2021-2022高考數學模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設“為兩個平面，則a〃/?的充要條件是

A.a內有無數條直線與/?平行

B.a內有兩條相交直線與//平行

C.a,//平行于同一條直線

D.a,“垂直于同一平面

2.已知平面向量￡,b，z滿足：￡%=0,忖=1,小一鼻=|"3=5,則卜4的最小值為()

A.5B.6C.7D.8

3.已知集合A={x|/og2X＜l}，集合B={y|y=,27卜則A[J8=()

A.(-oo,2)B.(-oo,2]C.(0,2)D.[0,4-co)

4.以下三個命題：①在勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每10分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣

的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；③對分類變量x與丫的隨機

變量卜的觀測值攵來說，女越小，判斷“x與y有關系”的把握越大；其中真命題的個數為()

A.3B.2C.1D.0

5.已知雙曲線C:4-與=1(。＞0力＞0)的一條漸近線的傾斜角為。，且cos6=好，則該雙曲線的離心率為()

a-b-5

A.J5B.且C.2D.4

2

6.設數列{《,}(〃eN*)的各項均為正數，前”項和為S“，log2a?+l=l+log2??,且4=4,則§6=()

A.128B.65C.64D.63

TTTT

7.函數/■(%)=4411(。*+2)(。＞0)的圖象與.1軸交點的橫坐標構成一個公差為：的等差數列，要得到函數

43

g(x)=Acostyx的圖象，只需將/(x)的圖象()

A.向左平移三個單位B.向右平移；個單位

124

7T

C.向左平移四個單位D.向右平移一個單位

44

8.在直角坐標系中，已知4（1,0）,B（40）,若直線X+7町-1=0上存在點P,使得以|=2|P8|,則正實數機的最

小值是（）

1

A.-B.3C.—D.V3

33

9.閱讀如圖的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的。的值為（）

10.如圖，在矩形Q45C中的曲線分別是y

機取一點，若此點取自陰影部分的概率為匕取自非陰影部分的概率為6，則（）

A.《<鳥B.Px>P2C.耳=2D.大小關系不能確定

CIDi兀

11.“cos2a-——“是“a=k"——,ZeZ”的（）

23

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

12.如圖，這是某校高三年級甲、乙兩班在上學期的5次數學測試的班級平均分的莖葉圖，則下列說法不正確的是（）

甲班乙班

7958

7311013

23

A.甲班的數學成績平均分的平均水平高于乙班

B.甲班的數學成績的平均分比乙班穩定

C.甲班的數學成績平均分的中位數高于乙班

D.甲、乙兩班這5次數學測試的總平均分是103

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數/（x）=sin[s+）（。＞0）在區間[%,2"）上的值小于。恒成立，則。的取值范圍是.

14.某學校高一、高二、高三年級的學生人數之比為5:5:4,現按年級采用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高

三年級為12人，則抽取的樣本容量為人.

22

15.已知雙曲線C:二-二=l（a乃＞0）的左右焦點為白，鳥，過鳥作》軸的垂線與C相交于A,8兩點,耳8與＞軸

a~b"

相交于。.若囚。，68,則雙曲線C的離心率為.

J3,

16.一個空間幾何體的三視圖及部分數據如圖所示，則這個幾何體的體積是I

正視圖P

俯視圖~

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）（某工廠生產零件4,工人甲生產一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分別為,，!，!，工人

424

乙生產一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分別為己知生產一件一等品、二等品、三等品零件A

給工廠帶來的效益分別為10元、5元、2元.

（1）試根據生產一件零件A給工廠帶來的效益的期望值判斷甲乙技術的好壞；

（2）為鼓勵工人提高技術，工廠進行技術大賽，最后甲乙兩人進入了決賽.決賽規則是：每一輪比賽，甲乙各生產一

件零件A,如果一方生產的零件4品級優干另一方生產的零件，則該方得分1分，另一方得分」分，如果兩人生產的

零件A品級一樣，則兩方都不得分，當一方總分為4分時，比賽結束，該方獲勝.4G=-4,-3,-2........4）表

示甲總分為i時，最終甲獲勝的概率.

①寫出尸0,尸8的值；

②求決賽甲獲勝的概率.

,、c“112

18.(12分)已知在等比數列｛為｝中，4>0,q=4,------=—.

(1)求數列｛4｝的通項公式;

]

(2)若勿,求數列也｝前〃項的和.

log2a?-log2??+1

19.(12分)已知函數/(工)=。函一爐.

(1)若曲線/(X)存在與丁軸垂直的切線，求。的取值范圍.

3,

(2)當aNl時，證明：./(x)..l+x—耳廠.

20.(12分)如圖所示，四棱錐P-48co中，PC_L底面ABC。，PC=CD=2,E為A8的中點，底面四邊形45CD

滿足NAQC=N&C5=90。，AD=1,BC=1.

(I)求證：平面PZ)EJ_平面PAC；

(U)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；

(HI)求二面角D-PE-B的余弦值.

21.(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A8CD為菱形，AB4D為正三角形，平面RV)_L平面ABC。,E,E

分別是A。,CD的中點.

(1)證明:平面尸

(2)若N84O=6Cf，求二面角3-尸。一4的余弦值.

22.(10分)已知函數/(x)=e'-x2+2a+b(xeR)的圖象在％=0處的切線為y=灰(。為自然對數的底數)

(1)求a,b的值;

(2)若ZeZ,且/(x)+；(3x2—5x—2QNO對任意xeR恒成立，求k的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養，利用面面平行的判定定理與性質

定理即可作出判斷.

【詳解】

由面面平行的判定定理知：a內兩條相交直線都與月平行是a///的充分條件，由面面平行性質定理知，若二//戶，

則a內任意一條直線都與月平行，所以a內兩條相交直線都與月平行是a//4的必要條件，故選B.

【點睛】

面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若

aua,bu/3,al/b,則a//4”此類的錯誤.

2.B

【解析】

建立平面直角坐標系，將已知條件轉化為所設未知量的關系式，再將r-4的最小值轉化為用該關系式表達的算式,

利用基本不等式求得最小值.

【詳解】

建立平面直角坐標系如下圖所示，設c=（cos，,sin。），OA=a,OB=b,且A（根由于

b一c|=1一c|=5,所以〃7,〃W[4,6].

?-c=（m-cos^,-sin。）,萬一0=（一85。,〃-51118）.所以

m2-2mcos0+cos2。+sin?。=25

即m'+n2=48+2/T?cos0+Insin0-

rr-2nsin^+sin2G+cos?6=25

-2(a-c).(^-c)+(b-c)2=j48+2，”cos6+2)sin6

=y]nr+n2>42mn?當且僅當m=n時取得最小值，此時由/+4=48+2mcos夕+2”sin0得

2加2=48+2/M(sine+cose)=48+20，”sin(e+?｝當。=當時，2療有最小值為48-2a〃2，即

4

1—54rr

2m2=48-2正加，/+V2m-24=0?解得機=3啦?所以當且僅當；〃=〃=3‘2,。=彳時a-b有最小值為

《2x（3也j=6.

【點睛】

本小題主要考查向量的位置關系、向量的模，考查基本不等式的運用，考查數形結合的數學思想方法，屬于難題.

3.D

【解析】

可求出集合A,B,然后進行并集的運算即可.

【詳解】

解：A={x|0<x<2},?={y|y>0}；

AUB=[O,”).

故選O.

【點睛】

考查描述法、區間的定義，對數函數的單調性，以及并集的運算.

4.C

【解析】

根據抽樣方式的特征，可判斷①；根據相關系數的性質，可判斷②；根據獨立性檢驗的方法和步驟，可判斷③.

【詳解】

①根據抽樣是間隔相同，且樣本間無明顯差異，故①應是系統抽樣，即①為假命題；

②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1;兩個隨機變量相關性越弱，則相關系數的絕對值越接

近于0;故②為真命題；

③對分類變量x與丫的隨機變量K2的觀測值攵來說，左越小，“x與y有關系’’的把握程度越小，故③為假命題.

故選：c.

【點睛】

本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關系數、獨立性檢驗等知識點，屬于基礎題.

5.A

【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即。力的關系，求出雙曲線的離心率.

【詳解】

解：設雙曲線的半個焦距為C,由題意。62,乃)

Xcos6>=—.則sinO=2,tan6?=2,-=2,所以離心率e=￡=二#),

55。aV\a)

故選:A.

【點睛】

本題考查雙曲線的簡單幾何性質，屬于基礎題

6.D

【解析】

根據Iog24+|=l+log24,得到10g2。,用=log22a“，即。,用=24,由等比數列的定義知數列｛4｝是等比數列，然

后再利用前"項和公式求$6.

【詳解】

因為log2a“M=l+log2%,

所以1幅/+1=log22a“，

所以a“+i=2%,

所以數列｛4｝是等比數歹!J,

又因為=4,

所以

q(1一力1x0-26)

Ss=一-----------------?

i-q1-2

故選：D

【點睛】

本題主要考查等比數列的定義及等比數列的前“項和公式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

7.A

【解析】

依題意有了（X）的周期為T=券=T，0=3,/(x)=Asin(3x+：).而

g(x)=Asin卜x+5.I7兀1兀..[7兀T]71f-e.tr兀

=xAsino3XH--1—=Asin3x-\---H—,故應左移—?

4，4一?1~2412

8.D

【解析】

設點P（1-初y,y）,由|B4|=2|PB],得關于）'的方程.由題意，該方程有解，則△，（），求出正實數機的取值范圍,

即求正實數m的最小值.

【詳解】

由題意，設點尸。一沖,y）.

'.■\PA\=2\PB\,:.\P^=4\PBf,

即（1—+y2=4（l-my-4）'+y2,

整理得（加2+1）產+gm）,+12=o,

則△=（所）2-4（病+1）x1220,解得加或,〃K—6.

m>O,：.m>Ji,；.mniin=>/3.

故選：D.

【點睛】

本題考查直線與方程，考查平面內兩點間距離公式，屬于中檔題.

9.C

【解析】

根據給定的程序框圖，計算前幾次的運算規律，得出運算的周期性，確定跳出循環時的”的值，進而求解"的值，得

到答案.

【詳解】

3

由題意，a=—,n=\,

2

第1次循環，。=一§,〃=2,滿足判斷條件；

第2次循環，a=2，〃=3,滿足判斷條件；

2

3

第3次循環，a=j,"=4,滿足判斷條件；

可得。的值滿足以3項為周期的計算規律，

所以當”=2019時，跳出循環，此時〃和〃=3時的值對應的〃相同，即a=*.

2

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了循環結構的程序框圖的計算與輸出問題，其中解答中認真審題，得出程序運行時的計算規律是解答的

關鍵，著重考查了推理與計算能力.

10.B

【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據幾何概型概率公式可求得.

【詳解】

根據題意，陰影部分的面積的一半為：cosx—sinx)tZY=>/2—1，

V2—1

于是此點取自陰影部分的概率為打。

P.=2x—生—

12

又8=l_q<g,故

故選B.

【點睛】

本題考查了幾何概型，定積分的計算以及幾何意義，屬于中檔題.

11.B

【解析】

先求出滿足cos2a=-工的a值，然后根據充分必要條件的定義判斷.

2

【詳解】

i27r7i_iJI

由cos2a=——得2。=2攵萬土——，即a=左萬士一，keZ因此"cos2a=——”是乃+—,ZeZ”的必要

23323

不充分條件.

故選：B.

【點睛】

本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎.解題時可根據條件與結論中參數的取值范圍進行判斷.

12.D

【解析】

計算兩班的平均值，中位數，方差得到ABC正確，兩班人數不知道，所以兩班的總平均分無法計算，。錯誤，得到

答案.

【詳解】

由題意可得甲班的平均分是104,中位數是103,方差是26.4；

乙班的平均分是102,中位數是101,方差是37.6,則A,B,C正確.

因為甲、乙兩班的人數不知道，所以兩班的總平均分無法計算，故。錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查了莖葉圖，平均值，中位數，方差，意在考查學生的計算能力和應用能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

5U

13.

6'12

【解析】

首先根據X的取值范圍，求得8+9的取值范圍，由此求得函數“X）的值域，結合“X）區間［肛24）上的值小于。

恒成立列不等式組，解不等式組求得。的取值范圍.

【詳解】

冗兀兀

由于7T<XV2萬,69>0,所以（071H--<（OXH--VH--,

666

由于/（X）區間［肛24）上的值小于0恒成立，

冗

所以2左乃+——<cox-\——<ICOTI——<2%7+2?（左wZ）.

666

co>2k+—

0）714-—>2k兀+716

6

所以=><…11

712攵+—

2co7i+—<2k/i+2〃

6CD<-----

212

2kH—<左H1

由于。>0,所以〈612no

b>012

由于ZeZ,所以令Z=0得*

612

所以”的取值范圍是（3,工.

\o12

故答案為:與晟

【點睛】

本小題主要考查三角函數值域的求法，考查三角函數值恒小于零的問題的求解，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬

于中檔題.

14.42

【解析】

根據分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論.

【詳解】

設抽取的樣本為〃，

45+5+4

則由題意得上=二二一，解得〃=42.

12n

故答案為：42

【點睛】

本題考查了分層抽樣的知識，算出抽樣比是解題的關鍵，屬于基礎題.

15.G

【解析】

由已知可得AK=48=也，結合雙曲線的定義可知|4用—|4g|=C=2a,結合02=儲+〃，從而可求出離心

率.

【詳解】

解：-.-\^0\=\F2O\,OD//F2B,：.\DFt\=\DB\,又?.?AO_Lg,則|A周=恒卻=2|A閭.

/2r2/2

v|A/s|=—,AFt-AB=---,:.\AF^\-\AF2\=--2a,即=2/=c?

解得c=/a?即e=yj3"

故答案為：6

【點睛】

h2

本題考查了雙曲線的定義，考查了雙曲線的性質.本題的關鍵是根據幾何關系，分析出.關于圓錐曲線的問題,

\AF2\=—

一般如果能結合幾何性質，可大大減少計算量.

3

16.-

2

【解析】

先還原幾何體，再根據柱體體積公式求解

【詳解】

空間幾何體為一個棱柱，如圖，底面為邊長為1,百的直角三角形，高為G的棱柱，所以體積為:X1X百=?

【點睛】

本題考查三視圖以及柱體體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)乙的技術更好，見解析(2)①4=0,4=1；②;

【解析】

(1)列出分布列，求出期望，比較大小即可；

(2)①直接根據概率的意義可得尸0,尸8；②設每輪比賽甲得分為X,求出每輪比賽甲得1分的概率，甲得0分的概

率，甲得一1分的概率，可的匕=：匕」+!匕+:々m,〃=，+4,可推出｛月｝是等差數列，根據乙=媼產■可得答

案.

【詳解】

(1)記甲乙各生產一件零件給工廠帶來的效益分別為x元、丫元，

隨機變量x,y的分布列分別為

X1052

111

r

424

Y1052

12

P

333

所以￡X=LX10+,X5+LX2=U,=-xl0+-x5+-x2=—,

42423333

所以七X<EY,即乙的技術更好

(2)①凡表示的是甲得-4分時，甲最終獲勝的概率，所以4=0,

旦表示的是甲得4分時，甲最終獲勝的概率，所以&=1；

②設每輪比賽甲得分為X,則

每輪比賽甲得1分的概率P(X=1)=—xf—+—j+—x—=—,

甲得0分的概率P(X=0)=—x—l—x—I—x—=—，

4323433

甲得—1分的概率P(X=-1)=—X-+—+=—,

//I\Jjj

所以甲得進=-3,-2,…3)時，最終獲勝有以下三種情況:

(1)下一輪得1分并最終獲勝，概率為3匕4+"

(2)下一輪得0分并最終獲勝，概率為：匕4；

(3)下一輪得-1分并最終獲勝，概率為1此44；

所以￡,=!月1+；8+；月川=2勺=月1+月用,(〃=2,3,4,5,6,7)，

所以｛匕｝是等差數列,

則舄=_兄!+^冗^=1

22

即決賽甲獲勝的概率是!.

【點睛】

本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查數列遞推關系的應用，是一道難度較大的題目.

18.(1)a?=2n+l(2)」一

2〃+4

【解析】

(1)由基本量法，求出公比q后可得通項公式；

(2)求出。“，用裂項相消法求和.

【詳解】

解：(1)設等比數列的公比為4(4>0)

411212

又因為4=4%々大，所以礦4尸包,3

解得q=-i(舍)或“=2

所以4=4x2"T=2,,+|,即a?=2),+]

據求解知，n+,

(2)(1)an=2,

]

所以勿=

log2a?xlog2??+l

(〃+1)(〃+2)

〃+1〃+2

所以=bt+b2+b3+...+bn

+.一+，1

VH+1〃+2

2〃+2

n

2〃+4

【點睛】

本題考查求等比數列的通項公式，考查裂項相消法求和.解題方法是基本量法.基本量法是解決等差數列和等比數列

的基本方法，務必掌握.

2

19.(1)4,-(2)證明見解析

e

【解析】

2V2x

(1)r(x)=a靖-2x=0在xwR上有解，?=—,設g(x)="，求導根據函數的單調性得到最值，得到答案.

371

(2)證明/(X)..l+X--X2,只需證優一X—l+x——X2,記人(%)=，+—/—X—1,求導得到函數的單調性，得

222

到函數的最小值，得到證明.

【詳解】

(1)由題可得，/'(彳)=。/-2%=0在％€1<上有解，

r.,...lx.2-2x

則。==，令g(無)==，g(x)=——?

eee

當x<l時，g'(x)>O,g(x)單調遞增；當x>l時，g'(x)<O,g(x)單調遞減.

2

所以x=l是g(x)的最大值點，所以凡，一.

(2)iaexex,所以/(x).."一丁,

要證明/'(%)..1+無一53%2,只需證產一天2..1+1一53%2,即證/+21丁—1一1..0.

記〃(x)=e'一1_],〃，(尤)=ex+x-l,hr(x)在R上單調遞增，且"(0)=0,

當x<0時，"(x)<0,/i(x)單調遞減；當x>0時，/Za)>0,/2(x)單調遞增.

所以x=0是力(幻的最小值點，)..//(0)=0,則靖+—Y—X—L.O,

2

3

故f(%)..1+X---x~.

【點睛】

本題考查了函數的切線問題，證明不等式，意在考查學生的綜合應用能力和轉化能力.

20.(I)證明見解析(II)(ni)-生叵.

317

【解析】

(I)由題知OE_LPC,如圖以點C為原點，直線CD、CB、CP分別為％、八z軸，建立空間直角坐標系，計算

DEAC=Q^證明OE_LAC，從而DEJ_平面RLC,即可得證；

(U)求解平面PDE的一個法向量〃，計算cos(E,而)，即可得直線PC與平面PDE所成角的正弦值;

(HI)求解平面PBE的一個法向量加，計算COS(加力，即可得二面角￡>-PE-3的余弦值.

【詳解】

(I)?/PC_L底面ABCD,DELPC,

如圖以點C為原點，直線CD、CB、CP分別為X、八Z軸，建立空間直角坐標系,

則C(0,0,0),0(2,0,0),3(0,3,0),尸(0,0,2),4(2,1,0),￡(1,2,0),

.-.DE=(-l,2,0),AC=(-2,-1,0),.-.DEAC=Q,

：.DE±AC,又CPnC4=C,.?.Z)E_L平面P4C,

DEu平面PDE,?1?平面尸。E_L平面PAC；

(II)設〃=(X],y,zJ為平面POE的一個法向量，

又麗=(1,2,-2%詼=(一1,2⑼，麗=(0,0,2),

n-DE=-x.+2y,=0,-、

則一；:，取弘=1,得〃=z2,1,2

n-PE=玉+2y,-2z,=0

2

???直線PC與平面PDE所成角的正弦值-；

(IH)設〃?=(工2，%，22)為平面尸8￡的一個法向量，

又麗=(0,3,-2),麗=(-1,1,0),

m?PB-3y2-2z0一

則2),取＞2=2,得加=(2,2,3),

n?EB--x2+y2

/---\n-m4^17

cos(m,nj=....

17，

二二面角D-PE-B的余弦值-生叵.

17

【點睛】

本題主要考查了平面與平面的垂直，直線與平面所成角的計算，二面角大小的求解，考查了空間向量在立體幾何中的

應用，考查了學生的空間想象能力與運算求解能力.

21.(1)詳見解析；(2)M

5

【解析】

(1)連接AC,由菱形的性質以及中位線，得BDLFE,由平面加0,平面ABCD,且PEL交線AO,得PE上

平面ABCD,故而BDLPE,最后由線面垂直的判定得結論.

(2)以E為原點建平面直角坐標系，求出平面平24。與平面PBD的法向量)=(0,1,0)

,H=(V3,-1,-1),最后求得二面角3—P￡)—A的余弦值為手.

【詳解】

解：(1)連結AC

VPA^PD,且E是AD的中點，

:.PE±AD

V平面PAD，平面ABCD,

平面PAOD平面ABCD=AD,

APE_L平面A8CZ).

■:BDu平面ABCD,

???BD2PE

又ABC。為菱形，且瓦產為棱的中點,

EF//AC,BDLAC

:.BD±EF.

又?：BDA.PE,PEcEF=E,PE,EFu平面PEF

二平面PEF.

(2)由題意有，

?.?四邊形ABC。為菱形，且NB