數學必修一看題復習注：以下內容總結了數學必修一常考題型，請認真看完每一種類型的題目，題目給出了相應的解析。若解析仍然看不懂，帶著問題看每道例題前面的基礎知識復習。注：看題時注意動筆寫一寫，本次要求是熟練每種題目的做題方法，以看和記憶為主。集合部分考點一：集合的定義及其關系基礎知識復習（1）集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.（2）常用數集及其記法表示自然數集，或表示正整數集，表示整數集，表示有理數集，表示實數集.（3）集合與元素間的關系對象與集合的關系是，或者，兩者必居其一.（4）集合的表示法①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.③描述法：{|具有的性質}，其中為集合的代表元素.④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.（5）集合的分類①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().（6）子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質示意圖子集（或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)若且，則(4)若且，則或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不屬于A（1）（A為非空子集）(2)若且，則集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA（7）已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有非空真子集.題型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定義集合運算：．設，則集合的所有元素之和為（）A．0；B．2；C．3；D．6[解題思路]根據的定義，讓在中逐一取值，讓在中逐一取值，在值就是的元素[解析]：正確解答本題,必需清楚集合中的元素，顯然，根據題中定義的集合運算知=，故應選擇D題型2：集合間的基本關系[例2.1]．數集與之的關系是（）A．；B．；C．；D．[解題思路]可有兩種思路：一是將和的元素列舉出來，然后進行判斷；也可依選擇支之間的關系進行判斷。[解析]從題意看，數集與之間必然有關系，如果A成立，則D就成立，這不可能；同樣，B也不能成立；而如果D成立，則A、B中必有一個成立，這也不可能，所以只能是CBA．B．C．D．【例2.2】設集合，則下列圖形能表示A與BBA．B．C．D．解：簡單列舉兩個集合的一些元素，，，易知BA，故答案選A．[例2.3]若集合，且，求實數的值.解：由，因此，.（=1\*romani）若時，得，此時，；（=2\*romanii）若時，得.若,滿足，解得.故所求實數的值為或或考點二：集合的基本運算基礎知識復習1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3、交集與并集的性質：A∩A=A，A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集與補集（1）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。SCsAA（2）補集：設S是一個集合，A是S的一個子集（即ASCsAA所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）。記作：CSA，即CSA={x|xS且xA}（3）性質：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U(4)(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(5)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)[例3.1]設集合，若，求實數的值；（注：這里的I指的是交，Y指的是并）（2）若，求實數的取值范圍[解題思路]對于含參數的集合的運算，首先解出不含參數的集合，然后根據已知條件求參數。[解析]因為，（1）由知，，從而得，即，解得或當時，，滿足條件；當時，，滿足條件所以或（2）對于集合，由因為，所以①當，即時，，滿足條件；②當，即時，，滿足條件；③當，即時，才能滿足條件，由根與系數的關系得，矛盾故實數的取值范圍是[例3.2]已知集合，，且，求實數m的取值范圍.（注：這里的I指的是交，Y指的是并）-24mxBA4mx-24mxBA4mx在數軸上表示集合A與集合B，如右圖所示：由圖形可知，.[例3.3]設集合，若，求實數的值.（注：這里的I指的是交，Y指的是并）解：由于，且，則有：當解得，此時，不合題意，故舍去；當時，解得.不合題意，故舍去；，合題意.所以，函數部分考點一：判斷兩函數是否為同一個函數基礎知識復習：1.構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域注意：（1）構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）。（2）兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①定義域一致；②表達式相同(兩點必須同時具備)[例1]試判斷以下各組函數是否表示同一函數？（1），；（2），（3），（n∈N*）；（4），；（5），[解題思路]要判斷兩個函數是否表示同一個函數，就要考查函數的三要素。[解析]（1）由于，，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數.（2）由于函數的定義域為，而的定義域為R，所以它們不是同一函數.（3）由于當n∈N*時，2n±1為奇數，∴，，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數.（4）由于函數的定義域為，而的定義域為，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數.（5）函數的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數.[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函數考點二：求函數的定義域、值域知識點復習：1.求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數．②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數．③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合．④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1．⑤中，．⑥零（負）指數冪的底數不能為零．沒有0的0次方，也沒有0的負數次方。⑦若是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集．⑧對于求復合函數定義域問題，主要記住兩個個問題，1，定義域指的是一個x的取值范圍。2，括號范圍對括號范圍。例如：f（x+1）定義域是（1，2），求f（2x）定義域，先求第一個括號的范圍x+1屬于（2，3），所以2x屬于（2，3），所以x屬于（1，3/2）。⑨對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論．⑩由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義．2．求值域的幾種方法：（1）配方法：對于（可化為）“二次函數型”的函數常用配方法（2）基本函數法：一些由基本函數復合而成的函數可以利用基本函數的值域來求，如函數就是利用函數和的值域來求。（3）判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數的值域由得，若，則得，所以是函數值域中的一個值；若，則由得，故所求值域是（4）分離常數法：常用來求“分式型”函數的值域。已知cosx屬于（-1，1）如求函數的值域，因為，因為cosx屬于（-1，1），所以，所以，故（5）利用對號函數求值域：如求函數的值域1.當時，；2.當時，，若，則x+4/x的最小值是4，可得0<y<3/4若，則，x+4/x的最大值是-4。可得-3/4<y<0綜上所述：此時從而得所求值域是（6）換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，在一個表達式中頻繁出現的部分換成t。注意換元后新元的取值范圍：另**=t，則t屬于······（7）圖象法：如果函數的圖象比較容易作出，則可根據圖象直觀地得出函數的值域（求某些分段函數的值域常用此法）。題型1：求有解析式的函數的定義域[例2].（08年湖北）函數的定義域為()（注：這里的I指的是交，Y指的是并）A.;B.；C.;D.[解題思路]函數的定義域應是使得函數表達式的各個部分都有意義的自變量的取值范圍。[解析]欲使函數有意義，必須并且只需，故應選擇題型2：求抽象函數的定義域[例3]（2006·湖北）設，則的定義域為（）（注：這里的I指的是交，Y指的是并）A.；B.；C.；D.[解題思路]要求復合函數的定義域，應先求的定義域。[解析]由得，的定義域為，故解得。故的定義域為.選B.題型3；求函數的值域[例4]求下列函數的定義域與值域：（1）；（2）.解：（1）要使函數有意義，則，解得.所以原函數的定義域是.，所以值域為.（2）.所以原函數的定義域是R，值域是.考點三：映射的概念基礎知識復習映射的概念設、是兩個集合，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的映射，記作．②給定一個集合到集合的映射，且．如果元素和元素對應，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．[例5]（06陜西）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密規則為：明文對應密文例如，明文對應密文當接收方收到密文時，則解密得到的明文為（）A．；B．；C．；D．[解題思路]密文與明文之間是有對應規則的，只要按照對應規則進行對應即可。[解析]當接收方收到密文14，9，23，28時，有，解得，解密得到的明文為C．考點四：函數的表達式題型1：由復合函數的解析式求原來函數的解析式[例6]（04湖北改編）已知=，則的解析式可取為[解題思路]這是復合函數的解析式求原來函數的解析式，應該首選換元法[解析]令，則，∴.∴.故應填題型2：求二次函數的解析式[例7]（普寧市城東中學09屆高三第二次月考）二次函數滿足，且。⑴求的解析式；⑵在區間上，的圖象恒在的圖象上方，試確定實數的范圍。[解題思路]（1）由于已知是二次函數，故可應用待定系數法求解；（2）用數表示形，可得求對于恒成立，從而通過分離參數，求函數的最值即可。[解析]⑴設，則與已知條件比較得：解之得，又，⑵由題意得：即對恒成立，易得考點五：分段函數基礎知識復習：在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫成函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．注意：（1）分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；（2）分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．題型1：根據分段函數的圖象寫解析式[例8](07年湖北)為了預防流感，某學校對教室用藥物消毒法進行消毒。已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為（a為常數），如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題：（Ⅰ）從藥物釋放開媽，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數關系式為；（Ⅱ）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過小時后，學生才能回到教室。[思路點撥]根據題意，藥物釋放過程的含藥量y（毫克）與時間t是一次函數，藥物釋放完畢后，y與t的函數關系是已知的，由特殊點的坐標確定其中的參數，然后再由所得的表達式解決（Ⅱ）[解析]（Ⅰ）觀察圖象，當時是直線，故；當時，圖象過所以，即，所以（Ⅰ），所以至少需要經過小時題型2：由分段函數的解析式畫出它的圖象例9](2006·上海)設函數，在區間上畫出函數的圖像。[思路點撥]需將來絕對值符號打開，即先解，然后依分界點將函數分段表示，再畫出圖象。[解析],如右上圖.考點六函數的單調性基礎知識復習：①定義及判定方法函數的性質定義圖象判定方法函數的單調性如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是增函數．（1）利用定義（2）利用已知函數的單調性（3）利用函數圖象（在某個區間圖象上升為增）（4）利用復合函數如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數．（1）利用定義（2）利用已知函數的單調性（3）利用函數圖象（在某個區間圖象下降為減）（4）利用復合函數②在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數．③對于復合函數，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減．（2）打“√”函數的圖象與性質yyxo分別在、上為增函數，分別在、上為減函數．題型1：討論函數的單調性[例9.1]試用函數單調性的定義判斷函數在區間（0，1）上的單調性.解：任取∈(0,1)，且.則.由于，，，，故，即.所以，函數在（0，1）上是減函數.[例9.2]求下列函數的單調區間：（1）；（2）.解：（1），其圖象如右.由圖可知，函數在上是增函數，在上是減函數.（2），其圖象如右.由圖可知，函數在、上是增函數，在、上是減函數.[例9.3.]已知，指出的單調區間.解：∵，∴把的圖象沿x軸方向向左平移2個單位，再沿y軸向上平移3個單位，得到的圖象，如圖所示.由圖象得在單調遞增，在上單調遞增.題型2：研究抽象函數的單調性[例10]定義在R上的函數，，當x＞0時，，且對任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求證：f（0）=1；（2）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求證：f（x）是R上的增函數；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范圍.[解題思路]抽象函數問題要充分利用“恒成立”進行“賦值”，從關鍵等式和不等式的特點入手。[解析]（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）證明：當x＜0時，－x＞0，∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.∴f（－x）=＞0.又x≥0時f（x）≥1＞0，∴x∈R時，恒有f（x）＞0.（3）證明：設x1＜x2，則x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函數.（4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函數，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3..考點七最值的求法題型1：求分式函數的最值[例11]（2000年上海）已知函數當時，求函數的最小值；[解題思路]當時，，這是典型的“對鉤函數”，欲求其最小值，可以考慮均值不等式或導數；[解析]當時，，。在區間上為增函數。在區間上的最小值為。題型2：還原法求最值[例11.1]求函數的最小值.解：令，則，，所以，在時是增函數，當時，，故函數的最小值為2.考點八判斷函數的奇偶性及其應用基礎知識復習：①定義及判定方法函數的性質定義圖象判定方法函數的奇偶性如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f(－x)=－f(x),那么函數f(x)叫做奇函數．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于原點對稱）如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f(－x)=f(x),那么函數f(x)叫做偶函數．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于y軸對稱）②若函數為奇函數，且在處有定義，則．③奇函數在軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函數在軸兩側相對稱的區間增減性相反．④在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數（或奇函數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數．題型1：判斷有解析式的函數的奇偶性[例12]判斷下列函數的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；（3）；（4）[思路點撥]判斷函數的奇偶性應依照定義解決，但都要先考查函數的定義域。[解析]（1）函數的定義域x∈（－∞，+∞），對稱于原點.∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函數.（2）先確定函數的定義域.由≥0，得－1≤x＜1，其定義域不對稱于原點，所以f（x）既不是奇函數也不是偶函數.（3）去掉絕對值符號，根據定義判斷.由得=，∴f（－x）==－=－f（x）故f（x）為奇函數.（4）∵函數f（x）的定義域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且當x＞0時，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.當x＜0時，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函數f（x）為奇函數.[例13]（09年山東梁山）定義在區間上的函數f(x)滿足：對任意的，都有.求證f(x)為奇函數；[思路點撥]欲證明為奇函數，就要證明，但這是抽象函數，應設法充分利用條件“對任意的，都有”中的進行合理“賦值”[解析]令x=y=0，則 f(0)+f(0)= ∴f(0)=0 令x∈(－1,1)∴－x∈(－1,1) ∴f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0 ∴f(－x)=－f(x) ∴f(x)在(－1，1)上為奇函數考點九函數奇偶性、單調性的綜合應用[例14]（普寧市城東中學09）已知奇函數是定義在上的減函數，若，求實數的取值范圍。[思路點撥]欲求的取值范圍，就要建立關于的不等式，可見，只有從出發，所以應該利用的奇偶性和單調性將外衣“”脫去。[解析]是定義在上奇函數對任意有由條件得=是定義在上減函數，解得實數的取值范圍是[例15]設函數f(x)是定義在R上的偶函數，并在區間(－∞,0)內單調遞增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內求函數y=()[思路點撥]欲由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)求a的取值范圍，就要設法利用函數f而函數y=()是一個復合函數，應該利用復合函數單調性的判定方法解決[解析]設0<x1<x2,則－x2<－x1<0，∵f(x)在區間(－∞,0)內單調遞增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)為偶函數，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)內單調遞減.由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a－)2－.∴函數y=()的單調減區間是結合0<a<3,得函數y=()的單調遞減區間為［，3).考點十函數奇偶性、周期性的綜合應用基礎知識復習：若f（x）=f（x+a），則f（x）的周期為a，若f（x）=1/f（x+a），則f（x）的周期為2a若f（x）=f（a-x），則f（x）關于x=a/2對稱[例5]已知定義在上的偶函數滿足對于恒成立，且，則________[思路點撥]欲求，應該尋找的一個起點值，發現的周期性[解析]由得到，從而得，可見是以4為周期的函數，從而，又由已知等式得又由是上的偶函數得又在已知等式中令得，即所以指數函數與對數函數部分考點一指數與對數公式基礎知識復習：（一）指數1．根式的概念：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作=0。注意：(1)(2)當n是奇數時，，當n是偶數時，2．分數指數冪正數的正分數指數冪的意義，規定：正數的正分數指數冪的意義：0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義3．實數指數冪的運算性質（1）（2）（3）注意：在化簡過程中，偶數不能輕易約分；如（二）對數1．對數的概念：一般地，如果，那么數x叫做以a為底N的對數，記作：（a—底數，N—真數，—對數式）說明：1.注意底數的限制，a>0且a≠1；2.真數N>03.注意對數的書寫格式．2、兩個重要對數：（1）常用對數：以10為底的對數,；（2）自然對數：以無理數e為底的對數的對數,．3、對數式與指數式的互化對數式指數式對數底數←a→冪底數對數←x→指數真數←N→冪結論：（1）負數和零沒有對數（2）logaa=1,loga1=0特別地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0(3)對數恒等式：對數的運算性質如果a>0，a11，M>0，N>0有：1、兩個正數的積的對數等于這兩個正數的對數和2、兩個正數的商的對數等于這兩個正數的對數差3、一個正數的n次方的對數等于這個正數的對數n倍說明:1)簡易語言表達:”積的對數=對數的和”……2)有時可逆向運用公式3)真數的取值必須是(0,＋∞)4)特別注意：注意：換底公式利用換底公式推導下面的結論①②③考點二指數函數基礎知識復習：1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R．注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1．即a>0且a≠12、指數函數的圖象和性質0<a<1a>1圖像性質定義域R,值域（0，+∞）（1）過定點（0，1）,即x=0時，y=1(2)在R上是減函數(2)在R上是增函數（3）當x>0時,0<y<1;當x<0時,y>1（3）當x>0時,y>1;當x<0時,0<y<1圖象特征函數性質共性向x軸正負方向無限延伸函數的定義域為R函數圖象都在x軸上方函數的值域為R+圖象關于原點和y軸不對稱非奇非偶函數函數圖象都過定點（0，1）過定點（0，1）0<a<1自左向右看，圖象逐漸下降減函數在第一象限內的圖象縱坐標都小于1當x>0時,0<y<1;在第二象限內的圖象縱坐標都大于1當x<0時,y>1圖象上升趨勢是越來越緩函數值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；a>1自左向右看，圖象逐漸上升增函數在第一象限內的圖象縱坐標都大于1當x>0時,y>1;在第二象限內的圖象縱坐標都小于1當x<0時,0<y<1圖象上升趨勢是越來越陡函數值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快；注意：指數增長模型：y=N(1+p)x指數型函數：y=kax3考點：（1）ab=N,當b>0時，a,N在1的同側；當b<0時，a,N在1的異側。（2）指數函數的單調性由底數決定的，底數不明確的時候要進行討論。掌握利用單調性比較冪的大小，同底找對應的指數函數，底數不同指數也不同插進1(=a0)進行傳遞或者利用（1）的知識。（3）求指數型函數的定義域可將底數去掉只看指數的式子，值域求法用單調性。（4）分辨不同底的指數函數圖象利用a1=a，用x=1去截圖象得到對應的底數。題型一：比較大小[例1]已知函數滿足，且，則與的大小關系是_____．分析：先求的值再比較大小，要注意的取值是否在同一單調區間內．解：∵，∴函數的對稱軸是．故，又，∴．∴函數在上遞減，在上遞增．若，則，∴；若，則，∴．綜上可得，即．題型二求解有關指數不等式[例2]已知，則x的取值范圍是___________．分析：利用指數函數的單調性求解，注意底數的取值范圍．解：∵，∴函數在上是增函數，∴，解得．∴x的取值范圍是．題型三求定義域及值域問題[例3.1]求函數的定義域和值域．解：由題意可得，即，∴，故．∴函數的定義域是．令，則，又∵，∴．∴，即．∴，即．∴函數的值域是．[例3.2]求下列函數的定義域與值域.(1)y＝2;(2)y＝4x+2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定義域為｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1，∴y＝2的值域為｛y｜y>0且y≠1｝.(2)y＝4x+2x+1+1的定義域為R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1.∴y＝4x+2x+1+1的值域為｛y｜y>1｝.題型四最值問題[例4]函數在區間上有最大值14，則a的值是_______．分析：令可將問題轉化成二次函數的最值問題，需注意換元后的取值范圍．解：令，則，函數可化為，其對稱軸為．∴當時，∵，∴，即．∴當時，．解得或（舍去）；當時，∵，∴，即，∴時，，解得或（舍去），∴a的值是3或．題型五解指數方程[例5]解方程．解：原方程可化為，令，上述方程可化為，解得或（舍去），∴，∴，經檢驗原方程的解是．題型六圖象變換及應用問題[例6]為了得到函數的圖象，可以把函數的圖象（）．A．向左平移9個單位長度，再向上平移5個單位長度B．向右平移9個單位長度，再向下平移5個單位長度C．向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度D．向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度分析：注意先將函數轉化為，再利用圖象的平移規律進行判斷．解：∵，∴把函數的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，可得到函數的圖象，故選（C）．題型七指數函數與復合函數基礎知識參照函數的單調性中復合函數的應用[例7]求函數y＝的單調區間.這是復合函數求單調區間的問題可設y＝,u＝x2-3x+2，其中y＝為減函數∴u＝x2-3x+2的減區間就是原函數的增區間(即減減→增)u＝x2-3x+2的增區間就是原函數的減區間(即減、增→減)解：設y＝,u＝x2-3x+2,y關于u遞減，當x∈(-∞，)時，u為減函數，∴y關于x為增函數；當x∈［，+∞)時，u為增函數，y關于x為減函數.題型八指數函數與單調性及奇偶性[例8]已知函數f（x）=a－（a∈R），求證：對任何a∈R，f（x）為增函數．若f（x）為奇函數時，求a的值。（1）證明：設x1＜x2f（x2）－f（x1）=＞0故對任何a∈R，f（x）為增函數．（2），又f（x）為奇函數得到。即題型九指數函數變換圖像[例9]函數y＝a｜x｜(a>1)的圖像是()本題主要考查指數函數的圖像和性質、函數奇偶性的函數圖像，以及數形結合思想和分類討論思想.解法1：(分類討論)：去絕對值，可得y＝又a>1，由指數函數圖像易知，應選B.解法2：因為y＝a｜x｜是偶函數，又a>1，所以當x≥0時，y＝ax是增函數；x＜0時，y＝a-x是減函數.∴應選B.考點三對數函數1、對數函數的概念：函數(a>0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．注意：（1）對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：，都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．（2）對數函數對底數的限制：a>0，且a≠12、對數函數的圖像與性質：對數函數(a>0，且a≠1)0＜a＜1a＞1圖像yyx0(1,0)yyx0(1,0)性質定義域：（0，＋∞）值域：R過點(1,0),即當x＝1時,y＝0在(0,+∞)上是減函數在(0,+∞)上是增函數當x>1時，y<0當x=1時，y=0當0<x<1時，y>0當x>1時，y>0當x=1時，y=0當0<x<1時，y<0重要結論：在logab中，當a,b同在(0,1)或(1,+∞)內時，有logab>0;當a,b不同在(0,1)內，或不同在(1,+∞)內時,有logab<0.口訣：底真同大于0（底真不同小于0）.（其中，底指底數，真指真數，大于0指logab的值）3、如圖，底數a對函數的影響。規律:底大枝頭低,頭低尾巴翹。題型一對數函數定義域例1．求下列函數的定義域：（1）；（2）；（3）．分析：此題主要利用對數函數的定義域求解。解：（1）由>0得，∴函數的定義域是；（2）由得，∴函數的定義域是；（3）由9-得-3，∴函數的定義域是．題型二反函數例2．求函數和函數的反函數。解：（1）∴；（2）∴．題型三對數大小比較例3.1．比較下列各組數中兩個值的大小：（1），；（2），；（3），.解：（1）對數函數在上是增函數，于是；（2）對數函數在上是減函數，于是；（3）當時，對數函數在上是增函數，于是，當時，對數函數在上是減函數，于是．例3.2．比較下列比較下列各組數中兩個值的大小：（1），；（2），；（3），，；（4），，．解：（1）∵，，∴；（2）∵，，∴．（3）∵，，，∴．（4）∵，∴．例3.3．已知，比較，的大小。解：∵，∴，當，時，得，∴，∴．當，時，得，∴，∴．當，時，得，，∴，，∴．綜上所述，，的大小關系為或或．題型四對數函數求定義域和值域例4．1.函數y=