重難點04最值（范圍）問題

命題趨勢

最值問題，在中考里，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學生感覺有困難的地方，也恰是學生能力

區分度最重要的地方。在各地中考種都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。

J滿分技巧

1）.在代數部分最值問題，多出現在函數部分，無論是一次函數還是二次函數，都需要先求自變量的取值范

圍，再求函數解析式，根據實際問題，求得最值。有關內容在前面的一次函數、二次函數中都有諸多體現。

近幾年，利用配方法求最值來解決一些實際問題，也常常見到。

2）.在幾何最值問題，幾何背景下的最值是考生感覺較難的，往往沒有思路。常見的有：（1）幾何圖形中在

特殊位置下的最值；（2）比較難的線段的最值問題，其依據是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉

及的基本方法還有：利用軸對稱變換、旋轉變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差

小于第三邊”等；③借助于圓的知識；④二次函數的最值法解決。

3）幾何最值問題中的基本模型舉例

1）將軍飲馬模型

圖形

P1

將MN1

軍V

原理兩點之間線段最短兩點之間線段最短三角形三邊關系

飲

A,8為定點，/為定直線，為定點，/為定直線，

馬A，8為定點，/為定直線，MN為直線1

特征P為直線/上的一個動P為直線/上的一個動

模上的一條動線段，求AM+8N的最小值

點，求AP+BP的最小值點,求IAP-BPI的最大值

型

作其中一個定點關于定先平移AM或BN使M,N重合，然后作其中一個定點關于定

轉化

直線/的對稱點作其中一個定點關于定直線/的對稱點直線/的對稱點

2）胡不歸模型

在解決胡不歸問題主要依據是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短。

【模型解讀】一動點尸在直線MN外的運動速度為％,在直線MN上運動的速度為匕，且A、B

為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使生+生的值最小.（注意與阿氏圓模型的區分）

匕V,

2）構造射線A。使得sin/D4N=火，翳=3。〃=必。,將問題轉化為求BC+CH最小值.

3）過8點作交MN于點C,交A￡>于〃點，此時BC+CH取到最小值，即BC+"C最小.

【解題關鍵】在求形如“以+枕8''的式子的最值問題中，關鍵是構造與枕B相等的線段，將“以+狂生”型問題

轉化為“雙+PC'型.（若k>l,則提取系數，轉化為小于1的形式解決即可）。

3）阿氏圓模型

【模型解讀】如圖I所示，。。的半徑為r,點A、B都在。。外，P為。。上一動點，已知片AOB,連

接尸4、PB,則當“PA+kPB”的值最小時，P點的位置如何確定？

如圖2,在線段08上截取0C使。C=k?廠，則可說明△8P0與△PC0相似，B|Jk-PB=PC.

故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉化為“PA+PC”的最小值，

其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：

注意區分胡不歸模型和阿氏圓模型：

在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“hR4+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當尸點軌跡變為

圓時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

4）瓜豆模型（動態軌跡問題）

【模型解讀】瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。

（初中階段動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型）

【最值原理】

1.動點軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。

1）當動點軌跡確定時可直接運用垂線段最短求最值；

2）當動點軌跡不易確定是直線時，可通過以下三種方法進行確定：

①觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等位置時是否存在動點與定直線的端點連接后的角度不變，

若存在該動點的軌跡為直線；②當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；③當一個點的

坐標以某個字母的代數式表示時，若可化為一次函數，則點的軌跡為直線：④若動點軌跡用上述方法都合

適，則可以將所求線段轉化為其他已知軌跡的線段求值。

2.動點的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小

值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質求解。

確定動點軌跡為圓或者圓弧型的方法：1）動點到定點的距離不變，則點的軌跡是圓或者圓弧。

2）當某條邊與該邊所對的角是定值時，該角的頂點的軌跡是圓，具體運用如下：

①見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現圓形；②見定角，找對邊，想周角，轉心角，現圓形。

5）費馬點模型

【模型解讀】結論：如圖，點M為△ABC內任意一點，連接AM、BM、CM,當〃與三個頂點連線的夾角

為120。時，MA+M8+MC的值最小。

注意：上述結論成立的條件是△A8C的最大的角要小于120°,若最大的角大于或等于120°,此時費馬點就

是最大角的頂點4。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120。）

費馬點的作法：如圖3,分別以△A8C的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF,連接CE、BF,

設交點為M,則點M即為△ABC的費馬點。

限時檢測

限時檢測1:最新各地模擬試題（60分鐘）

1.（2023?山東淄博?校考一模）如圖，矩形A8C。中，AB=4,4）=2,E為A8的中點，F為EC上一動

點，P為￡）尸中點，連接PB,則尸3的最小值是（）

C.V2D.2正

4

2.（2023?安徽淮北?淮北一中校聯考一模）如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,sinZACB=-,BC=5,

點。是斜邊AC上的動點，將線段8。繞點B旋轉60。至BE,連接C￡,DE,則CE的最小值是（)

3.（2023?山東泰安?校考一模）如圖，矩形ABC。中，AB=2,BC=3,以A為圓心，1為半徑㈣圓A,E是

圓A上一動點，P是BC上一動點，則尸E+PD最小值是（）

A.2逐B.2.5C.4D.3

4.（2023?安徽合肥?統考一模）如圖，在一ABC中，4AC=90。，A8=AC=4,P是BC下方的一動點，記

ABC,PBC的面積分別記為耳，邑.若$=2邑，則線段釬長的最小值是（）

A

C.3五D.V2+1

5.（2023?四川綿陽?統考二模）如圖，在中，AC=8,ZA=30°/B=45。，點P是AC延長線上一

動點，PMJ.BC邊與點M,PNLAB邊與點、N,連接則MN的最小值為（）

A.&+遍B.1+如C.&+6D.2V2+—

3

6.（2023?安徽馬鞍山?校考一模）ABC為等邊三角形，D、E分別是邊A3、BC上的動點，且滿足4）=,

M是。E的中點，若AB=2,則8M的最小值為（）

c"D.1

7.（2023?安徽合肥?合肥市第四十五中學校考一模）如圖，RtZ\A8C中，N4C3=90。，Zfl4C=6O。，點。

是邊BC上一動點，以點A為旋轉中心，將AO順時針旋轉60。得到線段AE,連接CE,若AC=1,則CE的

長的最小值為（）

C.1D.V2

8.（2023?浙江寧波?校考一模）如圖所示，在直角坐標系中，A點坐標為（-3,4）,A的半徑為2,P為尤軸

上一動點，PB切A于點B,則PB的最小值為（)

C.2x/3D.4

9.（2023?廣西?中考模擬）把二次函數丁=奴2+版+c（q>0）的圖象作關于x軸的對稱變換，所得圖象的

解析式為^=一。。一1）2+4。，若（〃7-l）a+0+cW0,則m的最大值為（）

A.-4B.0C.2D.6

10.（2022?浙江?中考模擬）已知二次函數y=N,當心無匕時機0W〃，則下列說法正確的是（）

A.當”-加=1時，h-a有最小值B.當時，h-a有最大值

C.當b-a=l時，"-無最小值D.當b-。=1時，〃-機有最大值

11.（2023?四川巴中?校考一模）如圖，在邊長為3的等邊43c中，E、尸分別是邊AC、BC的動點，且AE=CF,

連接BE、瓶交于點P,連接CP,則CP的最小值為.

12.（2023?四川成都?模擬預測）已知：如圖，RtZXABC中，ZACB=90°,ACBC=\2,圓C半徑為6,P

為斜邊A8上的一個動點，PM、PN分別與圓C相切于V、N,連接MN交PC于點Q,則A。的最小值為

13.（2023?山東濟南?濟南外國語學校校考模擬預測）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AO=6,點E,F

分別是AD,DC邊上的動點，且EF=4,點G為EF的中點，點尸為BC上的一動點，則PA+PG的最小

14.（2023?內蒙古中考模擬）在平面直角坐標系中，已知A（—1,m）和5（5,“。是拋物線丁=1+必+1上

的兩點，將拋物線y=f+bx+l的圖象向上平移〃是正整數）個單位，使平移后的圖象與x軸沒有交

點，則”的最小值為.

15.（2023?四川成都?統考一模）已知矩形ABCD中，AB=2A￡>=8,點E、F分別是邊ARCD的中點，點P

為AO邊上動點，過點尸作與45平行的直線交AF于點G,連接PE,點用是PE中點，連接MG,則"G的

最小值=.

16.（2023?上海金山?統考一模）如圖，ABC為等腰直角三角形，NA=90。，AB=6,Q為,ABC的重心，E

為線段AB上任意一動點，以CE為斜邊作等腰RtZ\CO￡（點。在直線BC的上方），G?為RtaCDE的重心，

設G、G?兩點的距離為止那么在點E運動過程中d的取值范圍是.

17.（2023?山東東營?校考一模）如圖，在邊長為4的菱形ABC。中，44=60。，〃是AO邊上的一點，且

AM=-AD,N是A3邊上的一動點，將一AMN沿MN所在直線翻折得到ZvlMN,連接AC,則A'C長度

4

的最小值是.

DC

18.（2023?山東泰安?新泰市實驗中學校考一模）已知菱形ABC。的邊長為1,ZDAfi=6O°,E為AO上的

動點，尸在CQ上，HAE+CF=l,設ABE廠的面積為九AE=x,當點E運動時，則>與x的函數關系式

是.

19.（2022?湖北十堰?統考二模）如圖，已知，正43C中，AB=\2,將AfiC沿AC翻折，得到八4。。，

連接80,交AC于。點，E點在。。上，且E>E=2OE,F是8c的中點，P是AC上的一個動點，則PF—PE

的最大值為.

20.（2022?廣東佛山?校考一模）在邊長為1的正方形A8CO中，M是邊A8的中點，P是對角線AC上的動

點，則&PM-PA的最小值為.

21.（2023?陜西西安?西安市曲江第一中學校考三模）如圖，等邊M8C中，AB=6,P為A8上一動點，

PDLBC,PELAC,則DE最小值為.

22.（2023?江蘇鎮江市?九年級期中）點P（〃?，〃）在以y軸為對稱軸的二次函數丫=9+辦+4的圖象上.則〃?

-n的最大值為

23.（2023?廣西九年級模擬）如圖，在Rt_ABC中，AB=AC=4,點E,F分別是AB,AC的中點，點P

是扇形AEF的"上任意一點，連接8P,CP,則^BP+CP的最小值是

24.（2022.四川成都市.中考模擬）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,E,尸分別為AB，CD

邊的中點.動點P從點E出發沿￡4向點4運動，同時，動點。從點F出發沿FC向點C運動，連接PQ,

過點8作6"，PQ于點〃，連接。H.若點P的速度是點Q的速度的2倍，在點P從點E運動至點A的

過程中，線段PQ長度的最大值為,線段。〃長度的最小值為.

25.（2022?湖南?中考模擬）已知直線>=依-2與拋物線y=%2-力x+c（b,c為常數，b>0）的一個交

點為A（—1,0）,點M（m,0）是x軸正半軸上的動點.（1）當直線y="―2與拋物線y=V一法+c（b,c

為常數，b>0）的另一個交點為該拋物線的頂點E時，求k,b,c的值及拋物線頂點E的坐標；

（2）點D在拋物線上，且點D的橫坐標為右+；,當04M+20M的最小值多寫2時，求b的值.

26.（2023?廣東東莞?東莞市東華初級中學校考模擬預測）如圖所示，AB是半圓的直徑，。是A3上一動點,

CD±AB,交半圓于點E,CT是半圓的切線，T是切點.C點、T點都是不動點.

（1）求證：B6+CT2=8C2;（2）連接AE,則。點在哪個位置時，線段AE與線段E8之和最大？

27.（2022?陜西西安?西安市第三中學校考模擬預測）問題提出：

（1）如圖1,在矩形ABCO中，AB=4,40=3,P是對角線AC上的一點，連接尸￡）,將PD繞點尸逆時針

旋轉90。得到過點M作MNLAC于N,求PN的長.

問題解決：（2）2022年3月我省局部發生疫情，為落實“科學防治、精準施策、分級管理”，我省某小區設計

防疫區域,在道路C。邊固定柱子（點Q）,道路AB邊確定一點P,以尸Q為邊，搭建正方形防疫區域PMN。，

內部道路C。上設點E作為記錄處，一EPQ、EPM、EMN、ENQ分別為不同的防疫物資放置區域，設

計圖簡化如圖2所示，已知道路兩邊AB〃CD,道路寬為6團，。為C。上一定點，P為4B上一動點，

PE上CD于E.請問是否存在符合設計要求且面積最小的若存在，請求出面積最小值及此時QE的

長；若不存在，請說明理由.

限時檢測2：最新各地中考真題（60分鐘）

1.（2022廣西賀州?中考真題）已知二次函數產244廠1在0S&時,y取得的最大值為15,則a的值為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2022.內蒙古包頭.中考真題）已知實數“"滿足a=l,則代數式a?+2。-6a+7的最小值等于（）

A.5B.4C.3D.2

3.（2022?四川遂寧?中考真題）如圖，。、E、F分別是ABC三邊上的點，其中8c=8,BC邊上的高為6,

且。目/BC,則一。所面積的最大值為（）

4.（2022?江蘇泰州?中考真題）如圖，正方形ABC。的邊長為2,E為與點。不重合的動點，以OE-?邊作

正方形OEFG.設點尸、G與點C的距離分別為42,d3,則力+刈+必的最小值為（）

A.72B.2C.2近D.4

5.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，四邊形A8C。為矩形，AB=3,BC=4.點尸是線段BC上一動點,

點M為線段”上一點.ZADM=/BAP，則BM的最小值為（）

6.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，4408=30°,點/、N分別在邊。4、08上，且QW=3,ON=5,點尸、

。分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是（）

C.后一2D.735-2

7.（2022?安徽?中考真題）已知點。是邊長為6的等邊"8C的中心，點P在AABC外，4ABC,^PAB,,BC,

△PCA的面積分別記為s0,s,,S[,s3.若由+$2+53=25°,則線段O尸長的最小值是（）

A.至B.迥C.36D.速

8.（2022?浙江湖州?中考真題）在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點.如

圖，在6x6的正方形網格圖形ABCC中，M,N分別是48,BC上的格點，BM=4,BN=2.若點尸是這個

網格圖形中的格點，連接PM,PN,則所有滿足NMPN=45。的△PMN中，邊P例的長的最大值是（）

A.4及B.6C.2710D.3>/5

9.（2022?廣西柳州?中考真題）如圖，直線y/=x+3分別與x軸、y軸交于點A和點C,直線”=-x+3分別

與x軸、y軸交于點8和點C,點P（加，2）是△A8C內部（包括邊上）的一點，則機的最大值與最小值之

差為（）

A.1B.2C.4D.6

2

10.（2022?江蘇宿遷?中考真題）如圖，點4在反比例函數y=V（x>0）的圖像上，以。4為一邊作等腰直角

三角形OAB,其中N048=90。，AO=AB,則線段OB長的最小值是（）

A.1B.&C.2A/2D.4

11.（2022?吉林長春?中考真題）已知二次函數y=-V-2x+3,當成/g時，函數值y的最小值為1,則a

的值為.

12.（2022?四川涼山?中考真題）己知實數a3滿足a—〃=4,則代數式/一3〃2十。一14的最小值是.

13.（2022,四川自貢?中考真題）如圖，矩形ABC。中，AB=4,BC=2,G是A。的中點，線段E尸在邊AB

上左右滑動；若EF=1,則GE+C尸的最小值為.

14.（2022?山東濱州?中考真題）如圖，在矩形A8C。中，AB=5,AD=10.若點E是邊上的一個動點,

過點E作EF1.AC且分別交對角線4C,直線BC于點0、F,則在點E移動的過程中，AF+EE+EC的最

15.（2022.浙江臺州?中考真題）如圖，在菱形ABCO中，NA=60。，AB=6.折疊該菱形，使點A落在邊BC

上的點M處，折痕分別與邊AB,A。交于點E,F.當點M與點B重合時，E尸的長為；當點M的

位置變化時，。尸長的最大值為.

8M

16.（2022?四川眉山?中考真題）如圖，點P為矩形ABC。的對角線AC上一動點，點E為BC的中點，連接PE,

PB,若AB=4,BC=4幣,則PE+P3的最小值為

17.（2022?廣西賀州?中考真題）如圖，在矩形A8CD中，AB=8,8c=6,E,尸分別是AO,AB的中點，ZADC

的平分線交AB于點G,點P是線段DG上的一個動點，則“PE尸的周長最小值為.

18.（2022?廣西柳州?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=4,G是8c的中點，點E是正方形內一個

動點，且EG=2,連接。E,將線段OE繞點。逆時針旋轉90。得到線段。凡連接CF,則線段CF長的最

小值為

/D

19.（2022?江蘇無錫?中考真題）AABC是邊長為5的等邊三角形，AOCE是邊長為3的等邊三角形，直線

BD與直線AE交于點凡如圖，若點。在aABC內，N。8c=20。，則/54尸=°；現將△力CE繞點

C旋轉1周，在這個旋轉過程中，線段A尸長度的最小值是.

B

20.（2022?四川成都?中考真題）如圖，在菱形A8CO中，過點。作DELC。交對角線AC于點E,連接8E,

點P是線段BE上一動點，作P關于直線OE的對稱點P,點。是AC上一動點，連接尸。，。。.若AE=14,

CE=18,則DQ-P'Q的最大值為.

21.（2022.四川成都.中考真題）距離地面有一定高度的某發射裝置豎直向上發射物體，物體離地面的高度/?

（米）與物體運動的時間?（秒）之間滿足函數關系/7=-5/+〃”+〃，其圖像如圖所示，物體運動的最高點

離地面20米，物體從發射到落地的運動時間為3秒.設w表示0秒到f秒時八的值的“極差”（即。秒到，秒

時。的最大值與最小值的差），貝D當0WT1時，叩的取值范圍是；當2W時，w的取值范圍是

22.（2022?浙江紹興?中考真題）已知函數y=-x2+fev+c（h,c為常數）的圖象經過點（0,-3）,（-6,

-3）.（1）求b,c的值.⑵當-4