小四奧數(shù)數(shù)論方法與技巧深度解析(1)知識整理數(shù)論是研究整數(shù)性質的一個數(shù)學分支，它歷史悠久，而且有著強大的生命力。數(shù)論問題表達簡明，“很多數(shù)論問題可以從經驗中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠非易事〞。因而有人說：“用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數(shù)學中再也沒有比數(shù)論更好的課程了。任何學生，如能把當今任何一本數(shù)論教材中的習題做出，就應當受到鼓勵，并勸他將來從事數(shù)學方面的工作。〞所以在國內外各級各類的數(shù)學競賽中，數(shù)論問題總是占有相當大的比重。小學數(shù)學競賽中的數(shù)論問題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的結論有：1．帶余除法：假設a，b是兩個整數(shù)，b＞0，那么存在兩個整數(shù)q，r，使得a=bq+r〔0≤r＜b〕，且q，r是唯一的。特別地，如果r=0，那么a=bq。這時，a被b整除，記作b|a，也稱b是a的約數(shù)，a是b的倍數(shù)。2．假設a|c，b|c，且a，b互質，那么ab|c。3．唯一分解定理：每一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質數(shù)的連乘積，即其中p1＜p2＜…＜pk為質數(shù)，a1，a2，…，ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。〔1〕式稱為n的質因數(shù)分解或標準分解。4．約數(shù)個數(shù)定理：設n的標準分解式為〔1〕，那么它的正約數(shù)個數(shù)為：d〔n〕=〔a1+1〕〔a2+1〕…〔ak+1〕。5．整數(shù)集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式x＜y與x≤y-1是等價的。下面，我們將按解數(shù)論題的方法技巧來分類講解。一例一講一、利用整數(shù)的各種表示法對于某些研究整數(shù)本身的特性的問題，假設能合理地選擇整數(shù)的表示形式，那么常常有助于問題的解決。這些常用的形式有：1．十進制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；2．帶余形式：a=bq+r；4．2的乘方與奇數(shù)之積式：n=2mt，其中t為奇數(shù)。例1紅、黃、白和藍色卡片各1張，每張上寫有1個數(shù)字，小明將這4張卡片如下列圖放置，使它們構成1個四位數(shù)，并計算這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差。結果小明發(fā)現(xiàn)，無論白色卡片上是什么數(shù)字，計算結果都是1998。問：紅、黃、藍3張卡片上各是什么數(shù)字？例3從自然數(shù)1，2，3，…，1000中，最多可取出多少個數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和能被18整除？例4求自然數(shù)N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內，它共有10個約數(shù)。二、枚舉法枚舉法〔也稱為窮舉法〕是把討論的對象分成假設干種情況〔分類〕，然后對各種情況逐一討論，最終解決整個問題。運用枚舉法有時要進行恰當?shù)姆诸?，分類的原那么是不重不漏。正確的分類有助于暴露問題的本質，降低問題的難度。數(shù)論中最常用的分類方法有按模的余數(shù)分類，按奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等。例5求這樣的三位數(shù)，它除以11所得的余數(shù)等于它的三個數(shù)字的平方和。例6將自然數(shù)N接寫在任意一個自然數(shù)的右面〔例如，將2接寫在35的右面得352〕，如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱為魔術數(shù)。問：小于2000的自然數(shù)中有多少個魔術數(shù)？例7有3張撲克牌，牌面數(shù)字都在10以內。把這3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光3人。每個人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復幾次后，3人各自記錄的數(shù)字的和順次為13，15，23。問：這3張牌的數(shù)字分別是多少？三、歸納法當我們要解決一個問題的時候，可以先分析這個問題的幾種簡單的、特殊的情況，從中發(fā)現(xiàn)并歸納出一般規(guī)律或作出某種猜測，從而找到解決問題的途徑。這種從特殊到一般的思維方法稱為歸納法。例8將100以內的質數(shù)從小到大排成一個數(shù)字串，依次完成以下5項工作叫做一次操作.一做一練1．如果把任意n個連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個位數(shù)字只有兩種可能，那么n是多少?2．如果四個兩位質數(shù)a，b，c，d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?3．如果某整數(shù)同時具備如下3條性質：①這個數(shù)與1的差是質數(shù)；②這個數(shù)除以2所得的商也是質數(shù)；③這個數(shù)除以9所得的余數(shù)是5．那么我們稱這個整數(shù)為幸運數(shù)．求出所有的兩位幸運數(shù)．4．在555555的約數(shù)中，最大的三位數(shù)是多少?5．從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，如果剩下的局部不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形．按照上面的過程不斷地重復，最后剪得正方形的邊長是多少毫米?6．存在三個小于20的自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，且兩兩均不互質．請寫出所有可能的答案．7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成假設干組，要求每一組中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1．那么最少要分成多少組?課后練習舉一反三1、如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個2與1個奇數(shù)的積？2、寫出12個都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。3、有100張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開始按如下的順序進行操作：把最上面的第一張卡片舍去，把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面。再把原來的第三張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面。反復這樣做，直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第幾張？一例一講參考答案例1解：設紅、黃、白、藍色卡片上的數(shù)字分別是a3，a2，a1，a0，那么這個四位數(shù)可以寫成1000a3+100a2+10a1+a0，它的各位數(shù)字之和的10倍是10〔a3+a2+a1+a0〕=10a3+10a2+10a1+10a0，這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差是990a3+90a2-9a0=1998，110a3+10a2-a0=222。比擬上式等號兩邊個位、十位和百位，可得a0=8，a2=1，a3=2。所以紅色卡片上是2，黃色卡片上是1，藍色卡片上是8。例2解：依題意，得a+b+c＞14，說明：求解此題所用的根本知識是，正整數(shù)的十進制表示法和最簡單的不定方程。例3解：設a，b，c，d是所取出的數(shù)中的任意4個數(shù)，那么a+b+c=18m，a+b+d=18n，其中m，n是自然數(shù)。于是c-d=18〔m-n〕。上式說明所取出的數(shù)中任意2個數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同。設這個余數(shù)為r，那么a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，其中a1，b1，c1是整數(shù)。于是a+b+c=18〔a1+b1+c1〕+3r。因為18|〔a+b+c〕，所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因為1000=55×18+10，所以，從1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56個數(shù)，它們中的任意3個數(shù)之和能被18整除。例4解：把數(shù)N寫成質因數(shù)乘積的形式由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指數(shù)ak為自然數(shù)或零。依題意，有〔a1+1〕〔a2+1〕…〔an+1〕=10。由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2個不同的質因數(shù)5和7，因為a4+1≥3＞2，故由〔a3+1〕〔a4+1〕=10知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=52-1×75-1=5×74=12005。例5分析與解：三位數(shù)只有900個，可用枚舉法解決，枚舉時可先估計有關量的范圍，以縮小討論范圍，減少計算量。設這個三位數(shù)的百位、十位、個位的數(shù)字分別為x，y，z。由于任何數(shù)除以11所得余數(shù)都不大于10，所以x2+y2+z2≤10，從而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中：100，101，102，103，110，111，112，120，121，122，130，200，201，202，211，212，220，221，300，301，310。不難驗證只有100，101兩個數(shù)符合要求。例6對N為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別討論。N|100，所以N=10，20，25，50；N|1000，所以N=100，125，200，250，500；〔4〕當N為四位數(shù)時，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合條件的有1000，1250。綜上所述，魔術數(shù)的個數(shù)為14個。說明：〔1〕我們可以證明：k位魔術數(shù)一定是10k的約數(shù)，反之亦然。〔2〕這里將問題分成幾種情況去討論，對每一種情況都增加了一個前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。例7解：13+15+23=51，51=3×17。因為17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了3次，3張撲克牌數(shù)字之和是17，可能的情況有下面15種：①1，6，10②1，7，9③1，8，8④2，5，10⑤2，6，9⑥2，7，8⑦3，4，10⑧3，5，9⑨3，6，8⑩3，7，7(11)4，4，9(12)4，5，8(13)4，6，7(14)5，5，7(15)5，6，6只有第⑧種情況可以滿足題目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。這3張牌的數(shù)字分別是3，5和9。例8解：第1次操作得數(shù)字串；第2次操作得數(shù)字串11133173；第3次操作得數(shù)字串111731；第4次操作得數(shù)字串1173；第5次操作得數(shù)字串1731；第6次操作得數(shù)字串7311；第7次操作得數(shù)字串3117；第8次操作得數(shù)字串1173。不難看出，后面以4次為周期循環(huán)，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得數(shù)字串與第7次相同，是3117。一做一練參考答案1、我們知道如果有5個連續(xù)的自然數(shù)，因為其內必有2的倍數(shù)，也有5的倍數(shù)，那么它們乘積的個位數(shù)字只能是0。所以n小于5．:當n為4時，如果其內含有5的倍數(shù)(個位數(shù)字為O或5)，顯然其內含有2的倍數(shù)，那么它們乘積的個位數(shù)字為0；如果不含有5的倍數(shù)，那么這4個連續(xù)的個位數(shù)字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它們的積的個位數(shù)字都是4；所以，當n為4時，任意4個連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個位數(shù)字只有兩科可能．：當n為3時，有1×2×3的個位數(shù)字為6，2×3×4的個位數(shù)字為4，3×4×5的個位數(shù)字為0，……，不滿足．：當n為2時，有1×2，2×3，3×4，4×5的個位數(shù)字分別為2，6，4，0，顯然不滿足．至于n取1顯然不滿足了．所以滿足條件的n是4．2、兩位的質數(shù)有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．可得出，最小為11+19=13+17=30，最大為97+71=89+79=168．所以滿足條件的a+b最小可能值為30，最大可能值為1683、條件①也就是這個數(shù)與1的差是2或奇數(shù)，這個數(shù)只能是3或者偶數(shù)，再根據(jù)條件③，除以9余5，在兩位的偶數(shù)中只有14，32，50，68，86這5個數(shù)滿足條件．其中86與50不符合①，32與68不符合②，三個條件都符合的只有14．所以兩位幸運數(shù)只有14．4、555555=5×111×1001=3×5×7×11×13×37顯然其最大的三位數(shù)約數(shù)為777．5、從長2002毫米、寬847毫米的長方形紙板上首先可剪下邊長為847毫米的正方形，這樣的正方形的個數(shù)恰好是2002除以847所得的商．而余數(shù)恰好是剩下的長方形的寬，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77．231÷77=3．不難得知，最后剪去的正方形邊長為77毫米．6、設這三個數(shù)為a、b、c，且a＜b＜c，因為兩兩不互質，所以它們均是合數(shù)．小于20的合數(shù)有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1種因數(shù)的合數(shù)不滿足，所以只剩下6，10，12，14，15，18這6個數(shù)，但是14=2×7，其中質因數(shù)7只有14