第八章靜電場中的導體和電介質主要內容導體靜電平衡條件和性質電場中導體和電介質的電學性質有介質時的高斯定理Gauss’sLawinDielectric電容器的性質和計算靜電場的能量EnergyofElectrostaticField重要內容▲▲▲▲§8-1靜電場中的導體

Effectsof

ConductorinElectrostaticField一、靜電感應導體的靜電平衡條件無外電場時無外電場時，導體中自由電子在金屬內作無規則熱運動，而沒有宏觀定向運動，整個導體呈現電中性無外電場時導體的靜電感應過程加上外電場后E外導體的靜電感應過程加上外電場后E外+導體的靜電感應過程加上外電場后E外++導體的靜電感應過程加上外電場后E外+++++導體的靜電感應過程加上外電場后E外+++導體的靜電感應過程加上外電場后E外+++++導體的靜電感應過程加上外電場后E外+++++導體的靜電感應過程加上外電場后E外+++++++導體的靜電感應過程加上外電場后E外++++++導體的靜電感應過程加上外電場后E外++++++++導體的靜電感應過程+加上外電場后E外+++++++++導體的靜電感應過程+加上外電場后E外+++++++++++++++++++導體達到靜電平衡E外E感感應電荷感應電荷加上外電場后E外把金屬導體置于外電場中，自由電子將產生宏觀定向運動，導體中電荷按照外電場特性和導體形狀形成特定的分布在外電場作用下，引起導體中電荷重新分布而呈現出的帶電現象，稱為靜電感應現象ElectrostaticInductionE外問：這種靜電感應的過程是否會一直進行下去？附加電場當電荷的宏觀定向運動將停止定義：靜電平衡狀態ElectrostaticEquilibrium當一個帶電體系中的電荷沒有定向運動，從而電場分布不隨時間變化時，稱該帶電體達到靜電平衡狀態。導體的靜電平衡狀態——導體中沒有電荷宏觀的定向運動，電荷分布不隨時間改變。導體的靜電平衡條件①導體內

②導體表面的場強與表面垂直：

（否則，其切向分量使表面自由電荷

q

移動非靜電平衡。）金屬球放入前電場為一均勻場如圖：導體表面附近的場強方向處處與表面垂直。金屬球放入后電場線發生彎曲電場為一非均勻場+++++++等勢體等勢面導體內導體表面

證明:處于靜電平衡狀態的整個導體是個等勢體二、導體處于靜電平衡時的電學性質Idear在前一章，我們基本上是在給定電荷分布的前提下，求或U的分布。引入導體后，本節處理問題的方法不是去分析電場、電荷在相互作用下怎樣達到平衡分布的復雜過程，而是假定靜電平衡已經達到，以靜電平衡條件為出發點，結合場強的疊加原理、高斯定理、環路定理分析問題，解決空間電荷Q分布，分布和U分布此處研究的導體是指均勻導體，對溫度不均勻、材料成分不均勻的導體，其內部可能存在凈電荷一、導體處于靜電平衡狀態時的電荷分布1.無論導體是否帶電和是否有外電場存在，電荷只能分布在導體表面上（1）實心導體導體內任一點都不存在電荷，電荷只分布于外表面說明：在內部任取高斯面SS內電量的代數和為0，還不足以說明內部沒有電荷

問：可否在S內存在兩種等量異號的電荷，才使成立？答：不可能S是任意取的高斯面，只要在某點有某種正或者負電荷存在，我們就可以取一個小的高斯面將其包圍，這樣與導體內場強為0矛盾+++++++++（2）空腔導體A：空腔內沒有帶電體時空腔導體的內表面無電荷，電荷只能分布在外表面

那么,內表面是否存在等量異號電荷而使呢？設空腔如圖，在導體內作高斯面S包圍內表面。因

若A，B處出現等量異號電荷（如圖），則必有電場線由A到B，則UA≠UB

，這違背等勢體性質。SBA證明：空腔內沒有帶電體時，空腔導體的內表面無電荷總結：空腔內無帶電體的情況腔體內表面不帶電量，腔體外表面所帶的電量為帶電體所帶總電量。Q

腔體內表面所帶的電量和腔內帶電體所帶的電量等量異號，腔體外表面所帶的電量由電荷守恒定律決定。未引入q1時

放入q1后B、空腔內有帶電體+未引入q時放入q后+++++++++++++++q++

導體上的電荷分布證明：腔體內表面所帶的電量和腔內帶電體所帶的電量等量異號+高斯面S故：必存在2.導體表面面電荷密度與曲率半徑R的關系例題:兩個半徑分別為R和r的球形導體（R>r），用一根很長的細導線連接起來（如圖），使這個導體組帶電，電勢為U，求兩球表面電荷面密度與曲率的關系。導線解:兩個導體所組成的整體可看成是一個孤立導體系，在靜電平衡時有一定的電勢值。設這兩個球相距很遠，使每個球面上的電荷分布在另一球所激發的電場可忽略不計。細線的作用是使兩球保持等電勢。因此，每個球又可近似的看作為孤立導體，在兩球表面上的電荷分布各自都是均勻的。設大球所帶電荷量為Q，小球所帶電荷量為q，則兩球的電勢為導線可見大球所帶電量Q比小球所帶電量q多。兩球的電荷密度分別為

可見:電荷面密度和半徑成反比，即曲率半徑愈小或曲率愈大，電荷面密度愈大。

導體上的電荷分布表面曲率越大，面電荷密度越大。尖端放電現象導體上的電荷分布

孤立導體面電荷分布導體表面上的電荷分布情況，不僅與導體表面形狀有關，還和它周圍存在的其他帶電體有關。常見的放電現象:地球是良好的導體,由于它特別大,所以能夠接受大量電荷而不明顯地改變地球的電勢，這就如同從海洋中抽水或向海洋中放水,并不能明顯改變海平面的高度一樣.如果用導線將帶電導體與地球相連,電荷將從帶電體流向地球,直到導體帶電特別少,可以認為它不再帶電。(如果導體帶正電，實際上是自由電子從大地流向導體。這等效于正電荷從導體流向大地。)

生產中和生活實際中往往要避免電荷的積累,這時接地是一項有效措施.應用一：放電現象：帶電物體失去電荷的現象叫做放電1.接地放電2.尖端放電

由于同種電荷相互排斥,導體上的靜電荷總是分布在表面上，而且一般說來分布是不均勻的，導體尖端的電荷特別密集,所以尖端附近空氣中的電場特別強,使得空氣中殘存的少量離子加速運動。這些高速運動的離子撞擊空氣分子。通常情況下空氣是不導電的，但是如果電場特別強，空氣分子中的正負電荷受到方向相反的強電場力，有可能被“撕”開，這個現象叫做空氣的電離。由于電離后的空氣中有了可以自由移動的電荷，空氣就可以導電了這時空氣成為導體，于是產生了尖端放電現象.

尖端放電在技術上有重要意義.高壓輸電導線和高壓設備的金屬元件，表面要很光滑,為的是避免因尖端放電而損失電能或造成事故。

導體上的電荷分布3.火花放電

當高壓帶電體與導體靠得很近時,強大的電場會使它們之間的空氣瞬間電離，電荷通過電離的空氣形成電流.由于電流特別大,產生大量的熱,使空氣發聲發光，產生電火花.這種放電現象叫火花放電.

火花放電在生活中常會遇到.干燥的冬天,身穿毛衣和化纖衣服,長時間走路之后,由于摩擦，身體上會積累靜電荷.這時如果手指靠近金屬物品,你會感到手上有針刺般的疼痛感。這就是火花放電引起的.如果事先拿一把鑰匙,讓鑰匙的尖端靠近其他金屬體,就會避免疼痛.在光線較暗的地方試一試，在鑰匙尖端靠近金屬體的時候,不但會聽到響聲,還會看到火花.

在一些工廠或實驗室里,存在大量易燃氣體,工作人員要穿一種特制的鞋,這種鞋的導電性能很好，能夠將電荷導入大地,避免電荷在人體上的積累,以免產生火花放電,引起火災.4.閃電

帶電云層之間或帶電云層和地面之間發生強烈放電時,產生耀眼的閃光和巨響,這就是閃電.閃電的放電電流可以高達幾十萬安培,會使建筑物遭受嚴重損壞.這就是雷擊。

為了避免雷擊,人們設計了避雷針.避雷針是針狀金屬物,裝在建筑物的頂端,用粗導線與埋在地下的金屬板相連,以保持與大地的良好接觸.當帶電云層接近時，大地中的異種電荷被吸引到避雷針的尖端，并由于尖端放電而釋放到空氣中，與云層中的電荷中和，達到避雷的目的.

閃電也有積極的意義.閃電產生的高溫使空氣中的氮和氧化合,隨雨水降至地面形成硝酸鹽.這些硝酸鹽是天然的氮肥.閃電過程中產生的臭氧，能保護地球上的生命免受過量紫外線傷害。原始生命起源于有機物分子,有一種生命起源學說把最初有機物分子的產生也歸功于閃電.應用二：導體空腔與靜電屏蔽

ElectrostaticShielding一、第一類導體空腔——[腔內無帶電體]

注意：腔外q在腔內也激發電場，腔內是因為腔外表面被q感應出異號電荷，感應場與外場疊加后使腔內：（合場強為零）。腔內無電場屏蔽（腔內儀器不受外場影響）。

二、第二類導體空腔—[腔內有帶電體]（1）腔內電場不受外電場影響。（可用高斯定理證明）導體外的電場是Ｑ＋ｑ產生的電場的疊加。由于導體內表面上電量與腔內電荷等量異號，在＋ｑ發出的電場線全部終止在內表面上，則＋ｑ及－ｑ在腔外產生的合場強為０。（２）空腔導體腔外電場不受導體腔內電場影響。與腔內電荷分布無關，但與腔內放置的帶電體電量有關。

（３）腔外表面接地，則外場不受導體腔內電場影響。

外表面電荷Ｑ＋ｑ全部流入地下，導體外部由Ｑ＋ｑ產生的電場隨之消失。

★★導體空腔的靜電屏蔽作用：

——

導體空腔（不論接地與否）內部電場不受腔外電荷的影響；接地導體空腔外部的電場不受內部電場的影響。應用：精密測量上的儀器屏蔽罩、屏蔽室、高壓帶電作業人員的屏蔽服（均壓服）等。Q1、導體內部無電荷。2、空腔導體帶電荷Q腔內無電荷：導體的電荷只能分布在外表面。導體的內表面電荷-q，外表面電荷Q+qQ=0q-q+q腔內有電荷q：小結：靜電平衡導體的電荷分布-++++++++++++++++++++-----------二、導體處于靜電平衡狀態時的場強分布導體外部近表面處場強方向:與該處導體表面垂直大小:與該處導體表面電荷面密度

成正比。過表面附近A點作圓柱形高斯面，底為證明設A點是導體表面之外附近空間的一點該點附近導體上電荷面密度為

取得充分小，可以認為其上

為常數

討論：導體表面附近的場強公式

指導體表面附近場點近旁的導體電荷面密度指位于導體表面附近場點的場強，不是導體外部空間任一點的場強是由場點附近旁的導體表面電荷導體上其余面電荷除導體外的其它帶電體共同作用的總效果適用條件：只適用于導體，而且場點位于導體表面附近才能將其它電荷的貢獻通過導體自動調整體現出來

才能將小面元視為無限大帶電平面，場強才與距離無關例均勻帶電導體球，帶電量為QPrP點場強為：當P點靠近導體球，r=RO++++++++++++++++PrO++++++++++++++++問題:++q如果在帶電導體附近，移來另一個帶電體q，導體表面附近的場強還是嗎？答：是。但是此時的σ已非原來的σ+q對P點場強是有影響的。只是這種影響是間接的。當+q移近后，它產生的電場要影響空間任一點，包括導體內部。為了抵消這個電場，重新達到靜電平衡，導體上電荷必將重新分布，此時的σ已非原來的σ

包括了空間所有電荷的貢獻，這正是疊加原理所要求的。辨析一塊無限大均勻帶電導體薄板，電荷面密度為問：在它附近一點的場強＝？解：由無限大帶電均勻平面兩側的場強公式，得但是，由導體表面附近場強公式矛盾？？問題出在公式２，在靠近無限大均勻帶電平面處，距離ｒ與導體厚度已經可以比擬，故在帶電導體附近看導體，已可以看成有厚度的板由導體表面附近場強公式d例：討論無限大導體板附近電場如何受到其它電荷影響的無限大導體板原來的電荷面密度為在它附近再放置無限大面電荷求：導體板表面附近P點場強分析沒有引入時，引入后，電荷守恒：靜電平衡及場強疊加原理，對ｄ點有：聯立：導體中電荷發生遷移，重新分布由導體表面附近一點的場強公式或者：由場強的疊加原理，視為三個無限大帶電平面的疊加兩種解法結論一致原則1.靜電平衡的條件2.基本性質方程3.電荷守恒定律高斯定理環路定理三、有導體存在時靜電場的計算問題４．場強的疊加原理練習已知:兩金屬板面積Ｓ，帶電分別為q1、q2

求：

1

、

2

、

3

、

4例.已知R1R2R3qQ求①電荷及場強分布；球心、球殼的電勢②如用導線連接A、B，再作計算解:由高斯定理得電荷分布場強分布球心的電勢球殼的電勢球殼外表面帶電②用導線連接A、B，再作計算連接A、B，中和§8-２、電介質的極化一、什么是電介質是一種電阻率很大（），導電能力較差的物質。它的分子中正負電荷結合得比較緊密，幾乎沒有自由電荷。當忽略電解質微弱的導電性能時，把它看成理想的絕緣體。即理想的電介質內部完全沒有自由電荷，因而不導電。

有極分子電介質：分子正負電荷中心不重合。無極分子電介質：分子正負電荷中心重合；電介質CH+H+H+H+正負電荷中心重合甲烷分子二、電介質的內部結構（極化機制）+正電荷中心負電荷中心H++HO水分子固有電矩

1.無極分子的位移極化Displacementpolarization無外電場時加上外電場后主要是電子在外電場誘導下產生電偶極矩，發生位移稱為誘導電矩。大小：與外電場的強弱有關方向：與外電場方向一致+極化電荷極化電荷+++++++兩端面出現極化電荷層各電偶極子沿著外電場方向排列成一條條“鏈子”。鏈上相鄰的電偶極子間正負電荷互相靠近。因而對于均勻電介質，內部仍然各處電中性。但是在兩端出現正負電荷層。2.有極分子的轉向極化++++++++++++++++++++無外電場時電矩取向不同整個電介質中含有無數個電偶極矩。在無外電場時，由于分子的熱運動，取向雜亂無章+++++++兩端面出現極化電荷層轉向外電場加上外場

在外電場中有極分子的固有電矩要受到一個力矩作用，電矩方向趨于外電場方向。但由于熱運動的存在，不會完全一致。3、極化的宏觀效果外電場越強，極化電荷越多電介質不均勻，則不僅在電介質表面會出現極化電荷，在電介質內部也會出現極化電荷對均勻電介質，在其內部任一小區域內，正負電荷數量仍然相等，因而仍然表現出電中性4、極化電荷與自由電荷的區別是由于電介質極化而出現在電介質表面上或者體內的宏觀電荷。是在外電場作用下可以自由運動的宏觀電荷。

差異：極化電荷自由電荷極化電荷是束縛電荷的宏觀表現，是束縛在晶格上的分子中的電子作微小位移，或者整個分子作微小旋轉所引起的。它的活動范圍不能超過分子限度極化電荷不能轉移到其他物體，而自由電荷可以轉移到其他物體。極化電荷可以吸附導體中的自由電荷，但不能被中和，而自由電荷可以被中和。極化電荷可作微小移動，在介質內產生的場強可削弱介質內的外場，是不能宏觀分開的正、負電荷。自由電荷是能夠宏觀分開的正、負電荷，在導體內部所產生的場強完全抵消外場。以相同的規律在空間激發電場。三、電介質極化對電場的影響實驗：設有一平行板電容器帶電量Q測出板間電壓為U0在板間填充某種均勻電介質，并保持Q不變再次測量電壓實驗發現：填充電介質不同，不同d討論

是表征電介質電學性質的物理量，稱為電介質的相對介電常數或者相對電容率。

越大，電容相對于真空中電容增大越大，是相對于真空電容的增長比率稱為電介質的介電常數由對于同一電荷分布，在電介質中產生的場強僅僅是真空中的機化電荷面密度與自由電荷面密度的關系在平行板電容器內充滿某種介電常數為的電介質

討論1.極化電荷面密度總是小于自由電荷面密度，故電介質內場強總是不為零。（與導體不同）2.引入電介質后電量降為原來的這是平行板間場強下降的原因。3.是否說明E與極化電荷無關？有關。空間各點的場強應該是自由電荷和極化電荷共同激發，極化電荷的影響已經通過表現出來。換言之：只要場強的表達式已經考慮了就不能再有極化電荷面密度。

例題如圖為一個帶電導體的局部，其外圍充滿相對電容率為電介質。＋＋＋＋＋------判斷正誤：導體表面附近場強為：＋＋＋＋＋------§8.3電位移矢量有電介質時的高斯定理當靜電場中有電介質時，則電介質在外電場作用下產生極化電荷Q'

，則空間場強應為Q和Q'共同激發。作如圖封閉圓筒形高斯面：兩底面平行于極板，其中一個端面在電介質內，面積為S。由高斯定理：電介質中的高斯定理定義：電位移矢量（適用于各向同性電介質）此式為有電介質時自由電荷與場強的關系。雖然沒有顯含極化電荷，但極化電荷的影響已經通過表現出來。電介質中的高斯定理

r

討論：1.在靜電場中通過任意閉合曲面的電位移通量等于該閉合曲面包圍自由電荷的代數和。2、

引入電位移矢量，從而回避了求極化電荷的問題。電位移矢量沒有明顯的物理意義，是輔助矢量。同時描述電場和電介質極化的復合矢量。僅在均勻各向同性電介質中成立

由極化電荷和自由電荷共同決定，不能認為僅由自由電荷決定，但的通量僅由自由電荷決定。定義一般，與關系為：電極化強度(矢量)單位體積內分子電偶極矩的矢量和

描述了電介質極化強弱，反映了電介質內分子電偶極矩排列的有序或無序程度。物理意義：++++++++++++++++++++電場線電位移線3.電位移線起于正自由電荷，止于負自由電荷。電場線起止于各種正負電荷？

r+Q

r+QE線D線

例題1寫出均勻電介質中的庫侖定律整個空間充滿各向同性均勻電介質，其中放有一個點電荷若把另一個點電荷也放在該電介質中，其相互作用力是多少？例題2如圖金屬球半徑為R1、帶電量+Q；均勻、各向同性介質層外半徑R2、相對介電常數

r；R2R1

rQ求：分布CBA

大小0r解由對稱性分析確定

沿矢徑方向R2R1

rQCBA

例3.已知:導體板介質求:各介質內的解:設兩介質中的分別為由高斯定理由得例4.已知:導體球介質求:1.球外任一點的2.導體球的電勢解:過P點作高斯面得電勢小結1.與關系為：3.均勻電介質：4.電介質中的高斯定理2.有電介質時：8-4電容電容器一、孤立導體的電容孤立導體：附近沒有其他導體和帶電體孤立導體球，R，Q,當它處于靜電平衡時，等勢體單位：法拉（F）、微法拉（

F）、皮法拉（pF）電容——使導體升高單位電勢所需的電量。定義C孤立導體球的電容C=4

0R問：兩個半徑相同的金屬球，其中一個是實心的，另一個是空心的，C是否相同？。電容器的兩極板常帶等量異號電荷。幾種常見電容器及其符號：二、電容器及電容定義:電容器：兩相互絕緣的導體組成的系統計算電容的一般方法：Q:其中一個極板電量絕對值U1-U2:兩板電勢差電容器的電容：

先假設電容器的兩極板帶等量異號電荷，再計算出電勢差，最后代入定義式。將真空電容器充滿某種電介質電介質的電容率（介電常數）平行板電容器同心球型電容器同軸圓柱型電容器2、電容器電容的計算（1）平行板電容器已知：S、d、

0設A、B分別帶電+q、-qA、B間場強分布電勢差由定義討論與有關；插入介質場強分布電勢差電容已知d1、

r1、d2、

r2、S

求:電容C解:設兩板帶電

例.平行板電容器例.平行板電容器已知:S、d插入厚為t的銅板求：C

設

q,場強分布電勢差（2）球形電容器已知設+q、-q場強分布電勢差由定義討論孤立導體的電容（3）圓柱形電容器已知：設

場強分布電勢差由定義

§8.5靜電場的能量從形成帶電體系的過程看電場的能量使物體帶電的過程是電荷相對移動的過程O（1）要使O帶電，先把q1移動O，做功為零。q1再把q2移動O，外力必須克服電場力做功q1q2由能量的轉化和守恒定律，外力對系統所作的功，等于系統能量的增加。此能量以電勢能的形式存儲在電場中，稱為電能。這種電能是形成帶電體所需要的功，轉化為電能的一種自能一、電能自能：把一個帶電體上各部分電荷從無限分散的狀態會聚在一起，克服電場力所作的功。A（2）A、B各自是不可分割的整體，組成一個系統B+++++++++++++++++A+++把B從無窮遠移近A，主要是克服兩個帶電體系的相互作用力做功。這部分電能稱為互能。電能=自能+互能帶電體之間的能量形成帶電體的能量計算電能的出發點：從能量的轉化和守恒看，一個帶電體具有多少電能，是指將此帶電體的各個電荷從無窮遠移到帶電體所在處，外力所做的功二、電能的計算1、只有兩個點電荷的帶電系統（最簡單的情況）q2q1先把q1從無窮遠移到A點，外力無須做功

AB再把q2從無窮遠移到B點，外力克服電場力做功

1、只有兩個點電荷的帶電系統（最簡單的情況）2、推廣到多個點電荷的電能指除了第i個電荷以外其他帶電體在qi

處產生的電勢和。3、推廣到電荷連續分布的帶電體Q的電能取體積元，有電荷（2）積分遍積電荷所在處。例題1求電量為Q0、半徑為R的均勻帶電球面的靜電能。

解：設U

=0每一個dQ

所在處的電勢R一、電容器中的靜電能+q-q

+++++------

dqU1U2+-電容器極板的帶電過程是使中和的正負電荷分離的過程。在正負電荷的分離過程中，外力必須克服電荷之間的相互引力而作功，所以電源必須消耗某種形式的能量。從能量守恒看，電源所作的功等于電容器所儲存的能量。電源把－dq的電荷從正極板搬到負極板上，相當于把帶電量為+dq的正電荷從負極板搬到正極板電源所做的功。電容器的充電過程是把其他形式的能量轉化成電勢能的過程。----例題2求平行板電容器所具有的電能電容器充電=外力不斷地把電荷元dq從負極板遷移到正極板極板上電荷從0~Q，外力作功根據能量守恒定律，外力作功A=電容器中儲存的靜電能W該結果由平行板電容器推得，但具有普遍意義。討論：在實際應用中，充電時電壓值給定，故C：是電容器儲存能量本領大小的標志再解例題1求電量為Q0、半徑為R的均勻帶電球面的靜電能。

解：設U

=0R能量密度1、電容器中的能量與電場能量密度1、此式表明有電場存在的區域（即：）就儲存著電能。2、在均勻電場、非均勻電場、變化電磁場中，此式都普遍成立，只是此時的能量密度是逐點變化的。3、該結果由平行板電容器推得，但具有普遍意義。4、當存在電介質時：各向同性均勻電介質5:例如：6：非均勻變化的電磁場中，求任意帶電系統在整個電場中儲存的能量微元分析法特例：當介質均勻E：積分所在處的場強V:積分區域積分遍及整個電場所在空間兩種求解電能的方法1能量轉化和守恒（由反抗電場力作功的角度）2利用能量密度計算例