典型例題一例01．：一個多邊形的內(nèi)角和是，求這個多邊形的邊數(shù).解答：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意，得.，說明：此題考查多邊形的內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是設(shè)邊數(shù)為，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理及條件列出關(guān)于的方程.典型例題二例02．一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，求此多邊形的邊數(shù).解答：設(shè)此多邊形的邊數(shù)為.那么∴答：這個多邊形是六邊形.說明：此題考查了多邊形的內(nèi)角和、外角和定理，解題關(guān)鍵是設(shè)邊數(shù)為，列出關(guān)于的方程.典型例題三例03．：如圖，求的度數(shù).解法1：∵，，∴∵，，∴解法2：連結(jié)BF，那么∵∴說明：求復(fù)雜圖形的角度時，要善于利用三角形和四邊形.典型例題四例04．多邊形的內(nèi)角中最少應(yīng)有〔〕銳角.A．1個B．2個C．3個D．沒有錯解：選A.正解：選D.說明：錯解中沒有考慮當多邊形為四邊形時，四個內(nèi)角可以都為直角，故沒有銳角.典型例題五例05．如圖，六邊形ABCDEF中，.求證：.證明：向兩方分別延長AB、CD、EF，如圖，得.∵.同理∴∴∴為等邊三角形.同理，、均為等邊三角形.∴也為等邊三角形.∴∴即∴說明：此題的解題關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)成等邊三角形.典型例題六例06．：一個四邊形的四個內(nèi)角的比為，求它的四個內(nèi)角的度數(shù).分析：假設(shè)設(shè)四邊形四個內(nèi)角中，最小的角為，那么另外的三個角都可以用表示出來.因四邊形的內(nèi)角和是一個數(shù)，我們就可以得到關(guān)于的方程，從而求出四邊形的四個內(nèi)角的度數(shù).解答：設(shè)四邊形的最小的角的度數(shù)為，那么另外3個度數(shù)為，和，根據(jù)題意，得，解得，∴，即四邊形的四個角度數(shù)為，，和.說明：四邊形不具有穩(wěn)定性，但它的內(nèi)角和是固定的，等于，所以在求解四邊形的內(nèi)角的過程中，內(nèi)角和起著重要作用.典型例題七例07．如圖，：求的度數(shù).分析：我們只知規(guī)那么圖形的內(nèi)角之和.所以想方法把移到和其他幾個角同一圖形中，因此考慮到連結(jié)AD.所以有，所以求就是求四邊形ABCD的內(nèi)角和.解答：連結(jié)AD，那么在和中，.在四邊形ABCD中，，即.∵∴說明：此類型題的求法，一般是將所要求的角歸納到幾個四邊形和三角形中，利用四邊形、三角形的性質(zhì)來解，在求解過程中，不妨適當添加輔助線，使所求角處在四邊形或三角形中.典型例題八例08．一個多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)都為，求它的邊數(shù).分析：多邊形的內(nèi)角和可以通過公式計算出來.如果知道每個內(nèi)角的度數(shù)，那么可由每個內(nèi)角度數(shù)角的個數(shù)來表示出來.解答：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意得，，解得即多邊形為12邊形.說明：多邊形的內(nèi)角和常常用到，而多邊形的外角和用起來往往也很方便，因為外角和是一個固定的值，它不受邊數(shù)變化的影響，總是，所以我們也能利用外角和求解.如，此題中，每個內(nèi)角為，所以空的每個外角為.因為多邊形的外角和為，而，所以它是12邊形.典型例題九例09．一個多邊形共有27條對角線.求：〔1〕這個多邊形是幾邊形？〔2〕此多邊形的內(nèi)角和的度數(shù).分析：要求多邊形的邊數(shù)是多少，實際上是要求掌握對角線與邊數(shù)之間的關(guān)系式，即對角線數(shù)，假設(shè)求出了邊數(shù)，內(nèi)角和就容易求到.解答：〔1〕設(shè)邊數(shù)為，根據(jù)題意得：，解得或〔舍〕∴這個多邊形是9邊形.〔2〕∵，∴此多邊形的內(nèi)角和為.典型例題十例10．如圖，：四邊形ABCD中，BD平分.假設(shè)，.求證：.分析：直接證明比擬困難，又由BD平分考慮到添加輔助線，構(gòu)造與或相等的角.作，連結(jié)DE，那么容易證出，，又由，可知.因此可證出.證明：在AB上截取，連結(jié)DE.∵BD平分，∴.在和中，∴∴，∴∵∴說明：對于任意多邊形的問題，經(jīng)常分解為假設(shè)干個三角形，然后利用三角形的性質(zhì)去解，這是處理四邊形問題時常用的重要思路.選擇題1．一個多邊形的外角和等于它的內(nèi)角和，那么這個多邊形是〔〕A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形2．假設(shè)多邊形的邊數(shù)由3倍增加到n〔n為正整數(shù)，且〕，那么其外角和的度數(shù)〔〕A．增加B．減少C．不變D．不確定3．假設(shè)一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的k倍，那么這個多邊形的邊數(shù)是〔〕A．B．C．D．4．一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，這個多邊形的邊數(shù)是〔〕A．5B．6C．7D．85．一個五邊形有三個內(nèi)角是直角，另兩個都等于n°，那么n的值是〔〕A．45B．135C．120D．1086．所有內(nèi)角都相等的18邊形，它的每個內(nèi)角、外角的度數(shù)是〔〕A．120°，60°B．140°，40°C．160°，20°D．100°，80°7．過n邊形的一個頂點的所有對角線，把多邊形分成8個三角形，那么這個多邊形邊數(shù)是〔〕A．8B．9C．10D．118．以下命題中，正確的有〔〕①七邊形有14條對角線；②外角和大于內(nèi)角和的多邊形只有三角形；③假設(shè)一個多邊形的內(nèi)角和與外角和是4：1，那么它是九邊形.A．0個B．1個C．2個D．3個參考答案1．B2．C3．C4．C5．B6．C7．C8．C填空題1．六邊形的內(nèi)角和是_________，十二邊形的內(nèi)角和是_________.2．如果一個多邊形的內(nèi)角和為1260°，那么邊數(shù)是________.3．當多邊形的邊數(shù)增加一條時，其內(nèi)角和增加_____度.4．將n邊形的邊數(shù)增加一倍，那么它的內(nèi)角和增加_______度.5．過m邊形的一個頂點有7條對角線，n邊形沒有對角線，k邊形共有k條對角線，那么參考答案1．720°，1800°2．93．180°4．5．125．〔提示：可求〕解答題1．一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和的5倍，求這個多邊形的邊數(shù).2．在五邊形ABCDE中，假設(shè)，.求、、的度數(shù).3．一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為，求它的邊數(shù).4．一個多邊形的每個內(nèi)角都等于144°，求它的邊數(shù).5．一個多邊形，除去一個內(nèi)角之外，其余各角之和為3290°，求這個內(nèi)角的度數(shù)〔用兩種方法〕.6．一個邊形除去一個內(nèi)角之外的所有內(nèi)角之和是，求這個內(nèi)角的度數(shù).7．多邊形的每一個內(nèi)角都等于它相鄰的外角的4倍，求多邊形的邊數(shù).8．五邊形ABCDE中，.求9．有兩個各內(nèi)角相等的多邊形，它們的邊數(shù)之比為1：2，且第二個多邊形的內(nèi)角比第一個多邊形的內(nèi)角大15°，求這兩個多邊形的邊數(shù).10．如圖，求的度數(shù).11．在六邊形ABCDEF中，，且，求和的度數(shù).12．一個凸多邊形的內(nèi)角的度數(shù)從小到大排列起來，恰好依次增加相同的度數(shù)，其中最小角是100°，最大角是140°，求這個多邊形的邊數(shù).13．在四邊形ADEF中，于C，于B，，求四邊形ADEF的面積.14．在四邊形ABCD中，，求和的度數(shù).15．如下圖，ABCD是一塊四邊形菜地的示意圖，EFG是流過這塊菜地的水渠，水渠東邊的地屬張家承包，水渠西邊的地屬李家承包，現(xiàn)在村委會在田園規(guī)劃中需將流經(jīng)菜地的水渠取直，并且要保持張、李兩家的承包土地面積不變，請你設(shè)計一個挖渠的方案，就在給出的圖形上畫出設(shè)計示意圖，并說明理由.16．如圖，是一個用六根竹條聯(lián)接而成的凸六邊形風(fēng)箏骨架，考慮到內(nèi)架的穩(wěn)定性、對稱性、實用性等因素，請再加三根竹條與其頂點連接，設(shè)計出兩種不同的聯(lián)接方案〔用直尺連接〕.參考答案1．122．解：設(shè)，那么有∴.∴.3．解：設(shè)邊數(shù)為.那么∴答：這個多邊形是9邊形.4．5．130°6．解法1：∵除去的內(nèi)角，∴，∴∴所求的角為解法2：設(shè)除去的角為，那么，因為多邊形的內(nèi)角和是的整數(shù)倍，那么除去的角與上面的余數(shù)和為，即.∴.7．108．180°.〔提示：∴，∴〕9．12，2410．解：連BE，那么∵，∴