用樣本估計總體____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.在表示樣本數據的過程中,學會列頻率分布表,畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖,理解數形結合的數學思想和邏輯推理的數學方法.2.通過對樣本分析和總體估計的過程,感受數學對實際生活的需要,通過實例體會頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征,從而恰當地選擇上述方法分析樣本的分布,準確地作出總體估計,認識到數學知識源于生活并指導生活的事實,體會數學知識與現實世界的聯系.3.能利用頻率分布直方圖估計總體的眾數、中位數、平均數；能用樣本的眾數、中位數、平均數估計總體的眾數、中位數、平均數,并結合實際,對問題作出合理判斷,制定解決問題的有效方法；初步體會、領悟“用數據說話”的統計思想方法；通過對有關數據的搜集、整理、分析、判斷，培養學生“實事求是”的科學態度和嚴謹的工作作風.4.正確理解樣本數據標準差的意義和作用,學會計算數據的標準差；能根據實際問題的需要合理地選取樣本,從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差）,并作出合理的解釋；會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，形成對數據處理過程進行初步評價的意識.1．分析數據的方法(1)借助于圖形．用圖將各個數據畫出來，作圖可以達到兩個目的，一是從數據中__________；二是利用圖形__________．(2)借助于表格．用緊湊的表格改變數據的______方式，為我們提供_____數據的新方式．提取信息傳遞信息構成解釋2．頻率分布直方圖(1)繪制步驟：①求______，即一組數據中的最大值與最小值的差．②決定______與______．組距與組數的確定沒有具體的標準，一般來說，數據分組的組數與樣本容量有關，樣本容量越大，所分組數越____．當樣本容量不超過100時，按照數據的多少，常分為5～12組．③將數據______．④列出__________表．⑤畫出頻率分布直方圖．其中橫軸表示_____，縱軸表示_____________的比．(2)意義：頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積表示相應組的______，所有小矩形的面積的總和等于____.(3)頻率分布的估計：頻率分布是指各個小組數據在容量中所占______的大小，可以用______的頻率分布估計總體的頻率分布，頻率分布表是反映樣本的頻率分布的表格．通過頻率分布直方圖和頻率分布表可以看到樣本的頻率分布．極差組距組數多分組頻率分布數據頻率與組距頻率1比例樣本3.頻率分布直方圖的特征：直觀、形象地反映了樣本的分布規律；可以大致估計出總體的分布．但是從頻率分布直方圖中得不出原始的數據內容，把數據繪制成頻率分布直方圖后，原有的具體數據信息就被抹掉了．4．頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)類似于頻數分布折線圖，連接頻率分布直方圖中各個小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．一般地，當總體中的個體數較多時，抽樣時樣本容量就不能太小．例如，如果要抽樣調查一個省乃至全國的居民的月均用水量，那么樣本容量就應比調查一個城市的時候大．可以想像，隨著樣本容量的增加．作圖時所分的組數增加，組距減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．頻率分布折線圖反映了數據的變化趨勢．總體密度曲線反映了總體在各個范圍內取值的百分比，它能給我們提供更加精細的信息．(2)估計方法：實際上，盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但是在實際應用中我們并不知道它的具體表達形式，需要用______來估計．由于樣本是隨機的，不同的樣本得到的頻率分布折線圖______；即使對于同一個樣本，不同的分組情況得到的頻率分布折線圖也不同．頻率分布折線圖是隨__________和分組情況的變化而變化的，因此不能用樣本的___________________得到準確的總體密度曲線．樣本不同樣本容量頻率分布折線圖5．莖葉圖(1)制作方法：將所有兩位數的十位數字作為_____，個位數字作為___，莖相同者共用一個莖，莖按從_________的順序從上向下列出，共莖的葉可以按從大到小(或從小到大)的順序同行列出(也可以沒有大小順序)．(2)優缺點：在樣本數據_______時，用莖葉圖表示數據的效果較好．它不但可以保留所有信息，而且可以隨時______，這對數據的記錄和表示都能帶來方便．但是當樣本數據______時，莖葉圖就顯得不太方便，因為每一個數據都要在圖中占據一個空間，如果數據很多，枝葉就會很長．莖葉小到大較少記錄較多6.莖葉圖的特征：統計圖上沒有原始數據信息的損失，所有數據信息都可以從莖葉圖中得到；莖葉圖中的數據可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示．但是莖葉圖只便于表示兩位有效數字的數據，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數據，兩位以上的數據雖然能夠記錄，但是沒有表示兩位數記錄那么直觀、清晰．7．規律總結[總結1]估計總體分布的步驟是：(1)選擇適當的抽樣方法從總體中抽取樣本，即收集數據．(2)利用樣本數據畫出統計圖或計算數字特征．(3)結合統計圖分析樣本取值的分布規律．(4)用樣本取值的分布規律估計總體分布，由于是用科學抽樣抽取的樣本，那么樣本與總體取值的分布規律近似，有時也可看成相同.(5)利用總體分布解決有關問題．[總結2]頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖和莖葉圖的比較(1)四種圖表的區別與聯系名稱區別頻率分布表從數量上比較準確地反映樣本的頻率分布規律頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布情況頻率分布折線圖直觀地反映了數據的變化趨勢總體密度曲線雖客觀存在，但要準確畫出難度較大，只能用樣本頻率分布估計．樣本容量越大，估計越準確這四種圖表都是描述樣本數據分布情況，估計總體頻率分布規律的，其聯系如下：(2)四種圖表的優缺比較優點缺點頻率分布表表示數量較確切分析數據分布的總體態勢不方便頻率分布直方圖表示數據分布情況非常直觀原有的具體數據信息被抹掉了頻率分布折線圖能反映數據的變化趨勢不能顯示原有數據信息莖葉圖一是所有的信息都可以從這個莖葉圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，能夠展示數據的分布情況樣本數據較多或數據位數較多時，不方便表示數據8．眾數(1)定義：一組數據中出現次數______的數稱為這組數據的眾數．(2)特征：一組數據中的眾數可能______一個，也可能沒有，反映了該組數據的____________．[破疑點]眾數體現了樣本數據的最大集中點，但它對其他數據信息的忽視使其無法客觀地反映總體特征．最多不止集中趨勢9．中位數(1)定義：一組數據按從小到大的順序排成一列，處于______位置的數稱為這組數據的中位數．(2)特征：一組數據中的中位數是______的，反映了該組數據的______________．在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積______．[破疑點]中位數不受少數幾個極端值的影響，這在某些情況下是優點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點．中間唯一集中趨勢相等10．平均數(1)定義：一組數據的和與這組數據的個數的商．數據x1，x2，…，xn的平均數為eq\x\to(x)n＝_________________.(2)特征：平均數對數據有“取齊”的作用，代表該組數據的_____________．任何一個數據的改變都會引起平均數的變化，這是眾數和中位數都不具有的性質．所以與眾數、中位數比較起來，平均數可以反映出更多的關于樣本數據全體的______，但平均數受數據中_________的影響較大，使平均數在估計總體時可靠性降低．eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均水平信息極端值11．標準差(1)定義：標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離，一般用s表示，通常用以下公式來計算s＝__________________________.可以用計算器或計算機計算標準差．(2)特征：標準差描述一組數據圍繞______波動的大小，反映了一組數據變化的幅度和離散程度的大小．標準差較大，數據的離散程度較______；標準差較小，數據的離散程度較______．eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])平均數大小12．方差(1)定義：標準差的平方，即s2＝________________________________________．(2)特征：與____________的作用相同，描述一組數據圍繞平均數波動程度的大小．(3)取值范圍：___________．eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]標準差[0，＋∞)數據組x1，x2，…，xn的平均數為eq\x\to(x)，方差為s2，標準差為s，則數據組ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b為常數)的平均數為aeq\x\to(x)＋b，方差為a2s2，標準差為as.6．用樣本估計總體現實中的總體所包含的個體數往往很多，總體的平均數、眾數、中位數、標準差、方差是不知道的，因此，通常用樣本的平均數、眾數、中位數、標準差、方差來估計．這與用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的．只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的．用樣本的數字特征估計總體的數字特征分兩類：用樣本平均數估計總體平均數；用樣本標準差估計總體標準差，樣本容量越大，估計就越精確．類型一繪制頻率分布直方圖例1：抽查100袋洗衣粉，測量它們的凈重如下(單位：g)：494498493505496492485483508511495494483485511493505488501491493509509512484509510495497498504498483510503497502511497500493509510493491497515503515518510514509499493499509492505489494501509498502500508491509509499495493509496509505499486491492496499508485498496495496505499505496501510496487511501496(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫頻率分布直方圖及頻率分布折線圖；(3)估計凈重在～g之間的頻率．[解析](1)在樣本數據中，最大值是518，最小值是483，所以極差為35.取組距為4g，由于eq\f(35,4)＝8eq\f(3,4)，故要分成9組．使分點比數據多一位小數，且把第1組的起點稍微減小一點，得分組如下：[,，[，，[,，…，[,]．列出頻率分布表如下：分組頻數累計頻數頻率[,8[,3[,正正正17[,正正正正21[,正正14[,正9[,正正正19[,正6[,]3合計100(2)頻率分布直方圖及頻率分布折線圖如下圖：(3)凈重在～g之間的頻率為＋＋＝.練習1：為了解某中學高一年級男生的體重情況，抽取了同年級40名男生的體重，數據如下(單位：千克)：62605959595858575757575656565656565655555555545454545353525252525251515150504948列出樣本的頻率分布表，繪出頻率分布直方圖，并估計體重在58千克以上的男生比例．[答案](1)計算極差：62－48＝14.(2)決定組距與組數：取組距為2.又因為eq\f(極差,組距)＝eq\f(14,2)＝7，故共分成7組．(3)將數據分組：以組距為2將數據分組時，可以分成以下7組：[48,50)，[50,52)、[52,54)，[54,56)，[56,58)，[58,60)，[60,62]．(4)列出頻率分布表如下：分組頻數頻率[48,50)2[50,52)5[52,54)7[54,56)8[56,58)11[58,60)5[60,62]2合計40(5)繪出頻率分布直方圖(如下圖所示)：從頻率分布表中可看出，樣本數據落在58以上的頻率為＋＝，由此可估計，體重在58千克以上的男生比例約為練習2：在2014年第十六屆亞運會中，各個國家和地區金牌獲得情況的條形統計圖，如圖所示．第十六屆亞運會各個國家和地區金牌獲得情況統計圖從圖中可以看出中國是亞洲第一體育強國，中國所獲得金牌數占全部金牌數的比例約是()A．% B．% C．% D．%[答案]D練習3：頻率分布直方圖中，各小矩形面積的和等于()A．0 \f(1,2) C．1 D．不確定[答案]C練習4：在畫頻率分布直方圖時，某組的頻數為10，樣本容量為50，總體容量為600，則該組的頻率是()\f(1,5) \f(1,6) \f(1,10) D．不確定[答案]A類型二莖葉圖的畫法及應用例2：某中學甲、乙兩名同學最近幾次的數學考試成績情況如下：甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.畫出兩人數學成績的莖葉圖，并根據莖葉圖對兩人的成績進行比較．[解析][答案]甲、乙兩人數學成績的莖葉圖如圖所示．從這個莖葉圖上可以看出，乙同學的得分情況是大致對稱的，大多集中在80～100之間，中位數是98分．甲同學的得分情況除一個特殊得分外，也大致對稱，多集中在70～90之間，中位數是88分，但分數分布相對于乙來說，趨向于低分階段．因此，乙同學發揮比較穩定，總體得分情況比甲同學好．練習2：在某電腦雜志的一篇文章中，每個句子的字數如下10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20，19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17.在某報紙的一篇文章中，每個句子的字數如下：27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35，12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.(1)畫出兩組數據的莖葉圖；(2)比較分析兩組數據，能得出什么結論？[答案](1)依題意，畫出莖葉圖如下圖所示：(2)電腦雜志文章中每個句子的字數集中在10～30之間，中位數為，而報紙文章中每個句子的字數集中在20～40之間，中位數為.還可以看出，電腦雜志上每個句子的平均字數比報紙上每個句子的平均字數要少．這與電腦雜志作為科普讀物需要簡明、通俗易懂的要求相吻合．類型三莖葉圖與頻率分布直方圖的綜合應用例3：(2015·湖北武漢調研)某學校隨機抽取20個班，調查各班中有網購經歷的人數，所得數據的莖葉圖如圖所示．以組距為5將數據分組成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]時，所作的頻率分布直方圖是()[解析]借助已知莖葉圖得出各小組的頻數，再由頻率＝eq\f(頻數,樣本容量)求出各小組的頻率，進一步求出eq\f(頻率,組距)并得出答案．方法一：由題意知樣本容量為20，組距為5.列表如下：分組頻數頻率eq\f(頻率,組距)[0,5)1eq\f(1,20)[5,10)1eq\f(1,20)[10,15)4eq\f(1,5)[15,20)2eq\f(1,10)[20,25)4eq\f(1,5)[25,30)3eq\f(3,20)[30,35)3eq\f(3,20)[35,40]2eq\f(1,10)合計201觀察各選擇項的頻率分布直方圖知選A.方法二：由莖葉圖知落在區間[0,5)與[5,10)上的頻數相等，故頻率、eq\f(頻率,組距)也分別相等．比較四個選項知A正確，故選A.[答案]A練習1：某學校為調查高三年級學生的身高情況，按隨機抽樣的方法抽取80名學生，得到男生身高情況的頻率分布直方圖1和女生身高情況的頻率分布直方圖2.已知圖1中身高在170cm～175cm的人數為16.問：在抽取的學生中，男、女生各有多少人？[答案]因為身高在170cm～175cm的男生的頻率為×5＝，設男生的總人數為n1，則＝eq\f(16,n1)，解得n1＝40，即抽取的學生中，男生的人數為40，女生的人數為80－40＝40.練習2：沒有信息的損失，所有的原始數據都可以從圖中得到的統計圖是()A．總體密度曲線 B．莖葉圖C．頻率分布折線圖 D．頻率分布直方圖[答案]B類型四中位數、眾數、平均數的應用例4:據報道，某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下：職務董事長副董事長董事總經理經理管理員職員人數11215320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司的職工月工資的平均數、中位數、眾數；(2)假設副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數、中位數、眾數又是什么？(精確到1元)(3)你認為哪個統計量更能反映這個公司職工的工資水平？結合此問題談一談你的看法．[解析](1)平均數是eq\x\to(x)＝1500＋eq\f(4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋591＝2091(元)．中位數是1500元，眾數是1500元．(2)平均數是eq\x\to(x)′＝1500＋eq\f(28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋1788＝3288(元)．中位數是1500元，眾數是1500元．(3)在這個問題中，中位數或眾數均能反映該公司職工的工資水平．因為公司中少數人的工資額與大多數人的工資額差別較大，這樣導致平均數偏差較大，所以平均數不能反映這個公司職工的工資水平．練習1：某小區廣場上有甲、乙兩群市民正在進行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲)：甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年齡的平均數、中位數和眾數各是多少歲？其中哪個統計量能較好反映甲群市民的年齡特征？(2)乙群市民年齡的平均數、中位數和眾數各是多少歲？其中哪個統計量能較好反映乙群市民的年齡特征？[答案](1)甲群市民年齡的平均數為eq\f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(歲)，中位數為15歲，眾數為15歲．平均數、中位數和眾數相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征．(2)乙群市民年齡的平均數為eq\f(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57,10)＝15(歲)，中位數為5歲，眾數為6歲．由于乙群市民大多數是兒童，所以中位數和眾數能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數的可靠性較差．類型五標準差、方差的應用從甲、乙兩種玉米的苗中各抽10株，分別測它們的株高如下：(單位：cm)甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640問：(1)哪種玉米的苗長得高？(2)哪種玉米的苗長得齊？[解析]看哪種玉米的苗長得高，只要比較甲、乙兩種玉米的苗的均高即可；要比較哪種玉米的苗長得齊，只要看兩種玉米的苗高的方差即可，因為方差是體現一組數據波動大小的特征數．(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,10)(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝eq\f(1,10)×300＝30(cm)，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,10)(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝eq\f(1,10)×310＝31(cm)．所以eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙．(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝eq\f(1,10)(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝eq\f(1,10)×1042＝(cm2)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝eq\f(1,10)×1288＝(cm2)．所以seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙).[答案](1)乙種玉米的苗長得高，(2)甲種玉米的苗長得齊．練習1：甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績如下表：甲的成績環數78910頻數5555乙的成績環數78910頻數6446丙的成績環數78910頻數4664s1，s2，s3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則有()A．s3>s1>s2 B．s2>s1>s3 C．s1>s2>s3 D．s2>s3>s1[答案]B練習2：(2015·天津高一檢測)一次數學知識競賽中，兩組學生成績如下表：分數5060708090100人數甲組251013146乙組441621212已經算得兩個組的平均分都是80分，請根據你所學過的統計知識，進一步判斷這兩個組這次競賽中成績誰優誰次，并說明理由．[答案](1)甲組成績的眾數為90分，乙組成績的眾數為70分，從成績的眾數比較看，甲組成績好些．(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝eq\f(1,50)×(2×900＋5×400＋10×100＋13×0＋14×100＋6×400)＝172.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,50)×(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝256.因為seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲組成績較乙組成績穩定．(3)甲、乙兩組成績的中位數、平均數都是80分，其中甲組成績在80分以上(含80分)的有33人，乙組成績在80分以上(含80分)的有26人，從這一角度看，甲組成績總體較好．(4)從成績統計表看，甲組成績大于或等于90分的人數為20人，乙組成績大于或等于90分的人數為24人，所以乙組成績在高分階段的人數多，同時，乙組得滿分的比甲組得滿分的多6人，從這一角度看，乙組成績較好．類型六頻率分布直方圖與數字特征的綜合應用例6：(1)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統計圖如圖所示，則()A．甲的成績的平均數小于乙的成績的平均數B．甲的成績的中位數等于乙的成績的中位數C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差(2)某校從參加高二年級學業水平測試的學生中抽出80名學生，其數學成績(均為整數)的頻率分布直方圖如圖所示．①求這次測試數學成績的眾數．②求這次測試數學成績的中位數．③求這次測試數學成績的平均分．[解析](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)(4＋5＋6＋7＋8)＝6，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)(5×3＋6＋9)＝6，甲的中位數是6，乙的中位數是5.甲的成績的方差為eq\f(1,5)(22×2＋12×2)＝2，乙的成績的方差為eq\f(1,5)(12×3＋32×1)＝.甲的極差是4，乙的極差是4.所以A，B，D錯誤，C正確．(2)①由圖知眾數為eq\f(70＋80,2)＝75.②由圖知，設中位數為x，由于前三個矩形面積之和為，第四個矩形面積為,＋＞，因此中位數位于第四個矩形內，得＝(x－70)，所以x≈.③由圖知這次數學成績的平均分為：eq\f(40＋50,2)××10＋eq\f(50＋60,2)××10＋eq\f(60＋70,2)××10＋eq\f(70＋80,2)××10＋eq\f(80＋90,2)××10＋eq\f(90＋100,2)××10＝72.[答案](1)C(2)見解析練習1：(2015·山東淄博高三模擬)參加市數學調研抽測的某校高三學生成績分布的莖葉圖1和頻率分布直方圖2均受到不同程度的破壞，但可見部分信息如下，據此解答如下問題：求參加數學抽測的人數n，抽測成績的中位數及分數分布在[80,90)，[90,100]內的人數．[答案]分數在[50,60)內的頻率為2，由頻率分布直方圖可以看出，分數在[90,100]內的同樣有2人．由eq\f(2,n)＝10×，得n＝25.由莖葉圖可知抽測成績的中位數為73.∴分數在[80,90)之間的人數為25－(2＋7＋10＋2)＝4.參加數學競賽人數n＝25，中位數為73，分數在[80,90)，[90,100]內的人數分別為4人，2人．1．在用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布的過程中，下列說法正確的是()A．總體的容量越大，估計越準確B．總體的容量越小，估計越準確C．樣本的容量越大，估計越準確D．樣本的容量越小，估計越準確[答案]C2．在頻率分布表中，下列說法正確的是()A．起始點不同，不影響分組數B．分組數越多，就越能反映總體的情況C．各組頻率之和一定是1D．不同起始點的頻率分布表，各組頻率一定不同[答案]C3．下列關于莖葉圖的敘述正確的是()A．莖葉圖可以展示未分組的原始數據，它與頻率分布表以及頻率分布直方圖的處理方式不同B．對于重復的數據，只算一個C．莖葉圖中的葉是“莖”十進制的上一級單位D．制作莖葉圖的程序是：第1步畫出莖；第2步畫出葉；第3步將“葉子”任意排列[答案]A4．(2014·高考山東卷)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數據(單位：kPa)的分組區間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五組，下圖是根據試驗數據制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數為()A．6 B．8 C．12 D．18[答案]C5．甲、乙兩中學生在一年里學科平均分相等，但他們的方差不相等，正確評價他們的學習情況是()A．因為他們平均分相等，所以學習水平一樣B．成績平均分雖然一樣，方差較大的，說明潛力大，學習態度端正C．表面上看這兩個學生平均成績一樣，但方差小的成績穩定D．平均分相等，方差不等，說明學習不一樣，方差較小的同學，學習成績不穩定，忽高忽低[答案]C6．在某次測量中得到的A樣本數據如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88，若樣本B數據恰好是樣本A都加上2后所得數據，則A、B兩樣本的下列數字特征對應相同的是()A．眾數 B．平均數C．中位數 D．標準差[答案]D7．如圖，是某籃球運動員在一個賽季的30場比賽中得分的莖葉圖，則得分的中位數與眾數分別為()A．3與3 B．23與3C．3與23 D．23與23[答案]D8．(2015·沈陽鐵路實驗中學期末考試)已知樣本9,10,11，x，y的平均數是10，方差是2，則xy＝()A．98 B．88C．76 D．96[答案]D9．某籃球運動員在2014賽季各場比賽得分情況如下：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.制作莖葉圖，并分析這個運動員的整體水平及發揮的穩定程度．[解析]該運動員得分莖葉圖如下：從這張圖中可以粗略地看出，該運動員得分大多能在20分到40分之間，且分布較為對稱，集中程度高，說明其發揮比較穩定．10．從某校參加數學競賽的試卷中抽取一個樣本，考查競賽的成績分布，將樣本分成6組，得到頻率分布直方圖如圖，從左到右各小組的小長方形的高的比為113642，最右邊的一組的頻數是8.請結合直方圖的信息，解答下列問題：(1)樣本容量是多少？(2)成績落在哪個范圍的人數最多？并求出該小組的頻數和頻率．(3)估計這次數學競賽成績的眾數、中位數和平均數．[解析](1)從左到右各小組的頻率分別為eq\f(1,17)，eq\f(1,17)，eq\f(3,17)，eq\f(6,17)，eq\f(4,17)，eq\f(2,17)，樣本容量為eq\f(8,\f(2,17))＝68.(2)成績落在70～80之間的人數最多；頻率為eq\f(6,17)；頻數為68×eq\f(6,17)＝24.(3)眾數的估計值是75，中位數的估計值是70＋eq\f(\f(1,2)－\f(1,17)－\f(1,17)－\f(3,17),\f(6,17))×10＝eq\f(455,6)≈.平均數的估計值是eq\f(1,17)×45＋eq\f(1,17)×55＋eq\f(3,17)×65＋eq\f(6,17)×75＋eq\f(4,17)×85＋eq\f(2,17)×95＝75.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎鞏固（1）基礎鞏固一、選擇題1．下列關于頻率分布直方圖的說法正確的是()A．直方圖的高表示取某數的頻率B．直方圖的高表示該組上的個體在樣本中出現的頻率C．直方圖的高表示取某組上的個體在樣本中出現的頻數與組距的比值D．直方圖的高表示取該組上的個體在樣本中出現的頻率與組距的比值[答案]D[解析]要注意頻率直方圖的特點．在直方圖中，縱軸(矩形的高)表示頻率與組距的比值，其相應組距上的頻率等于該組距上的矩形的面積．[點評]注意區別直方圖與條形圖．2．下列說法正確的是()A．對于樣本數據增加時，頻率分布表不能增加變化B．對于樣本數據增加時，莖葉圖不能增加變化C．對于樣本數據增加時，頻率折線圖不會跟著變化D．對于樣本數據增加時，頻率分布直方圖變化不太大[答案]D3．一個容量為80的樣本中數據的最大值是140，最小值是51，組距是10，則應將樣本數據分為()A．10組 B．9組C．8組 D．7組[答案]B[解析]根據列頻率分布表的步驟，eq\f(極差,組距)＝eq\f(140－51,10)＝.所以分為9組較為恰當．4．(2013·福建卷)某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學生600名，據此估計，該模塊測度成績不低于60分的學生人數為()A．588 B．480C．450 D．120[答案]B[解析]本題考查頻率分布直方圖及頻數的求法．成績在[40,60)的頻率P1＝＋×10＝，則成績不少于60分的頻率P2＝1－＝，所以可估計成績不少于60分的學生人數為600×＝480，故選B.5．(2013·重慶高考)如圖是某公司10個銷售店某月銷售某產品數量(單位：臺)的莖葉圖，則數據落在區間[22,30)內的頻率為()A． B．C． D．[答案]B[解析]利用頻率及莖葉圖的知識直接運算求解．由題意知，這10個數據落在區間[22,30)內的有22、22、27、29，共4個，所以其頻率為eq\f(4,10)＝，故選B.6．(2015·河北省唐山一中月考)某校100名學生的數學測試成績的頻率分布直方圖如圖所示，分數不低于a即為優秀，如果優秀的人數為20，則a的估計值是()A．130 B．140C．133 D．137[答案]C[解析]本題考查頻率分布直方圖．由已知可以判斷a∈(130,140)，所以[(140－a)×＋×10]×100＝20，解得a≈133，故選C.二、填空題7．今年5月海淀區教育網開通了網上教學，某校高一年級(8)班班主任為了了解學生上網學習時間，對本班40名學生某天上網學習時間進行了調查，將數據(取整數)整理后，繪制出如圖所示頻率分布直方圖，已知從左到右各個小組的頻率分別是,，，,，則根據直方圖所提供的信息，這一天上網學習時間在100～119分鐘之間的學生人數是________人，如果只用這40名學生這一天上網學習時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學生該天的上網學習時間，這樣推斷是否合理？________(填“合理”或“不合理”)[答案]14不合理[解析]由頻數＝樣本容量×頻率＝40×＝14(人)因為該樣本的選取只在高一(8)班，不具有代表性，所以這樣推斷不合理．8.青年歌手大獎賽共有10名選手參賽，并請了7名評委．如圖所示的莖葉圖是7名評委給參加最后決賽的兩位選手甲、乙評定的成績，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙選手剩余數據的平均成績分別為________、________.[答案]分85分[解析]甲的成績去掉一個最高分92分和一個最低分75分后，甲的剩余數據的平均成績為分；乙的成績去掉一個最高分93分和一個最低分79分后，乙的剩余數據的平均成績為85分．三、解答題9．有關部門從甲、乙兩個城市所有的自動售貨機中隨機抽取了16臺，記錄了上午800～1100之間各自的銷售情況(單位：元)甲：18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41；乙：22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23.試用兩種不同的方式分別表示上面的數據，并簡要說明各自的優點．[解析]方法一：從題目中的數不易直接看出各自的分布情況，為此，我們將以上數據用條形統計圖表示．如圖：方法二：莖葉圖如圖，兩豎線中間的數字表示甲、乙銷售額的十位數，兩邊的數字表示甲、乙銷售額的個位數．從方法一可以看出條形統計圖能直觀地反映數據分布的大致情況，并且能夠清晰地表示出各個區間的具體數目；從方法二可以看出，用莖葉圖表示有關數據，對數據的記錄和表示都帶來方便．10．(2015·合肥高二檢測)為了調查甲、乙兩個網站受歡迎的程度，隨機選取了14天，統計上午800～1000間各自的點擊量，得如圖所示的莖葉圖，根據莖葉圖回答下列問題．(1)甲、乙兩個網站點擊量的極差分別是多少？(2)甲網站點擊量在[10,40]間的頻率是多少？(3)甲、乙兩網站哪個更受歡迎？并說明理由．[解析](1)甲網站的極差為：73－8＝65，乙網站的極差為：71－5＝66.(2)eq\f(4,14)＝eq\f(2,7)≈.(3)甲網站的點擊量集中在莖葉圖的下方，而乙網站的點擊量集中在莖葉圖的上方，從數據的分布情況來看，甲網站更受歡迎．基礎鞏固（2）一、選擇題1．對于數據3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.①這組數據的眾數是3；②這組數據的眾數與中位數的數值都不相等；③這組數據的中位數與平均數的數值相等；④這組數據的平均數與眾數的值相等．其中正確的結論的個數()A．1 B．2C．3 D．4[答案]A[解析]在這11個數據中，數據3出現了6次，概率最高，故眾數是3；將這11個數據按從小到大排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中間數據是3，故中位數是3；而平均數eq\x\to(x)＝eq\f(2×2＋3×6＋6×2＋10,11)＝4.2．(2015·安徽卷)若樣本數據x1，x2，……，x10的標準差為8，則數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為()A．8 B．15C．16 D．32[答案]C[解析]樣本數據x1，x2，……，x10，其標準差eq\r(Dx)＝8，則Dx＝64，而樣本數據2x1－1,2x2－1，……，2x10－1的方差D(2x－1)＝22Dx＝22×64，其標準差為eq\r(22×64)＝16.故選C.3．為了普及環保知識，增強環保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環保知識測試，得分(十分制)如下圖所示，假設得分值的中位數為me，眾數為mO，平均值為eq\x\to(x)，則()A．me＝mO＝eq\x\to(x) B．me＝mO<eq\x\to(x)C．me<mO<eq\x\to(x) D．mO<me<eq\x\to(x)[答案]D[解析]由圖可知，30名學生的得分情況依次為：2個人得3分，3個人得4分，10個人得5分，6個人得6分，3個人得7分，2個人得8分，2個人得9分，2個人得10分．中位數為第15,16個數(分別為5,6)的平均數，即me＝,5出現次數最多，故mO＝5，eq\x\to(x)＝eq\f(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10,30)＝.于是mO<me<eq\x\to(x).故選D.4．為了穩定市場，確保農民增收，某農產品7個月份的每月市場收購價格與其前三個月的市場收購價格有關，并使其與前三個月的市場收購價格之差的平方和最小，下表列出的是該產品今年前6個月的市場收購價格：月份123456價格(元/擔)687867717270則前7個月該產品的市場收購價格的方差為()\f(75,7) \f(76,7)C．11 \f(78,7)[答案]B[解析]設7月份的市場收購價格為x，則y＝(x－71)2＋(x－72)2＋(x－70)2＝3x2－426x＋15125，則當x＝71時，7月份的市場收購價格與前三個月的市場收購價格之差的平方和最小，則7月份的市場收購價格為71.則計算得前7個月該產品的市場收購價格的平均數是71，方差是eq\f(76,7).5．(2013·安徽)某班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生．隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數學測驗中的成績，五名男生的成績分別為86,94,88,92,90，五名女生的成績分別為88,93,93,88,93.下列說法一定正確的是()A．這種抽樣方法是一種分層抽樣B．這種抽樣方法是一種系統抽樣C．這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差D．該班男生成績的平均數小于該班女生成績的平均數[答案]C[分析]根據抽樣方法的概念可判斷選項A，B；分別把數據代入方差和平均數的公式可判斷選項C，D.[解析]若抽樣方法是分層抽樣，男生、女生應分別抽取6人、4人，所以A錯；由題目看不出是系統抽樣，所以B錯；這五名男生成績的平均數eq\x\to(x)1＝eq\f(86＋94＋88＋92＋90,5)＝90，這五名女生成績的平均數eq\x\to(x)2＝eq\f(88＋93＋93＋88＋93,5)＝91，故這五名男生成績的方差為eq\f(1,5)[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，這五名女生成績的方差為eq\f(1,5)[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差，但該班男生成績的平均數不一定小于女生成績的平均數，所以D錯．6．(2015·山東臨沂高一月考)某市要對兩千多名出租車司機的年齡進行調查，現從中隨機抽出100名司機，已知抽到的司機年齡都在[20,45)歲之間，根據調查結果得出司機的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市出租車司機年齡的中位數大約是()A．31,6歲 B．歲C．歲 D．歲[答案]C[解析]根據所給的信息可知，在區間[25,30)上的數據的頻率為1－＋＋＋×5＝.故中位數在第3組，且中位數的估計為30＋(35－30)×eq\f(5,3)＝(歲)．二、填空題7．由正整數組成的一組數據x1，x2，x3，x4，其平均數和中位數都是2，且標準差等于1，則這組數據為________．(從小到大排列)[答案]1,1,3,3[解析]不妨設x1≤x2≤x3≤x4，得：x2＋x3＝4，x1＋x2＋x3＋x4＝8?x1＋x4＝4，s2＝1?(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＝4?①如果有一個數為0或4；則其余數為2，不合題意；②只能取|x1－2|＝1；得：這組數據為1,1,3,3.8．階段考試以后，班長算出了全班40個人數學成績的平均分為M，如果把M當成一個同學的分數，與原來的40個分數一起，算出這41個分數的平均分為N，那么MN為________．[答案]1[解析]M＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40,40)，N＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40＋M,41)＝eq\f(40M＋M,41)＝M，故MN＝1.三、解答題9．(2013·新課標全國卷Ⅰ)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位：h)．試驗的觀測結果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0．63．52．3服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3．21．42．7(1)分別計算兩組數據的平均數，從計算結果看，哪種藥的療效更好？(2)根據兩組數據繪制莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？[解析](1)設A藥觀測數據的平均數為eq\x\to(x)，B藥觀測數據的平均數為eq\x\to(y).由觀測結果可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)×＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝，eq\x\to(y)＝eq\f(1,20)×＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝.由以上計算結果可得eq\x\to(x)＞eq\x\to(y)，因此可看出A藥的療效更好．(2)由觀測結果可繪制如下莖葉圖：從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結果有eq\f(7,10)的葉集中在莖2,3上，而B藥療效的試驗結果有eq\f(7,10)的葉集中在莖0,1上，由此可看出A藥的療效更好．[名師點睛]從平均數上分析，甲、乙中平均數大的效果較好；從莖葉圖上分析，要看甲、乙的葉在哪些莖上分布的比率大．如果甲的葉在某莖上分布的比率大，且該莖所對應的數據較大，那么甲的效果就較好．10．某學校高一(1)班和高一(2)班各有49名學生，兩班在一次數學測驗中的成績統計如下：班級平均分眾數中位數標準差(1)班797087(2)班797079(1)請你對下面的一段話給予簡要分析：高一(1)班的小剛回家對媽媽說：“昨天的數學測驗，全班平均分為79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算上上游了！”(2)請你根據表中的數據，對這兩個班的數學測驗情況進行簡要分析，并提出建議．[分析](1)根據平均數、中位數、眾數所反映的情況來分析；(2)結合方差的意義來提出建議．[解析](1)由于(1)班49名學生數學測驗成績的中位數是87，則85分排在全班第25名之后，所以從位次上看，不能說85分是上游，成績應該屬于中游．但也不能以位次來判斷學習的好壞，小剛得了85分，說明他對這段的學習內容掌握得較好，從掌握學習的內容上講，也可以說屬于上游．(2)①班成績的中位數是87分，說明高于87分(含87)的人數占一半以上，而平均分為79分，標準差又很大，說明低分也多，兩極分化嚴重，建議加強對學習困難的學生的幫助．②班的中位數和平均數都是79分，標準差又小，說明學生之間差別較小，學習很差的學生少，但學習優異的也很少，建議采取措施提高優秀率．能力提升（1）一、選擇題1．一個樣本的容量為72，分成5組，已知第一、五組的頻數都為8，第二、四組的頻率都為eq\f(2,9)，則第三組的頻數為()A．16 B．20C．24 D．36[答案]C[解析]因為頻率＝eq\f(頻數,樣本容量)，所以第二、四組的頻數都為72×eq\f(2,9)＝16.所以第三組的頻數為72－2×8－2×16＝24.2．某工廠對一批產品進行了抽樣檢測，下圖是根據抽樣檢測后的產品凈重數據繪制的頻率分布直方圖，其中產品凈重的范圍是[96,106]，樣本數據分組為[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知樣本中產品凈重小于100g的個數是36，則樣本中凈重大于或等于98g并且小于104g的產品的個數是A．90 B．75C．60 D．45[答案]A[解析]由頻率分布直方圖可知，產品凈重小于100g的頻率是×2十×2＝，所以樣本中產品的個數為eq\f(36,＝120.產品凈重大于或等于104g的頻率為×2＝.所以產品凈重大于或等丁98g而小于104g的頻率為1－－＝.則凈重在此范圍內的產品個數為120×＝3．為了解電視對生活的影響，一個社會調查機構就平均每天看電視的時間對某地居民調查了10000人，并根據所得數據畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，為了分析該地居民平均每天看電視的時間與年齡、學歷、職業等方面的關系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人做進一步調查．則在[,3]h時間段內應抽出的人數是()A．25 B．30C．50 D．75[答案]A[解析]抽出的100人中平均每天看電視的時間在[,3](h)時間內的頻率是×＝，所以這10000人中平均每天看電視的時間在[,3](11)時間內的人數是10000×＝2500，抽樣比是eq\f(100,10000)＝eq\f(1,10)，則在[,3](h)時間內應抽出的人數是2500×eq\f(1,100)＝25.4．下圖是根據《山東統計年鑒2009》中的資料作成的1999年至2008年山東省城鎮居民百戶家庭人口數的莖葉圖，圖中左邊的數字從左到右分別表示城鎮居民百戶家庭人口數的百位數字和十位數字，右邊的數字表示城鎮居民百戶家庭人口數的個位數字，從圖中可以得到1999年至2008年山東省城鎮居民百戶家庭人口數的平均數為()A． B．C． D．[答案]B[解析]自1999年至2008年百戶家庭人口數分別為291,291,295,298,302,306,310,312,314,317，則平均數為eq\f(1,10)(291＋291＋295＋298＋302＋306＋310＋312＋314＋317)＝.二、填空題5．某校開展“愛我海西，愛我家鄉”攝影比賽，9位評委給參賽作品A打出的分數如莖葉圖所示，記分員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91，復核員在復核時，發現一個數字(莖葉圖中的x)無法看清．若記分員計算無誤，則數字x應該是________．[答案]1[解析]若x≤4，則由平均分為91知總分應為91×7＝637.故637＝89＋89＋92＋93＋92＋91＋90＋x，得x＝1；若x>4,637≠89＋89＋92＋93＋92＋91＋94＝640不合題意．6．圖1是某工廠2010年9月份10個車間產量統計條形圖，條形圖從左到右表示各車間的產量依次記為A1，A2，…，A10(如A3表示3號車間的產量為950件)．圖2是統計圖1中產量在一定范圍內車間個數的一個算法流程圖．那么運行該算法流程后輸出的結果是________．[答案]4[解析]通過算法流程圖可知，它的功能是統計產量超過950件的車間數，所以通過條形統計圖可知產量超過950件的車間數為4個，所以最后輸出的結果是4.三、解答題7．某市2010年4月1日～461,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45，(1)完成頻率分布表；(2)作出頻率分布直方圖；(3)根據國家標準，污染指數在0～50之間時，空氣質量為優；在51～100之間時，為良；在101～150之間時，為輕微污染；在151～200之間時，為輕度污染．請你依據所給數據和上述標準，對該市的空氣質量給出一個簡短評價．[解析](1)頻率分布表：分組頻數頻率[41,51)2eq\f(2,30)[51,61)1eq\f(1,30)[61,71)4eq\f(4,30)[71,81)6eq\f(6,30)[81,91)10eq\f(10,30)[91,101)5eq\f(5,30)[101,111)2eq\f(2,30)(2)頻率分布直方圖，如圖所示．(3)答對下述兩條中的一條即可：①該市一個月中空氣污染指數有2天處于優的水平，占當月天數的eq\f(1,15)，有26天處于良的水平，占當月天數的eq\f(13,15)，處于優或良的天數共有28天，占當月天數的eq\f(14,15).說明該市空氣質量基本良好．②輕微污染有2天，占當月天數的eq\f(1,15).污染指數在80以上的接近輕微污染的天數有15天，加上處于輕微污染的天數，共有17天，占當月天數的eq\f(17,30)，超過50%，說明該市空氣質量有待進一步改善．8．某電視臺為宣傳本省，隨機對本省內15～65歲的人群抽取了n人，回答問題“本省內著名旅游景點有哪些”統計結果如圖表所示.組號分組回答正確的人數回答正確的人數占本組的頻率第1組[15,25)a第2組[25,35)18x第3組[35,45)b第4組[45,55)9第5組[55,65]3y(1)分別求出a、b、x、y的值；(2)從第2、3、4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2、3、4組每組各抽取多少人？[解析](1)由頻率表中第4組數據可知，第4組總人數為eq\f(9,＝25，再結合頻率分布直方圖可知n＝eq\f(25,×10)＝100，∴a＝100××10×＝5，b＝100××10×＝27，x＝eq\f(18,20)＝，y＝eq\f(3,15)＝.(2)第2、3、4組回答正確的共有54人．∴利用分層抽樣在54人中抽取6人，每組分別抽取的人數為：第2組：eq\f(18,54)×6＝2(人)；第3組：eq\f(27,54)×6＝3(人)；第4組：eq\f(9,54)×6＝1(人)．能力提升（2）一、選擇題1．某校高一、高二年級各有7個班參加歌詠比賽，他們的得分的莖葉圖如圖所示，對這組數據分析正確的是()A．高一的中位數大，高二的平均數大B．高一的平均數大，高二的中位數大C．高一的平均數、中位數都大D．高二的平均數、中位數都大[答案]A[解析]由莖葉圖可以看出，高一的中位數為93，高二的中位數為89，所以高一的中位數大．由計算得，高一的平均數為91，高二的平均數為92eq\f(3,7)，所以高二的平均數大．2．(2013·重慶)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)已知甲組數據的中位數為15，乙組數據的平均數為，則x，y的值分別為()A．2,5 B．5,5C．5,8 D．8,8[答案]C[分析]觀察莖葉圖，由中位數的概念可