基于lomb-scarg功率譜的非均勻含噪時(shí)域序列的研究

圖1中的曲線y1對(duì)應(yīng)于0.25的信噪比。當(dāng)p.f時(shí)，表示功率譜的大小和半波寬a和峰偏移度。曲線y2、y3、y4分別對(duì)應(yīng)不同信噪比序列的傅立葉功率譜曲線。大采樣間隔是一種典型的時(shí)間分布不均勻性情形,對(duì)應(yīng)于實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)缺失現(xiàn)象。模擬產(chǎn)生4個(gè)具有不同數(shù)據(jù)缺失比的非均勻含噪系列,各序列的長(zhǎng)度T、統(tǒng)計(jì)量N和噪聲強(qiáng)度都相同,然后在模擬序列中加入一周期信號(hào)。因此這4個(gè)序列具有相同的信噪比。最后對(duì)這4個(gè)序列進(jìn)行Lomb-Scargle傅立葉變換,其功率譜結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖2中4條曲線分別對(duì)應(yīng)序列中具有不同大采樣間隔序列的功率譜,曲線y1、y2、y3、y4分別是數(shù)據(jù)缺失比為:0.025,0.125,0.25,0.5的4個(gè)序列的功率譜曲線。實(shí)際實(shí)驗(yàn)序列的長(zhǎng)度T都是有限的,下面通過(guò)模擬方法來(lái)研究序列的長(zhǎng)度對(duì)傅立葉功率譜的影響。在確定模擬序列的統(tǒng)計(jì)量N、信噪比ξ的情況下,通過(guò)改變序列的長(zhǎng)度T,來(lái)研究信號(hào)譜峰的不確定度Δf、半波寬度a的變化,各模擬序列的參數(shù)及功率譜如圖3所示。圖3中y1對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)度T=40序列的功率譜曲線,其功率譜大小P,半波寬度a及譜峰偏移度Δf等參數(shù)如圖所示。y2、y3、y4分別對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)度為:80,20,400序列的傅立葉變換功率譜。3虛假譜峰的信號(hào)分析從上述三種模擬分析中可以清楚的看到,序列的信噪比ξ、時(shí)間分布的非均勻性和有效長(zhǎng)度都是影響其傅立葉變換功率譜結(jié)構(gòu)的重要因素。在確定序列其他參數(shù)不變,序列的信噪比ξ對(duì)譜峰的大小P,不確定度Δf都有重要影響。從圖1中的模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)信噪比越大,功率譜越小(對(duì)應(yīng)的虛警概率越大,因此信號(hào)的顯著性越高),譜峰的不確定度越大,但是信噪比對(duì)譜峰的半波寬度沒(méi)有影響。序列時(shí)間分布的非均勻性可以在功率譜中產(chǎn)生虛假譜峰,如圖2所示。序列的數(shù)據(jù)缺失比愈大,虛假譜峰愈顯著。如圖2d中,序列數(shù)據(jù)缺失比為0.5,對(duì)應(yīng)的次極大虛假譜峰的顯著性水平較高。序列數(shù)據(jù)缺失比越大,虛假譜峰結(jié)構(gòu)也越復(fù)雜,因此真假信號(hào)的鑒別也越困難。但是虛假譜峰也有明顯特點(diǎn):虛假譜峰總是成對(duì)出現(xiàn),并且關(guān)于主峰對(duì)稱,另外離主頻信號(hào)越遠(yuǎn),次級(jí)虛假譜峰也越小。圖3中的模擬結(jié)果顯示,序列的長(zhǎng)度是影響信號(hào)譜峰半波寬度的主要因素。序列越長(zhǎng),半波寬度越小即頻率分辨率越高。在確定其他參數(shù)不變時(shí),序列長(zhǎng)度與半波寬度成反比,譜峰的不確定度也隨序列長(zhǎng)度的增大而減小,而序列長(zhǎng)度對(duì)功率譜大小沒(méi)有影響。因此在分離頻率相近的多目標(biāo)信號(hào)時(shí),可以通過(guò)增加序列的有效長(zhǎng)度,提高頻率分辨率,從而準(zhǔn)確地分離多目標(biāo)信號(hào)。4時(shí)間分布的非均勻性引起的虛假譜峰通過(guò)上述模擬分析,重點(diǎn)討論了時(shí)間序列的信噪比、時(shí)間分布和有效長(zhǎng)度等參數(shù)對(duì)其Lomb-Scargle傅立葉變換功率譜的影響,得出如下結(jié)論:(1)序列信噪比是影響其功率譜大小的主要因素,信噪比越大,對(duì)應(yīng)的功率譜越小,其虛警概率越大,因此信號(hào)顯著性也越低。Lomb-Scargle算法的探測(cè)效率較高,可以準(zhǔn)確地探測(cè)到信噪比很小的弱周期信號(hào),另外序列信噪比對(duì)譜峰的不確定度也有影響。(2)時(shí)間分布的不均勻性是影響功率譜結(jié)構(gòu)的重要因素,大采樣間隔越大,虛假譜峰結(jié)構(gòu)越復(fù)雜,顯著性也越高。(3)序列的有效長(zhǎng)度是影響主頻信號(hào)半波寬度的主要因素,即序列長(zhǎng)度越大,主峰半波寬度越小,對(duì)應(yīng)頻率分辨率越高。(4)Lomb-Scargle算法可以從信噪比較低的時(shí)間序列中準(zhǔn)確地提取出弱周期信號(hào),探測(cè)效率較高;功率譜頻率的分辨率較高,時(shí)間分布的非均勻性引起的虛假譜峰結(jié)構(gòu)特點(diǎn)鮮明。因此該方法是提取非均勻序列中弱周期信號(hào)的有效方法。受篇幅影響本文在討論時(shí)間分布的非均勻性在功率譜中引起虛假譜峰的過(guò)程中,只討論了大采樣間隔這一種非均勻情形,沒(méi)有討論時(shí)間分布的隨機(jī)性這一情形,這將是后續(xù)研究工作的重點(diǎn)。時(shí)域序列中可能存在的周期行為分析是生物醫(yī)學(xué)、大氣科學(xué)、天文學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域的研究課題之一,描述這些周期行為的最常用方法就是傅立葉分析法。對(duì)于連續(xù)均勻分布的時(shí)域序列,通過(guò)普通的傅立葉分析可以獲得很好的頻譜圖。但是,由于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)本身的原因,實(shí)際的觀測(cè)數(shù)據(jù)在時(shí)域上都是不均勻的,并且含有大量的噪聲,因此在進(jìn)行傅立葉變換時(shí),時(shí)域序列的非均勻性和有限長(zhǎng)度等因素會(huì)在傅立葉變換的功率譜中產(chǎn)生虛假譜峰,此外由于噪聲影響,周期信號(hào)的振幅和相位也可能存在較大的誤差。為了解決普通傅立葉變換在處理含噪非均勻時(shí)域序列時(shí)存在的虛假譜峰、探測(cè)效率較低等問(wèn)題,人們做了一些相關(guān)研究。1999年余建航,張?jiān)牭热瞬捎脮r(shí)域平均處理的方法從非均勻的時(shí)域序列中提取出弱周期信號(hào),研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)周期測(cè)量誤差對(duì)簡(jiǎn)諧分量的幅值和相位有較大影響。因?yàn)閷?duì)序列的非均勻性進(jìn)行均勻處理嚴(yán)重影響了序列的統(tǒng)計(jì)特性,不能很好表現(xiàn)序列中的高頻信號(hào)。2001年,賈煥玉等人用周期折疊法從非均勻時(shí)域序列中尋找周期信號(hào),并估計(jì)其相位和振幅,但是該方法只能給出序列中所存在周期信號(hào)的周期、振幅、相位,不能對(duì)周期信號(hào)的顯著性進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)。本文在模擬仿真的基礎(chǔ)上,對(duì)有限長(zhǎng)的含噪非均勻時(shí)域序列的Lomb-Scargle功率譜結(jié)構(gòu)作了系統(tǒng)的分析;深入地研究了時(shí)間分布的非均勻性、噪聲強(qiáng)度和序列的有效長(zhǎng)度對(duì)傅立葉變換功率譜的影響;然后對(duì)功率譜中信號(hào)頻率不確定度、虛假譜峰和半波寬度進(jìn)行重點(diǎn)討論。1功率譜pxf的基本概念對(duì)于連續(xù)均勻分布的時(shí)域序列,通過(guò)普通的傅立葉分析可以獲得很好的頻譜。但是實(shí)際的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)很難做到時(shí)域上的均勻,時(shí)域序列的不均勻分布在傅立葉變換時(shí)會(huì)產(chǎn)生虛假信號(hào)。由Lomb發(fā)展,經(jīng)過(guò)Scargle進(jìn)一步完善的Lomb-Scargle傅立葉變換法不僅能有效地從時(shí)域序列中提取出弱周期信號(hào),還可以在一定程度上減弱時(shí)域序列的不均勻性產(chǎn)生的虛假信號(hào)。此外,該方法還能給出各個(gè)頻率信號(hào)存在的虛警概率和顯著性。對(duì)于時(shí)域序列X(tj),j=1,2,3…,N,其功率譜可定義為關(guān)于頻率f的函數(shù):這里Px(f)是頻率為f的周期信號(hào)的功率;X(tj)是離散實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù);tj是離散實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的時(shí)間,N為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)量,τ為時(shí)間平移不變量。功率譜Px(f)具有其他常用離散傅立葉變換所不具備的有用特性。首先,常量τ使得時(shí)間原點(diǎn)平移一個(gè)常數(shù)時(shí),功率Px(f)保持不變。其次,該傅立葉分析法等同于正弦曲線的最小二乘擬合法;另外歸一化后的功率譜PN(f)服從e-z的指數(shù)概率分布,定義:這里σ2是樣本數(shù)據(jù)的總方差。對(duì)于任意頻率f,其歸一化功率PN(f)不小于z的概率為:假設(shè)z0是功率譜中M個(gè)獨(dú)立頻率中的一個(gè)最高峰,對(duì)應(yīng)的頻率為f0,任意獨(dú)立頻率信號(hào)功率小于z0的概率為1-e-z0,而每一個(gè)獨(dú)立頻率信號(hào)功率小于z0的頻率的概率為[1-e-z0]M。因此,如果e-z0遠(yuǎn)小于1,功率不小于z0的概率即虛警概率可近似為:假設(shè)序列中存在頻率為f0的周期信號(hào),噪聲和序列的有限長(zhǎng)度會(huì)導(dǎo)致功率譜圖中的譜峰偏離f0,在理論上偏離程度可以用如下公式近似表示:這里A為信號(hào)的幅度,σN是序列的均方差,T為數(shù)據(jù)總長(zhǎng)度,N為序列統(tǒng)計(jì)量。另外,對(duì)于多信號(hào)情形,如果彼此相隔很近,多頻率信號(hào)的相互調(diào)制作用可能使信號(hào)頻率發(fā)生偏移(Kovacs1981);數(shù)據(jù)跨度的線性趨勢(shì)也會(huì)導(dǎo)致給定頻率信號(hào)的另一種偏移。2序列信噪比對(duì)光譜峰的影響對(duì)于非均勻的時(shí)域序列,采樣時(shí)間的分布對(duì)該序列的頻譜結(jié)構(gòu)有很大的影響。針對(duì)天文學(xué)、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn),本節(jié)以模擬的方法對(duì)背景噪聲、時(shí)間分布的非均勻性和序列的有效長(zhǎng)度對(duì)信號(hào)譜峰的顯著性、不確定度、虛假譜峰和半波寬度的