第五章傅里葉變換對自然界的最深刻的研究是數學最富饒的源泉。----傅里葉2023最新整理收集do

something2學習要求與內容提要目的與要求：了解在任意有限區間上函數的傅里葉級數展開法；掌握周期函數的傅里葉展開、定義和性質；δ函數的定義與性質。重點：難點：傅里葉變換、δ函數。δ函數的概念。

1807年12月21日，Fourier向法國科學院宣布：任意的周期函數都能展開成正弦及余弦的無窮級數。當時整個科學院，包括拉格朗日等，都認為他的結果是荒謬的。傅立葉的兩個最主要的貢獻:“周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號的加權和”——傅里葉的第一個主要論點“非周期信號都可用正弦信號的加權積分表示”

——傅里葉的第二個主要論點5.1傅里葉級數4

1.波的疊加

在普通物理學中,我們已經知道最簡單的波是諧波(正弦波),它是形如Asin(ωt+φ)的波,其中A是振幅,ω是角頻率,φ

是初相位.其他的波如矩形波,鋸齒形波等往往都可以用一系列諧波的疊加表示出來.（一）周期函數的傅里葉展開非正弦周期函數:矩形波可以用不同頻率正弦波疊加構成！56由上例可以推斷：一個周期為2l的函數f(x+2l)=f(x)

可以看作是許多不同頻率的簡諧函數的疊加.7[-l,l]上的積分等于

0.①其中任意兩個不同的函數之積在

2.

三角函數族及其正交性引入三角函數族上的積分不等于0.②兩個相同的函數的乘積在[-l,l]8證:同理可證:①任意兩個不同的函數之積在[-l,l]上的積分等于0.9同理可證:10②兩個相同的函數的乘積在[-l,l]上的積分不等于0.證:11如果周期為2l

的函數

f(x)滿足收斂定理條件,則它可以展開式為下列級數(在

f(x)的連續點處)

3.周期函數的傅里葉展開①式①稱為f(x)的傅里葉級數

.式中a0,ak,bk稱為函數f(x)的傅里葉系數;問題:

a0,ak,bk

等于什么?我們利用三角函數族的正交性來求解12對①在[-l,l]逐項積分,得①乘

在[-l,l]逐項積分并運用正交性,得由三角函數的正交性0由三角函數的正交性得0n=k由三角函數的正交性013類似地,用

sinkπξ/l

乘①式兩邊,再逐項積分可得歸納:14(1)處處連續，或在每個周期內只有有限個第一類間斷點；(2)在每個周期內只有有限個極值點，則傅里葉級數收斂，且在收斂點有：在間斷點有：狄里希利定理

:

若函數f(x)滿足條件：

4.傅里葉級數的收斂性定理注:第一類間斷點如果f(x)在間斷點x0處左右極限存在,則稱點x0為f(x)的第一類間斷點.15其中(在f(x)的連續點處)

如果

f(x)為奇函數,

則a0和ak均為零，即有傅里葉正弦級數（二）奇函數和偶函數的傅里葉展開說明：16如果

f(x)

為偶函數,則bk為零，即有傅里葉余弦級數(在f(x)的連續點處)其中注:無論哪種情況,在f(x)的間斷點

x處,傅里葉級數都收斂于說明：17當函數定義在任意有限區間上時,變換法令即在上展成傅里葉級數周期延拓將在回代入展開式上的傅里葉級數其傅里葉展開方法:（三）有限區間中的函數的傅里葉展開*(自學)18延拓法在上展成正弦或余弦級數奇或偶式周期延拓19利用歐拉公式已知周期為

2l的周期函數f(x)可展開為級數：（四）復數形式的傅里葉展開20注意到同理21傅里葉級數的復數形式:因此得例2：矩形波解：coskπk=2n:coskπ=1k=2n+1:coskπ=-1231.周期為2l的函數的傅里葉級數展開公式(x

間斷點)其中當f(x)為奇(偶)函數時,為正弦(余弦)級數.2.在任意有限區間上函數的傅里葉展開法變換延拓3.傅里葉級數的復數形式利用歐拉公式導出內容小結2412§5.1作業25周期函數的性質是f(x+2l)=f(x),x每增大2l，函數值就重復一次，非周期函數沒有這個性質，但可以認為它是周期2l∞的周期函數。所以，我們也可以把非周期函數展開為所謂“傅里葉積分”。5.2傅里葉積分與傅里葉變換考察復數形式的傅里葉級數:（一）傅里葉變換2626非周期函數的復數形式的形式“傅里葉級數”:引入新參量：上式改寫為：27令有若有限，則非周期函數可以展開為稱f(x)的傅里葉變換稱F(ω)的逆傅里葉變換像函數原函數注意到：28傅里葉積分定理：若函數

f(x)

在區間(-

，+)上滿足條件:(1)在任意有限區間滿足狄里希利條件；

(2)在區間(-

，+)上絕對可積（即收斂），則f(x)

可表為傅里葉積分，且傅里葉積分值=f(x)的傅里葉變換式29奇函數與偶函數的傅里葉變換傅里葉變換對30

當f(x)是偶函數

當f(x)是奇函數

進一步注意到

當f(x)是偶函數

同理,當f(x)是奇函數

31例1定義:矩形函數為將矩形脈沖展開為傅里葉積分。解:矩形脈沖函數的周期為[-T,T],如右圖.32(1)導數定理（二）傅里葉變換的基本性質根據傅里葉積分定理，33(2)積分定理由變上限積分定理：由導數定理利用導數定理證明，記(3)相似性定理空域中的壓縮（擴展）等于頻域中的擴展（壓縮）

f(x/2)壓縮擴展35(4)延遲定理(5)位移定理36例2求：的頻譜？解：由位移定理37若(6)卷積定理和則卷積定義38卷積卷積定理反映了兩個傅立葉變換之間的關系，它構成了空間域和頻率域之間的基本關系。卷積對深入理解在傅立葉變換基礎上的圖像處理技術是十分重要的。其中

是積分偽變量。

兩個函數f(x)和g(x)的卷積記作f(x)*g(x)，由下式所定義：39f()

011g(-)

0-11/2g(x-)

0-11/2xg()

011/2f(x)xg(x)x011011/2例：求如圖所示的f(x)*g(x)，即卷積積分的圖解計算40f()

g(x-)

0-11/211x0

x1卷積為：x/2

0-11/2x-1f()

g(x-)1x11

x2卷積為：1-x/2x0-11/211f(x)*

g(x)

x/20

x1f(x)*g(x)=1-x/21

x20其它（7）帕塞瓦爾等式——能量守恒42(三)．傅里葉變換的物理意義求和振幅譜

相位譜43(四)高維傅里葉變換二維連續函數f(x,y)的傅里葉變換定義如下：設f(x,y)是兩個獨立變量x,y的函數，且在±∞上絕對可積，則定義積分

為二維連續函數f(x,y)的傅里葉變換，并定義為F(k1,k2)的逆變換。f(x,y)和F(k1,k2)稱為傅里葉變換對。（1）（2）1二維傅里葉變換44例2:求函數

的傅里葉變換(矩孔費瑯和夫衍射)。

解：由傅里葉變換關系

有45其幅度譜為（a）信號的頻譜圖（b）圖（a）的灰度圖 （幅度譜）圖信號的頻譜圖k1F(k1,k2)k2462三維Fourier變換4748其中：49§5.21,5本講作業501.源與場質點→引力場，電荷→電場，熱源→溫度場…2.點源：質點﹑點電荷﹑點熱源﹑點光源

點電荷激發的場：點源q0位于

0處，場點位于r

處的電場的數學表示：

3.連續分布的源所產生的場：

無數個點源產生的場的疊加。

如何描述點源?5.3δ－函數(特殊函數)51（一）δ函數

在物理學中對于在某種坐標系下高度集中的量，如點電荷、點光源、質點以及又窄又強的電脈沖等，常用一個特殊的函數——δ函數來描述。

設質量m均勻分布在長為l的線段[-l/2,l/2]上（如圖）,

進一步設線的單位長度質量即線質量密度為

l

：下面我們從質點的描述來引入δ函數52線段總質量：時，線段收縮為質點(x=0)。設線段在收縮為當線段在質點的極限下總質量不變，即，即線段收縮為質點(x=0)。線質量密度為當線段在在總質量不變的條件下：5353引入廣義函數：

－函數一般地，我們有定義1：且量綱為：1/[x]

δ(x)的形象描述見（圖示）54（二）性質(1)偶函數定義2

函數

（篩選性）如果對于任意一個在區間

上連續的函數

恒有

為則稱滿足上式中的函數

函數，

利用積分形式證55(2)階躍函數或亥維賽單位函數(δ函數的原函數)(3)復合函數(尺度變換)若

的實根

全部是單根，則