大題考法精研(一)——統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析12目錄3題型一用樣本估計(jì)總體題型二線(xiàn)性回歸分析

題型三非線(xiàn)性回歸分析4題型四獨(dú)立性檢驗(yàn)[例1]

(2023·全國(guó)乙卷)某廠(chǎng)為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1,2，…，10)，試驗(yàn)結(jié)果如下：題型一用樣本估計(jì)總體試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高[解]

(1)由題意，求出zi的值如表所示，試驗(yàn)序號(hào)i12345678910zi968－8151119182012[思維建模]利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問(wèn)題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來(lái)描述總體的數(shù)字特征．[針對(duì)訓(xùn)練]1．(2023·泉州模擬)隨著老年人消費(fèi)需求從“生存型”向“發(fā)展型”轉(zhuǎn)變．消費(fèi)層次不斷提升，“銀發(fā)經(jīng)濟(jì)”成為社會(huì)熱門(mén)話(huà)題之一，被各企業(yè)持續(xù)關(guān)注．某企業(yè)為了解該地老年人消費(fèi)能力情況，對(duì)該地年齡在[60,80)的老年人的年收入按老年人的年收入按年齡[60,70)，[70,80)分成兩組進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣調(diào)查，已知抽取了年齡在[60,70)的老年人500人．年齡在[70,80)的老年人300人．現(xiàn)作出年齡在[60,70)的老年人年收入的頻率分布直方圖(如圖所示)．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該地年齡在[60,70)的老年人年收入的平均數(shù)及第95百分位數(shù)；(2)已知年齡在[60,70)的老年人年收入的方差為3，年齡在[70,80)的老年人年收入的平均數(shù)和方差分別為3.75和1.4，試估計(jì)年齡在[60,80)的老年人年收入的方差．解：(1)頻率分布直方圖中，該地年齡在[60,70)的老年人年收入的平均數(shù)約為0.04×2＋0.08×3＋0.18×4＋0.26×5＋0.20×6＋0.15×7＋0.05×8＋0.04×9＝5.35.由頻率分布直方圖，年收入在8.5萬(wàn)元以下的老年人所占比例為1－0.04×1＝0.96，年收入在7.5萬(wàn)元以下的老年人所占比例為1－(0.05×1＋0.04×1)＝0.91，因此，第[例2]某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：m3)，得到如下數(shù)據(jù)：

題型二線(xiàn)性回歸分析樣本號(hào)i12345678910平均值根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.05abc0.070.06材積量yi0.250.410.220.540.530.340.350.390.430.440.39(1)求b的值；(2)若選取前6個(gè)樣本號(hào)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，判斷這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量是否具有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)性，并求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(若0.25≤|r|≤0.75，則認(rèn)為兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性一般；若|r|>0.75，則認(rèn)為兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性很強(qiáng))；(3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程估計(jì)a，c的值(精確到0.01)．[解]

(1)由a，b，c為等差數(shù)列，得2b＝a＋c，由表格得該樹(shù)木根部橫截面積的平均值為0.06，可得a＋b＋c＝0.06×10－(0.04＋0.06＋0.04＋0.08＋0.08＋0.05＋0.07)＝0.18，故3b＝0.18，解得b＝0.06.(3)由表格數(shù)據(jù)可得，根部橫截面積為a，c時(shí)對(duì)應(yīng)的材積量分別為0.35,0.43，代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程分別得0.35＝6.75a－0.0095,0.43＝6.75c－0.0095，解得a≈0.05，c≈0.07.[思維建模]求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的解題模型第一步：確認(rèn)數(shù)據(jù)是否全部知道，如果全部已知可以直接利用公式求解，如果數(shù)據(jù)未全部已知，要特別注意題目所給的參考公式和數(shù)據(jù)，[針對(duì)訓(xùn)練]2．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收入的總和，單位：億元)與某類(lèi)商品銷(xiāo)售額(單位：億元)的10年數(shù)據(jù)如下表所示：第n年12345678910居民年收入x32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0商品銷(xiāo)售額y25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0依據(jù)表格數(shù)據(jù)，得到下面一些統(tǒng)計(jì)量的值.(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95.以此推斷，y與x的線(xiàn)性相關(guān)程度是否很強(qiáng)？(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的值與樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；

解：(1)根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95，可以推斷線(xiàn)性相關(guān)程度很強(qiáng)．(3)第一個(gè)樣本點(diǎn)(32.2,25.0)的殘差為25.0－(1.44×32.2－15.56)＝－5.808≈－5.81，[例3]

(2023·河北統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)x變化的繁殖個(gè)數(shù)y，設(shè)z＝lny，收集數(shù)據(jù)如下：

題型三非線(xiàn)性回歸分析天數(shù)x123456繁殖個(gè)數(shù)y612254995190表(Ⅰ)表(Ⅱ)(2)根據(jù)(1)中的判斷結(jié)果和表(Ⅱ)中的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果保留2位小數(shù))．[解]

(1)由題意作出散點(diǎn)圖如圖所示．

由散點(diǎn)圖可知，樣本點(diǎn)是沿指數(shù)型曲線(xiàn)分布，不是分布在某直線(xiàn)附近，[思維建模]有些非線(xiàn)性回歸分析問(wèn)題用適當(dāng)?shù)淖兞窟M(jìn)行變換，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性回歸分析問(wèn)題，使之得到解決．其一般步驟：[針對(duì)訓(xùn)練](1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，判斷y＝ax2＋b與y＝ecx＋d哪個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售額y關(guān)于種植面積x的回歸方程類(lèi)型(樣本相關(guān)系數(shù)精確到0.01)；(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及相關(guān)數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；(3)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)計(jì)劃年銷(xiāo)售額不低于10億元，請(qǐng)預(yù)測(cè)種植面積至少為多少畝．解：(1)若用y＝ax2＋b作為年銷(xiāo)售額y關(guān)于種植面積x的回歸方程類(lèi)型，則設(shè)v＝x2，則y＝av＋b.設(shè)v與y的樣本相關(guān)系數(shù)為r1，若用y＝ecx＋d作為年銷(xiāo)售額y關(guān)于種植面積x的回歸方程類(lèi)型，則lny＝cx＋d.設(shè)w＝lny，則w＝cx＋d.設(shè)x與w的樣本相關(guān)系數(shù)為r2，因?yàn)閞1>r2，所以y＝ax2＋b適宜作為年銷(xiāo)售額y關(guān)于種植面積x的回歸方程類(lèi)型．(3)由題意可知1.84x2＋8.41≥100.整理，得x2≥49.78，解得x≥7.06或x≤－7.06(舍去)，故種植面積至少為706畝．[例4]近期，孩子刷短視頻上癮成了家長(zhǎng)們頭疼的新問(wèn)題．某市多所中學(xué)針對(duì)此問(wèn)題展開(kāi)的一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，近九成學(xué)生有使用短視頻平臺(tái)的習(xí)慣，近一半家長(zhǎng)表示孩子或多或少存在沉迷短視頻的現(xiàn)象，超半數(shù)家長(zhǎng)認(rèn)為短視頻成癮對(duì)青少年成長(zhǎng)存在嚴(yán)重影響．某校為調(diào)查學(xué)生成績(jī)下降與“短視頻成癮”之間是否有關(guān)隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生的開(kāi)學(xué)考試成績(jī)，其中“短視頻成癮”的學(xué)生中成績(jī)未下降的有35名學(xué)生(將總排名下降5%視為成績(jī)下降，將刷短視頻一天超過(guò)兩小時(shí)規(guī)定為“短視頻成癮”)．

題型四獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)若樣本中“短視頻成癮”且成績(jī)未下降的女生有15名，并在被認(rèn)為“短視頻成癮”且成績(jī)未下降的對(duì)象中按性別采用分層隨機(jī)抽樣抽取7人，再?gòu)闹须S機(jī)抽取2人，求抽到的兩人均為女生的概率；(2)填寫(xiě)下面的2×2列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為成績(jī)下降與“短視頻成癮”有關(guān)？項(xiàng)目“短視頻成癮”沒(méi)有“短視頻成癮”合計(jì)學(xué)習(xí)成績(jī)下降

100學(xué)習(xí)成績(jī)未下降

合計(jì)96

α0.150.100.050.0250.0100.001xα2.0722.7063.8415.0246.63510.828(2)零假設(shè)為H0：成績(jī)下降與“短視頻成癮”無(wú)關(guān)．“短視頻成癮”的學(xué)生中成績(jī)未下降的有35名學(xué)生，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到2×2列聯(lián)表：項(xiàng)目“短視頻成癮”沒(méi)有“短視頻成癮”合計(jì)學(xué)習(xí)成績(jī)下降6139100學(xué)習(xí)成績(jī)未下降3565100合計(jì)96104200根據(jù)小概率值α＝0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為成績(jī)下降與“短視頻成癮”有關(guān)．[思維建模]獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的解題模型(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，再利用小概率值α以及對(duì)應(yīng)的臨界值來(lái)判斷有多大的把握認(rèn)為兩個(gè)事件有關(guān)．[針對(duì)訓(xùn)練]4．(2023·石家莊模擬)某興趣小組為研究一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類(lèi))的關(guān)系，設(shè)A＝“患有地方性疾病”，B＝“衛(wèi)生習(xí)慣良好”．據(jù)臨床統(tǒng)計(jì)顯示，(1)求P(A)和P(A|B)；(2)為進(jìn)一步驗(yàn)證(1)中的判斷，該興趣小組用分層隨機(jī)抽樣的方法在該地抽取了一個(gè)容量為m(m∈N*)的樣本，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算得χ2＝2.640.為提高檢驗(yàn)結(jié)論的可靠性，現(xiàn)將樣本容量調(diào)整為原來(lái)的k