章理想流體運動基礎這里的微元是任意取的，可見，在整個流場中上式稱為歐拉積分式，式中積分常數C（t）是時間的函數，可由邊界條件確定。對于定常無旋流動，，則上式寫為2.伯努利積分在定常有旋流動時，式4-1成為20第四章理想流體運動基礎現將上式兩端分別乘一個沿流線的微元線段矢量。根據矢量叉乘的性質，上式右端的矢量與矢量垂直，又據流線的定義，與的方向相同，故與垂直，因此，于是有或因為這里的微元是沿流線取的，所以沿流線上式稱為伯努利積分式。從形式上看，定常流動情況下的歐拉積分式與伯努利積分式完全相同，但前者在整個流場上成立，而后者僅沿流線成立。21第四章理想流體運動基礎伯努利方程是能量守恒與轉換定律在流體力學中的具體體現，它形式簡單，意義明確，在實際工程中有著廣泛的應用。理想流體的伯努利方程1.絕對運動的伯努利方程對于質量力僅有重力的定常不可壓縮流體，其力勢函數分別為G=gz和pF=p/ρ，將其代入歐拉積分式和伯努利積分式，得或(4-3)22第四章理想流體運動基礎對于整個無旋流動或者有旋流動的同一流線上的任意1、2點來說，上式可以寫成(4-4)式(4-3)及(4-4)稱為定常不可壓縮理想流體絕對運動的伯努利方程，即流體的固體邊界對地球沒有相對運動時的伯努利方程。該方程是伯努利（DanielBenoulli）于1738年首先提出的，是流體力學中十分重要的基本方程之一。23第四章理想流體運動基礎式(4-3)的物理意義是：對于重力作用下的定常不可壓縮理想流體，在整個流場中（無旋流動）或者沿流線（有旋流動），單位質量流體所具有的機械能為一常數，即機械能是守恒的。伯努利方程實質上就是物理學中能量守恒定律在流體力學上的一種表現形式，故又稱其為能量方程。●伯努利方程的物理意義從物理角度看，式(4-3)的每一項都表示單位重量流體所具有的一部分能量。第一項z和第二項p/ρg，分別表示單位重量流體所具有的位能和壓能；第三項u2/2g則表示單位重量流體所具有的動能。三種能量之和稱為機械能。24第四章理想流體運動基礎式(4-3)的幾何意義是：對于重力作用下的定常不可壓縮理想流體，在整個流場中（無旋流動）或者沿流線（有旋流動），總水頭為一常數，即總水頭線（各點總水頭的連線）為一水平線。●伯努利方程的幾何意義從幾何角度看，式(4-3)的每一項都表示一個高度，或一種水頭。第一項z和第二項p/ρg，分別表示位置水頭和壓強水頭；第三項u2/2g則表示速度水頭（或稱動水頭）。三種水頭之和稱為總水頭。25第四章理想流體運動基礎例.求如圖光滑容器中小孔的出流速度V，假設小孔中心距自由面深為h。Vhpapa解.由于是小孔出流，流動可以假設是定常的。假設不計粘性損失。從而：（由于實際上粘性不可忽略，實際速度將略低于上述理論值，其中cv

叫做速度系數，實驗表明

cv＝0.97）沿小孔中心點處一根流線列伯努利方程，由于是小孔，中心點處速度可以近似代表小孔速度。26第四章理想流體運動基礎※2.相對運動的伯努利方程流體在渦輪機械（如離心式水泵、風機、水輪機等）中的流動，一方面具有隨葉輪旋轉的牽連速度ue=rω，一方面又具有對葉片的相對速度ur。將坐標系固結于旋轉葉輪上（如圖），當轉速不變時，相對于轉動坐標系，則流動可以認為是定常的。27第四章理想流體運動基礎假設葉輪以等角速度ω旋轉。從轉動坐標系中看，流體沿葉片以速度ur流入和流出葉輪。因此，葉道中沿流線（相對運動的流線）的伯努利積分式為因流體的單位質量力為故其力勢函數為代入上式，并假定流體不可壓縮，有或(4-5)28第四章理想流體運動基礎對于同一流線上任意兩點，上式又可寫為(4-6)式(4-5)及(4-6)稱為定常不可壓縮理想流體相對運動的伯努利方程，即流體的固體邊界對地球有相對運動時的伯努利方程。它常用來分析渦輪機械中的流體運動規律。由式

(4-6)可以看出，當r2＞r1時，2點上單位重量流體的機械能大于1點。也就是說，當流體由內向外流動時，機械能是逐漸增加的，這是由于葉輪旋轉而對流體作了功，離心式水泵、風機就是根據這個原理設計的；當流體由外向內流動時，機械能逐漸減小，此時流體對葉輪作工使之旋轉，這就是水輪機的工作原理。29第四章理想流體運動基礎※

3.總流的伯努利方程將式(4-4)各項同乘以ρgdQ，得單位時間通過微元流束兩過流斷面的全部流體的機械能關系式為(4-4)注意到dQ=u1dA1=u2dA2，代入上式，在總流過流斷面上積分，可得通過總流兩過流斷面的總機械能之間的關系式為30第四章理想流體運動基礎或上式共有兩種類型的積分，現分別確定如下(1)它是單位時間內通過總流過流斷面的流體位能和壓能的總和。在急變斷流面上，各點的不為常數，其變化規律因具體情況而已，積分困難。但在漸變斷流面上，動壓強近似地按靜壓強分布，各點的近似等于常數。將過斷流面取在漸變流斷面上，則(4-7)(4-8)31第四章理想流體運動基礎(2)它是單位時間內通過總流過流斷面的流體動能的總和。工程上為了計算方便，常用斷面平均速度v來表示實際動能，則因用代替存在差異，故在式中引入了動能修正系數α—實際動能與按斷面平均速度計算的動能之比值，即α值取決于總流斷面上的速度分布，一般流動的α=1.05~1.10，但有時可達到2.0或更大，在工程計算中常取α=1.0。(4-9)32第四章理想流體運動基礎將式(4-8)、

(4-9)代入式(4-7)，考慮到定常流動時，Q1=Q2=Q3，化簡后得這就是理想流體總流的伯努利方程。它在形式上類似式(4-4)，但是以斷面平均速度v代替點速度u（相應地考慮動能修正系數）★總流的伯努利方程使用時的限制條件①流體是理想、不可壓縮的；流動是定常的；質量力僅有重力。②過流斷面取在漸變流區段上，但兩過流斷面之間可以是急變流。(4-10)33第四章理想流體運動基礎③兩過流斷面間沒有能量的輸入或輸出。當總流在兩過流斷面間通過水泵、風機或水輪機等流體機械時，流體額外地獲得或失去了能量，則總流的伯努利方程應做如下修正：式中，+H表示單位重量流體流過水泵、風機時獲得的能量；-H表示單位重量流體經過水輪機所失去的能量。34第四章理想流體運動基礎※二、粘性流體總流的伯努利方程從式(4-10)可知，理想流體運動時，其機械能沿流程不變。但粘性流體運動時，由于流層間內摩擦阻力作功會消耗部分機械能，使之不可逆轉地變成熱能等能量形式而耗散掉，因此，粘性流體的機械能將沿流程減小。設hw為總流中單位質量流體從1—1過流斷面至2—2過流斷面所消耗的機械能（通常稱為流體的能量損失或水頭損失），根據能量守恒定律，可得粘性流體總流的伯努利方程為上式的適用條件除了流體是粘性的以外，與理想流體總流的伯努利方程完全相同。35第四章理想流體運動基礎靜壓強、動壓強和滯止壓強如圖所示，流體繞流鈍形體時，由于物體的阻擋作用，一部分流體從物體上方流過，一部分流體從物體下方流過，中間一條分流流線稱為滯止流線，滯止流線終止于物面上一點，該點的速度為零，稱為滯止點（駐點）。對于對稱形狀的物體，滯止點位于物體的正前方；對于非對稱形狀的物體，滯止點的位置則需依據來流方向及物面具體形狀確定。36第四章理想流體運動基礎設滯止流線上游無限遠處流體速度和壓強分別為p和V，沿滯止流線對上游無窮遠點和滯止點列伯努利方程（忽略重力影響，或設沿流線高度不變），有由于V0=0，上式可以簡化為上式稱為空氣動力學中的伯努利方程。稱p為靜壓，ρV2/2為動壓強；p0為滯止壓強或總壓強，等于靜壓強與動壓強之和。37第四章理想流體運動基礎靜壓就是運動流體質點感受到的壓強。對于如圖所示的管內流動，可在流線平直區域的管壁上開靜壓測孔，通過與測孔相連接的液柱式測壓計或其他測壓傳感器測量流管流動的靜壓。為了準確地測量靜壓，靜壓測壓孔必須光滑，孔徑要小，且與管壁垂直，鉆孔時形成的毛刺或缺陷可能導致測量壓強大于或小于實際靜壓。38第四章理想流體運動基礎●伯努利方程的應用——皮托（H.Pitot）管皮托管是廣泛用于測量流場各點速度的儀器，又稱為測速管。測量流場內某一點的總壓使用總壓測管，或稱簡單皮托管。測得一點的總壓和靜壓，即可計算該點處的流動速度39第四章理想流體運動基礎40第四章理想流體運動基礎總壓測管和靜壓測管也可以組合在一起，制成皮托——測壓管，簡稱皮托管。測壓孔的位置對速度測量精度影響很大，理論計算表明，靜壓測量孔到頭部距離應為3~8倍測管直徑。由于實際流體是有粘性的，因此，上式計算速度V時需進行修正。41第四章理想流體運動基礎總能頭線與測壓管線式中各項分別表示單位重量流體所具有的重力勢能、壓力能和動能。方程中每一項都具有長度的量綱，z表示位置高度，稱為位勢頭；與p/（ρg）相當的高度稱為靜壓頭，與V2/（2g）相當的高度稱為速度頭。可以用總能頭線（EL，energyline）和測壓管水頭線（HGL，hydraulicgradeline）來形象地表示伯努利方程各項沿流線的變化情況。總能頭線反映伯努利方程三項和的高度，h0=z+p/（ρg）+V2/（2g），對于理想流體總能頭線沿同一條流線高度保持不變。測壓管水頭線則表示位勢頭與靜壓頭之和的高度，z+p/（ρg），即總能頭與速度頭之差的高度。42第四章理想流體運動基礎43第四章理想流體運動基礎如管道低于測壓管水頭線，則管中壓強一定為正（高于大氣壓強）；管道高于測壓管水頭線，則管中壓強為負（低于大氣壓強）。44第四章理想流體運動基礎§4-4伯努利方程的應用

伯努利方程在工程實際中得到廣泛應用。本節給出一些定常和非定常的不可壓縮流動的實例，以說明如何運用伯努利方程處理實際流動問題。處理問題過程中，伯努利方程經常需要與一維連續方程聯立求解。●孔口出流在圖示流線的①點與②點之間列伯努利方程，可得45第四章理想流體運動基礎上式可簡化為設容器自由液面和噴管出口截面分別為A1和A2，引用一維連續方程，有由上兩式解出孔口出流速度為通常A2/A1<<1，孔口出流速度于是近似表示為(4-11)46第四章理想流體運動基礎對于水平布置的噴管，由于高度不同，中心線上的流體出流速度V2將稍高于上緣的速度V1，而略低于下緣的速度V3,。如果d<<h，則可以將出口中心線的速度視為平均速度而不會引起顯著誤差。由于流體在離開孔口時不能瞬間改變流動方向，流出孔口的射流會繼續收縮，直至圖示的a-a截面流線才達到平直狀態，稱為收縮截面，其直徑dj小于孔口直徑dh。當dj<<h時可認為速度均勻分布。47第四章理想流體運動基礎由于粘性影響，在收縮截面能達到的真實速度要小于式（4-11）給出的理論速度。實際速度與理論速度的比值稱為速度因數，表示為cv。計算出流流量還需要考慮截面收縮的影響，收縮截面面積Aj和孔口截面面積Ah的比值，稱為面積收縮因數cc。孔口出流體積流量則可計算為其中cd為流量因數對于薄壁小孔口，由實驗測得

cc=0.63~0.64，cv=0.97~0.98，cd=0.60~0.62。(4-12)48第四章理想流體運動基礎49第四章理想流體運動基礎※管嘴定常出流的計算當孔口壁厚l等于(3~4)d時，或者在孔口處外接一段長l=(3~4)d的圓管時(如圖所示)，此時的出流稱為管嘴出流。管嘴出流的特點是：當流體進入管嘴后，同樣形成收縮，在收縮斷面c—c處，流體與管壁分離，形成漩渦區，然后又逐漸擴大，在管嘴出口斷面上，流體完全充滿整個斷面。50第四章理想流體運動基礎以通過管嘴中心的水平面為基準面，在容器液面1-1及管嘴出口斷面2-2列伯努利方程:

因則式中稱為管嘴的流速系數(4-13)51第四章理想流體運動基礎管嘴出流流量式中稱為管嘴的流量系數

由表查得管道銳緣進口局部損失系數ζn=0.5，所以。比較式(4-12)和式(4-14)可知在相同直徑、相同作用水頭H下，管嘴的出流流量比孔口出流量要大。究其原因，就是由于管嘴在收縮斷面c—c處存在真空的作用。下面來分析c—c斷面真空度的大小。如前圖所示，仍以0—0為基準面，選斷面c—c及出口斷面2—2列伯努利方程(4-14)52第四章理想流體運動基礎則由連續性方程將上式及式(4-13)代入式(4-15)得由實驗測得cc=0.64，cd=0.82，取αc=α=1，則管嘴的真空度(4-15)(4-16)53第四章理想流體運動基礎

上式說明管嘴收縮斷面處的真空度可達作用水頭0.75倍，相當于把管嘴的作用水頭增大了75%。從式(4-16)可知:作用水頭H愈大，收縮斷面的真空度亦愈大。但是當真空度達7米水柱以上時，由于液體在低于飽和蒸汽壓時發生汽化，或空氣由管嘴出口處吸入，從而使真空破壞。因此圓柱形外管嘴的作用水頭應有一個極限值，這就是:54第四章理想流體運動基礎●虹吸管通過一根彎管使具有自由面的液體繞過周圍較高的障礙物，如容壁和河堤等，流至低于自由液面的位置，這種用途的管子稱為虹吸管，這類現象稱為虹吸現象。假設水槽很大，在虹吸過程中自由水面的下降速度為零。不計粘性，虹吸過程視為定常的一維理想不可壓縮流動。沿流線對①和③截面列伯努利方程，可得55第四章理想流體運動基礎考慮到p1=p3=pa，V1=0，z1=0，z3=-L，于是有沿流線對②和③截面列伯努利方程對于等截面管道中的不可壓縮流動，V2=V3

，再考慮到z2=H

，由上式可解出56第四章理想流體運動基礎★總流的伯努利方程應用文丘里（Venturi）流量計文丘里流量