**第五章思考題5.1虛功原理中的“虛功”二字作何解釋？用虛功原理理解平衡問題，有何優點和缺點？感謝閱讀5.2為什么在拉格朗日方程中，不包含約束反作用力？又廣義坐標與廣義力的含義如精品文檔放心下載a何？我們根據什么關系由一個量的量綱定出另一個量的量綱?精品文檔放心下載5.3廣義動量m是不是只相差一個乘數？為什么p比q更富有意義？p和廣義速度qaaaa5.4既然T是廣義動量，那么根據動量定理，dT是否應等于廣義力？為什么adtaq在拉格朗日方程5.3.14式中多出了T項？你能說出它的物理意義和所代表的物理量qa嗎？5.5為什么在拉格朗日方程只適用于完整系？如為不完整系，能否由式5.3.13得出式精品文檔放心下載5.3.14？5.6平衡位置附近的小振動的性質，由什么來決定？為什么2s2個常數只有2s個是獨立精品文檔放心下載的？5.7什么叫簡正坐標？怎樣去找？它的數目和力學體系的自由度之間有何關系又每一簡正感謝閱讀坐標將作怎樣的運動？5.8多自由度力學體系如果還有阻尼力，那么它們在平衡位置附近的運動和無阻尼時有何感謝閱讀不同？能否列出它們的微分方程？L L5.9dL和dL有何區別？ 和 有何區別？5.10哈密頓正則方程能適用于不完整系嗎？為什么？能適用于非保守系嗎？為什么？感謝閱讀5.11哈密頓函數在什么情況下是整數？在什么情況下是總能量？試祥加討論，有無是總能量而不為常數的情況？精品文檔放心下載5.12何謂泊松括號與泊松定理？泊松定理在實際上的功用如何？感謝閱讀5.13哈密頓原理是用什么方法運動規律的？為什么變分符號可置于積分號內也可移到精品文檔放心下載**積分號外？又全變分符號能否這樣？5.14正則變換的目的及功用何在？又正則變換的關鍵何在？精品文檔放心下載5.15哈密頓-雅可比理論的目的何在？試簡述次理論解題時所應用的步驟.精品文檔放心下載5.16正則方程5.5.15與5.10.10及5.10.11之間關系如何？我們能否用一正則變換由前者得出后者？謝謝閱讀5.17在研究機械運動的力學中，劉維定理能否發揮作用？何故？感謝閱讀5.18分析力學學完后，請把本章中的方程和原理與牛頓運動定律相比較，并加以評價.謝謝閱讀第五章思考題解答5.1答：作.用于質點上的力在任意虛位移中做的功即為虛功，而虛位移是假想的、符合約束的、無限小的.即時位置變更，故虛功也是假想的、符合約束的、無限小的.且與過程無關謝謝閱讀的功，它與真實的功完全是兩回事.從WFr可知：虛功與選用的坐標系無關，iii這正是虛功與過程無關的反映；虛功對各虛位移中的功是線性迭加，虛功對應于虛位移的一感謝閱讀次變分.在虛功的計算中應注意：在任意虛過程中假定隔離保持不變，這是虛位移無限小性精品文檔放心下載的結果.虛功原理給出受約束質點系的平衡條件，比靜力學給出的剛體平衡條件有更普遍的意義；再精品文檔放心下載者，考慮到非慣性系中慣性力的虛功，利用虛功原理還可解決動力學問題，這是剛體力學的精品文檔放心下載平衡條件無法比擬的；另外，利用虛功原理解理想約束下的質點系的平衡問題時，由于約束謝謝閱讀反力自動消去，可簡便地球的平衡條件；最后又有廣義坐標和廣義力的引入得到廣義虛位移精品文檔放心下載原理，使之在非純力學體系也能應用，增加了其普適性及使用過程中的靈活性.由于虛功方謝謝閱讀**程中不含約束反力.故不能求出約束反力，這是虛功原理的缺點.但利用虛功原理并不是不能謝謝閱讀求出約束反力，一般如下兩種方法：當剛體受到的主動力為已知時，解除某約束或某一方向精品文檔放心下載的約束代之以約束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘數法，景觀比較麻煩，但能同時求謝謝閱讀出平衡條件和約束反力.5.2 答因拉格朗日方程是從虛功原理推出的，而徐公原理只適用于具有理想約束的力學體謝謝閱讀系虛功方程中不含約束反力，故拉格朗日方程也只適用于具有理想約束下的力學體系，不感謝閱讀含約束力；再者拉格朗日方程是從力學體系動能改變的觀點討論體系的運動，而約束反作用感謝閱讀力不能改變體系的動能，故不含約束反作用力，最后，幾何約束下的力學體系其廣義坐謝謝閱讀標數等于體系的自由度數，而幾何約束限制力學體系的自由運動，使其自由度減小，這表明感謝閱讀約束反作用力不對應有獨立的廣義坐標，故不含約束反作用力.這里討論的是完整系的拉感謝閱讀格朗日方程，對受有幾何約束的力學體系既非完整系，則必須借助拉格朗日未定乘數法對拉感謝閱讀格朗日方程進行修正.廣義坐標市確定質點或質點系完整的獨立坐標，它不一定是長度，可以是角度或其他物感謝閱讀理量，如面積、體積、電極化強度、磁化強度等.顯然廣義坐標不一定是長度的量綱.在完整感謝閱讀約束下，廣義坐標數等于力學體系的自由度數；廣義力明威力實際上不一定有力的量綱可以精品文檔放心下載是力也可以是力矩或其他物理量，如壓強、場強等等，廣義力還可以理解為；若讓廣義力對精品文檔放心下載應的廣義坐標作單位值的改變，且其余廣義坐標不變，則廣義力的數值等于外力的功由精品文檔放心下載ns知，FrqW有功的量綱，據此關系已知其中一個量的量綱iii11則可得到另一個量的量綱.若q是長度，則一定是力，若是力矩，則q一定是角度，若q是體積，則一定是壓強等.5.3答pm與q不一定只相差一個常數，這要由問題的性質、坐標系的選取形式及廣義坐標的選用而定。直角坐標系中質點的運動動能1222，若取y為廣義T2m(xyz)坐標，則qyt，而pyyyy12，取廣義坐標t，TIPII2**又如極坐標系表示質點的運動動能T1222)，若取q，而，有q2t2，二者相差一變數；若取qr有，而T,二者pmr2pmrqrmrrrr相差一變數m.在自然坐標系中12，取qsqsvT2mss，而psms，二者相差一變數m.從以上各例可看出：只有在廣義坐標為長度的情況下，p與q才相差一常數;在廣義坐標為角量的情形下，p與q相差為轉動慣量的量綱.精品文檔放心下載 為何比q更富有物理意義呢？首先，p對應于動力學量，他建立了系統的狀態函精品文檔放心下載 數T、L或H與廣義速度、廣義坐標的聯系，它的變化可直接反應系統狀態的改變，而q謝謝閱讀是對應于運動學量，不可直接反應系統的動力學特征；再者，系統地拉格朗日函數L中不精品文檔放心下載含某一廣義坐標q時，對應的廣義動量pL常數，存在一循環積分，給解決問題帶iii來方便，而此時循環坐標q對應的廣義速度q并不一定是常數，如平方反比引力場中ii1222k2m，不含，故有L常數,但常數；最rpmrLq2r后，由哈密頓正則方程知p,q是一組正則變量:哈密頓函數H中不含某個廣義坐標q時，i對應的廣義動量p常數，不含某個廣義動量p時，對應的廣義坐標q常數iii5.4答只有對于完整系，廣義坐標數等于自由度數，才能消去所有的約束方程，式（5.3.13）精品文檔放心下載1

TTdtqq

Q

q 0 各q才能全部相互獨立，得到式（5.3.14），故拉格朗日方程只適用于完整系，非完整力精品文檔放心下載 謝謝閱讀（5.3.14）式，但（5.3.13）式結合拉格朗日方程未定乘數法可用于非完整系。感謝閱讀5.6答力學體系在平衡位置附近的動力學方程（5.4.4）得久期方程（本征值方程）（5.4.6）謝謝閱讀式a 2C 0，其中,1,2 S，久期方程的各根（本征值）的性質決定體精品文檔放心下載 l系平衡位置附近的小振動性質。因從本征方程（5.4.6）式中可求出2S個的本征值（l1,2 2S），每一個對應謝謝閱讀l l**一個獨立的常數故2S2個常數中只有2S個是獨立的。精品文檔放心下載5.7答多自由度體系的小振動，每一廣義坐標對應于S個主頻率的諧振動的疊加。若通過坐感謝閱讀標間線性變換使得每一廣義坐標僅對應一個頻率的振動，則變換后的坐標稱之為簡正坐標，對應的頻率為簡正頻率，每一簡正坐標對應一個簡正頻率，而簡正頻率數和力學體系的自由度數相等，故簡正坐標數等于自由度數。謝謝閱讀值得說的是，每一簡正振動為整個力學體系所共有，反映的是各質點（整體）的振動之一，其他坐標都作為簡正坐標的線性函數，由S個簡正振動疊加而成。這種方法在統計物感謝閱讀理，固體物理中都有運用。5.8答對一完整的穩定的力學體系在有阻尼的情況下，它們在平衡位置附近將作衰減運動。感謝閱讀引入耗散函數1S2,1則阻力FSRbq1力學體系的運動方程改為dTTVFdtqqqq其中T1S，V1S，F中是的函數，把在平衡位形區域展開成2aqq2Cqq,1,1泰勒級數bbSbq高級項0rr1qr0很小，只保留頭一項，則a,b,c均為常數。T,V,F代入運動方程得qrSbcq1qAet代入上式得本征值方程a2bc01,2S1,2S**在V0，F24VT的小阻尼情況下，本征值il1,22S，且0振llll動方程為SieiltAlSqeltAlieilt1,2illill1顯然是按指數率的衰減振動。,q1,2,....sLLLLdLsdqdqdtspdqpdqdtqtt1q1L由p 解得 q1,2,.....sqqq,p,t,1,2,....s所以Iq,p,tq,p,t,t則dIsLdqLdqLdtdLqt1q而ILsLLqqqq15.10答：拉格朗日方程只適用于完整系，哈密頓正則方程有保守系拉格朗日方程推出，故只能適用于完整的，保守的力學體系，對非保守體系（5.3.18）改寫為謝謝閱讀dTTVQ,1,2...sqqdtq其中Q為非有勢力，或寫為dLLQ,1,2....sqdtq即pQLq。經勒讓德變換后用課本上同樣的方法可推得非保守系中的哈密頓正則**方程Hq,pH1,2...sq5.11答：若哈密頓函數不顯含時間t，則HHq,p常熟；對穩定約束下的力學體謝謝閱讀 系，動能不是速度的二次齊次函數，則HTV,是以哈密頓正則變量表示的廣義總能量，因不穩定約束的約束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含約束力，故有此差異，此時H并不是真正的能量；對穩定的，保守的力學體系，若H含t則H是能量但不為常熟。感謝閱讀5.12答：泊松括號是一種縮寫符號，它表示已同一組正則變量為自變量的二函數之間的關感謝閱讀系。若p,q,t,p,q,t,1,2...s，則,sqppq1,H是物理學中最常用的泊松括號，用泊松括號可表示力學體系的運動正則方程謝謝閱讀p

p,H,q

q,H,

1,2...s

用泊松括號的性質復雜微分運算問題化為簡單的括號運算，這種表示法在量子力學，量子場精品文檔放心下載論等課程中被廣泛應用。每一正則方程必對應一個運動積分，利用泊松括號從正則方程=積分精品文檔放心下載p,q,tC,p,q,tC謝謝閱讀 1 2可以推出另外一個積分,C，這一關系稱為泊松定理。謝謝閱讀35.13答：哈密頓原理是用變分的方法確定運動規律的，它是力學變分原理的積分形式。基精品文檔放心下載本思想是在描述力學體系的S維空間中，用變分求極值的方法，從許多條端點相同的曲線精品文檔放心下載中挑選一條真是軌道確定體系的運動變化規律。因為對等時變分t0，故變分符號可置于積分號內也可置于積分號外，而不等時變分感謝閱讀t0，故全變分符號不能這樣。5.14答：力學體系的哈密頓函數H中是否有循環坐標系或循環坐標的數目與坐標系（或參謝謝閱讀變數）的選取有關，故在正則方程形式不變的前提下，通過某種變數變換找到新的函數H*，感謝閱讀**使之多出現一些循環坐標，此即正則變換的目的及公用。由于每一循環坐標對應一個運動積精品文檔放心下載分，正則變換后可多得到一些運動積分，給解決問題帶來方便，正則變換的關鍵是母函數的感謝閱讀選取，其選取的原則是使H*中多出現循環坐標，但并無一定的規律可循，要具體問題具體精品文檔放心下載分析。5.15答：哈密頓正則方程是2s個一階微分方程的方程組，用泊松定理解之，由而已知運動謝謝閱讀積分求出其余的運動積分往往是已知解的線性組合或橫等時，并不能給出新的解；而用正則變換可多得到一些循環坐標是正則方程立即有解，但母函數的選取往往很困難，哈密頓—雅可畢理論的目的既是要彌補上述缺陷，通過一個特殊的正則變換，使得用新變量謝謝閱讀P,Q,(1,2.....s)表示的哈密頓函數H*0，此時P,Q全部為常數,,(i1,2...s)，這樣哈密頓得主函數極為母函數，從而解決母函數難以尋找的困難。謝謝閱讀i5.16答：對（5.9.8）式若為不穩定約束，只需以h代替E即可，故對（5.9.8）式分離變量謝謝閱讀后推出的（5.9.12）中也只需以h代E即可用于不穩定約束。正則方程利用哈—雅理論后得感謝閱讀到結果十分普遍，可同時得出運動規律，軌道級動量，故比拉格朗日方程優越。謝謝閱讀5.17答：經典“牛頓力學”常用于幾何的觀點，運用形象化思維的方式，研究力學體系的受力情況及運動情況，然后通過運動非常及時物體的受力與運動變化間的相互聯系和前因后果。這種方法形象，直觀，物理意義鮮明，被廣泛應用于工程實際。但由于它著眼于力，速度，加速度等矢量，給解決復雜的力學體系的運動問題帶來許多不便；再者，它僅僅局限于純力學體系的運動分析，其理論與方法難以建立與其它學科的聯系。謝謝閱讀5.18答：十九世紀發展起來的“分析力學‘方法彌補了上述缺陷，它用純數學分析的方法用更具有概括性的抽象思維方式，從力學體系的一切可能的運動中挑選出實際運動的規律。這種方法盡管物理意義不如牛頓力學方法鮮明，但它給人們解決復雜力學體系的運動問題提供了有一方法；再者，由于廣義坐標，廣義力的引入使其理論在其它學科中也能廣泛的應用。建立了經典物理學向近代物理學過渡的橋梁。精品文檔放心下載下面通過分析力學與牛頓力學理論及方法的比較扼要闡述分析力學的優越性。感謝閱讀牛頓力學的著眼點是力，實際力學體系除受到促使其運動狀態改變的主動力，往往還存在很多限制其運動的約束條件體現這些約束的約束反作用力都要作為未知數出現于運動感謝閱讀**微分方程，使未知量增加給解算帶來許多麻煩；分析力學著眼于功和能在一定條件下，常常可以不考慮約束反作用力。如在理想條件下，用虛位移原理解決力學體系的平衡問題可撇開眾多的未知未知約束力，直接得出平衡條件，比用牛頓力學中剛體受力的平衡方程方便得多；達朗伯——虛位移原理解決力學體系的動力學問題，由于虛功的概念、廣義坐標的引入，也可撇開約束力得解，比用牛頓方程即由此推出的動量定理，動量矩定理方便；拉格朗日方程、哈密頓原理即由此得到的分析力學一系列方程均具這一優點。從一分為二的觀點來看，這也是分析力學的缺點——不能求出約束反作用力。當把待求的約束反力或做功的約束反力作為主動力來看，分析力學的理論修改后仍能應用。謝謝閱讀牛頓力學用矢量的方法研究力學體系的運動，著眼于力、加速度、速度等矢量，而矢量具有方向性、相對性，在坐標變換中很費事，故牛頓力學的動力學方程都與參考系極坐標系的選取有關；分析力學用標量描述力學體系的運動及變化規律，著眼于功和能廣義坐標和廣義速度等一系列標量，標量便于變換及疊加，標量形式的運動方程也是便于寫出的，且由于廣義坐標和廣義力的引入，是指超出立憲的范圍也能應用，給參變量的選用也帶來了許多方便，提高了靈活性。如用拉格朗日方程，哈密頓原理或哈密頓正則方程推證極坐標系，球坐標系的質點運動方程，比用牛頓力學的方法簡便，但分析力學不如牛頓力學方法直觀物理意義也不如牛頓力學方法清晰。感謝閱讀牛頓力學的動量守恒定律動量矩守恒定律總是以牛頓第三定律為先決條件的；而分析力學中循環坐標對應的廣義動量守恒原理并不以牛頓第三定律為先決條件，其先決條件是拉格朗日函數或哈密頓函數中不含某廣義坐標。若拉格朗日函數中不含某廣義坐標，則對應于拉格朗日動力學的廣義動量守恒；若哈密頓函數中不含某廣義坐標，則對應于哈密頓動力學的廣義動量守恒。牛頓動力學的動量守恒定律，動量矩守恒定律都是廣義動量守恒原理對應的某循環坐標下的特例。恩西力學的理論更具有概括性，廣義動量守恒原理具有更普遍的意義。謝謝閱讀牛頓力學研究力學問題也用到共和能的概念，但其功能關系動能定理，功能原理，機感謝閱讀械能守恒定律等，只不過提供了力學體系運動的某一方面特征，它的注意力集中于實際實現，感謝閱讀而在實際實現的運動中，功能關系只能給出一個獨立的方程不能提供完全的解；分析力學則謝謝閱讀**不然，它不只是注意實際實現的運動，而是以力學體系的一切可能存在的運動中挑選出真實謝謝閱讀的運動，故分析力學中的功能關系指的是一切可能出現的運動中的功能關系，比實際實現的感謝閱讀運動中的功能關系要豐富的多，它可以給出一組與力學體系自由度數相等的運動方程，足以謝謝閱讀確定體系的運動。如用牛頓力學中的功能關系——機械能守恒定律研究拋體運動（不計空謝謝閱讀氣阻力），只能給出一個獨立的方程，不能提供完全的解；而用拉格朗日方程則可以給出與精品文檔放心下載自由度數相等的兩個獨立的運動方程，足以解決其運動。牛頓力學機械能守恒定律中的勢能對應于所有的勢力，包括主動力和約束反力，而分精品文檔放心下載析力學中的拉格朗日函數或哈密頓函數中的勢能只對應于廣義力，廣義力只包含主動力，故感謝閱讀兩種勢能不同。再者，分析力學中哈密頓函數H的守恒原理，在非穩定的約束情況下感謝閱讀TTV并非機械能，成為廣義能量，只有在穩定的約束情況下HTV才是機精品文檔放心下載2 0械能。故牛頓力學的機械能守恒定律要求有勢力，而哈密頓函數的守恒原理要求H不顯含t感謝閱讀且為穩定約束，它們是從不同角度討論機械能守恒的。分析力學的廣義能量守恒比牛頓力學的機械能守恒有著更廣泛的意義。感謝閱讀牛頓力學定律不便于與其它形式的運動建立直接的聯系，分析力學著眼于能量，便于進一步考慮能量的量子化問題，為從經典力學向近代物理學及其它領域過渡提供了方便的“跳板”。如哈密頓——雅可比方程量子化得到的薛定諤方程，哈密頓正則方程量子化得到量子力學的海森堡方程，經典泊松括號考慮量子化效應得到量子力學的泊松括號；哈密頓原理推廣到量子力學的變分原理等。再者，能量便于與其運動形式轉化，由于廣義坐標概念的引入使得一系列分析力學的方程都適用于非力學體系；另外，分析力學是在多維的非歐幾得空間中討論問題的，故分析力學的理論及方法在物理學的各領域有廣泛的應用，現代的場論都好似拉格朗日形成的，分析力學在物理學中有著重要的地位。謝謝閱讀最后討論一下哈密頓動力學與拉格朗日動力學的關系。在處理實際問題中哈密頓動力學不如拉格朗日動力學方便，拉格朗日動力學中從拉格朗日函數可直接寫出力學體系的運動方程——拉格朗日方程；哈密頓動力學中則必須從拉格朗日函數轉到哈密頓函數才可寫出力學體系的運動方程——哈密頓正則方程，從哈密頓正則方程消去廣義動量的結果其實不過是從另一途徑達到拉格朗日方程，這樣做的結果是繞了一個大圈子。謝謝閱讀**第五章習題5.1 試用虛功原理解3.1題。5.2 試用虛功原理解3.4題。5.3 長度同為L的輕棒四根，光滑地聯成一菱形ABCD。AB、AD兩邊支于同一水平線謝謝閱讀上相距為2a的兩根釘上，BD間則用一輕繩聯結，C點上系一重物W。設A點上的頂角精品文檔放心下載為2a，試用虛功原理求繩中張力T。Al aa lT Tl lCW第5.3題圖5.4 一質點的重量為W，被約束在豎直圓周x2—y2—r2=0上，并受一水平斥力k2x的作用，式中r圓的半徑,k為常數。試用未定乘數法求質點的平謝謝閱讀衡位置及約束反作用力的量值。5.5 在離心節速器中，質量為m2的質點C沿著一豎直軸運動，而整個系統則以勻角速繞謝謝閱讀**該軸轉動。試寫出此力學體系的拉氏函數。設連桿AB、BC、CD、DA等的質量均可不謝謝閱讀計。aAaBDmm11m2C第5.5題圖5.6 試用拉格朗日方程解4.10題。5.7 試用拉格朗日方程解本章補充例題5.3。5.8 一光滑細管可在豎直平面內繞通過其一端的水平軸以勻角速轉動。管中有一質量為謝謝閱讀的質點。開始時，細管取水平方向，質點距轉動軸的距離為a，質點相對于管的速度為v0，試由拉格朗日方程求質點相對于管的運動規律。精品文檔放心下載5.9設質量為m的質點，受重力作用，被約束在半頂角為的圓錐面內運動。試以r,為廣義坐標，由拉格朗日方程求此質點的運動微分方程。感謝閱讀zrrOyx第5.9題圖**5.10試用拉格朗日方程解2.4題中的a及b。謝謝閱讀5.11試用拉格朗日方程求3.20題中的 a及a。感謝閱讀1 25.12均質棒AB，質量為m，長為2a,其A端可在光滑水平導槽上運動。而棒本身又可精品文檔放心下載在豎直面內繞A端擺動。如除重力作用外，B端還受有一水平的力F的作用。試用拉割精品文檔放心下載朗日方程求其運動微分方程。如擺動的角度很小，則又如何？感謝閱讀答：2sinmxacosaFcos2cossin22maxakFamga如很小，則Fmxa42Fx3agm式中x為任一瞬時A離定點O的距離，為任一瞬時棒與豎直線間所成的角度，k感謝閱讀為繞質心的回轉半徑.5.13行星齒輪機構如右圖所示.曲柄OA帶動行星齒輪Ⅱ在固定齒輪Ⅰ上滾動.已知曲柄的質謝謝閱讀量為m，且可認為是勻質桿.齒輪Ⅱ的質量為m，半徑為r，且可認為是勻質圓盤.至于齒感謝閱讀1 2輪Ⅰ的半徑則為R.今在曲柄上作用一不變的力矩M.如重力的作用可以忽略不計，試用拉精品文檔放心下載格朗日方程研究此曲柄的運動.R

**yrAM llO xl第5.13題圖5.14質量為m的圓柱體S放在質量為的圓柱體P上作相對滾動，而P則放在粗糙平面上.精品文檔放心下載已知兩圓柱的軸都是水平的，且重心在同一豎直面內.開始時此系統是靜止的.若以圓柱體P感謝閱讀的重心的初始位置為固定坐標系的原點，則圓柱S的重心在任一時刻的坐標為感謝閱讀xcm3msin2mccos試用拉格朗日方程證明之.式中c為兩圓柱軸線間的距離，為兩圓柱連心線與豎直向上的感謝閱讀直線間的夾角.5.15質量為M、半徑為a的薄球殼，其外表面是完全粗糙的，內表面則完全光滑，放在粗糙水平著上.在球殼內放一質量為m、長為2asin的勻質棒.設此系統由靜止開始運動，謝謝閱讀且在開始的瞬間棒在通過球心的豎直平面內，兩端都與球殼相接觸，并與水平線成角.試感謝閱讀用拉格朗日方程證明在以后的運動中，此棒與水平線的夾角滿足關系感謝閱讀53m3cos2sin29mcos2cos2a2精品文檔放心下載6g53mcoscoscos精品文檔放心下載**a2第5.15題圖5.16半徑為r的勻質小球，可在一具有水平軸、半徑為R的固定圓柱的內表面滾動.試求圓精品文檔放心下載球平衡位置作微振動的方程及其周期.5.17質點M

，其質量為m

，用長為l

的繩子系在固定點O上.在質點M

上，用長為l

的1

1

1

1

2繩系另一質點M

，其質量為m

.以繩與豎直線所成的角度

與

為廣義坐標，求此系2

2

1

2統在豎直平面內作微振動的運動方程.如m

=m

=m

，l

=l

=l，試再求出此系統的振動1

2

1

2周期.O1M12M2第5.17題圖5.18在上題中，如雙擺的上端不是系在固定點O上，而是系在一個套在光滑水平桿上、質精品文檔放心下載量為2m的小環上，小環可沿水平桿滑動.如m=m=m，l=l=l，試求其運動方程及精品文檔放心下載1

2

1

2其周期.5.19質量分別為m

、m

的二原子分子、平衡時原子間的距離為a，它們的相互作用力精品文檔放心下載1

2是準彈性的，取二原子的連線為x軸，試求此分子的運動方程。精品文檔放心下載5.20已知一帶電粒子在電磁場中的拉格朗日函數L（非相對論的）為謝謝閱讀TqqAv12mv2qqAv感謝閱讀式中v為粒子的速度，m為粒子的質量，q為粒子所帶的電荷，為標量勢，A為矢量精品文檔放心下載勢。試由此寫出它的哈密頓函數。**5.21試寫出自由質點在作勻速轉動的坐標系中的哈密頓函數的表示式。精品文檔放心下載5.22試寫出§3.9中拉格朗日陀螺的哈密頓函數H，并由此求出它的三個第一積分。5.23試感謝閱讀用哈密頓正則方程解4.10題。5.24半徑為c的勻質圓球，自半徑為b的固定圓球的頂端無初速地滾下，試由哈密頓正則謝謝閱讀方程求動球球心下降的切向加速度。5.25試求由質點組的動量矩J的笛卡兒分量所組成的泊松括號。謝謝閱讀5.26試求由質點組的動量P和動量矩J的笛卡兒分量所組成的泊松括號。精品文檔放心下載5.27如果是坐標和動量的任意標量函數，即2brpcp2，其中a,b,c為ar常數，試證=0。,Jz5.28半徑為a的光滑圓形金屬絲圈，以勻角速繞豎直直徑轉動，圈上套著一質量為m的小環。起始時，小環自圓圈的最高點無初速地沿著圓圈滑下。當環和圈中心的聯線與豎直向上的直徑成角時，用哈密頓原理求出小環的運動微分方程。謝謝閱讀5.29試用哈密頓原理解4.10題。5.30試用哈密頓原理求復擺作微振動時的周期。5.31試用哈密頓原理解5.9題。5.32試證Q㏑1sinp,Pqctgp為一正則變換。q5.33證：變換方程1k111代表一正則變換，并將正則方q2Q22cosP,p2Q2k2sinP?H?H?H?H1程qp,pq變為QP,PQ式中H2p2k2q2,HkQ5.34如果利用下列關系把系數p，q換為P,Q:感謝閱讀qP,Q,pP,Q謝謝閱讀1 2則當q,pQ,P1時，這種變換是一正則變換，試證明之。**5.35試利用正則變換，由正則方程求豎直上拋的物體的運動規律。已知本問題的母函數感謝閱讀1，式中q為確定物體位置的廣義坐標，Q為變換后新的廣義坐標，Umg6gQ3qQ為重力加速度。5.36試求質點在勢場V

r2

Fzr3中運動的主函數S，式中及F為常數5.37試用哈密頓-雅科畢偏微分方程求拋射體在真空中運動的軌道方程。精品文檔放心下載5.38如力學體系的勢能V及動能T可用下列二函數表示：精品文檔放心下載VVVV12s12sT1?2?2?22121122sss式中V,A,B1,2,,s都只是一個參數q的函數，則此力學體系的運動問題可用積分法求解，試證明之。5.39試用哈-雅方程求行星繞太陽運動時的軌道方程。5.40試由5.9.29及5.9.30兩式推證5.9.31及5.9.32兩式。5.41試求質點在庫侖場和均勻場VRFz的合成場中運動時的住函數S，以拋物線坐標，，表示，式中及F是常數，而Rr2z2（參看圖1.2.4）。精品文檔放心下載5.42劉維定理的另一表達式是相體積不變定理。這里又有兩種不同的說法：感謝閱讀（1）考慮相宇中任何一個區域。當這區域的邊界依照正則方程運動時，區域的體積在運動精品文檔放心下載中不變。（2）相宇的體積元在正則變換下不變。試分別證明之。**第五章習題解答5.1解如題5.1.1圖r

o C xmgy題5.1.1圖桿受理想約束，在滿足題意的約束條件下桿的位置可由桿與水平方向夾角所唯一確定。桿的自由度為1，由平衡條件：感謝閱讀Fr0i i即mgy=0①變換方程y=2rcossin-lsin=rsin2lsin②c22故**y2rcos21lcos③精品文檔放心下載c2代回①式即2rcos12lcos0因在約束下是任意的，要使上式成立必須有：rcos2-2lcos=04rcos2④cos又由于cos=c2r故cos2= c22r22r2代回④式得4c22r2c5.2解 如題5.2.1圖**o x3y題5.2.1圖三球受理想約束，球的位置可以由確定，自由度數為1，故。精品文檔放心下載x12rsinlrsin謝謝閱讀2rsinlrsin203lrcoslrcos1y2lrcosa2rcos感謝閱讀3得ylrsin1lrsiny2lrsin2rsiny3由虛功原理nFr0i i1故PyPyPy 0112233①lrsinlrsinlrsin2rsin0**因在約束條件下是任意的，要使上式成立，必須3lrsin2rsin0精品文檔放心下載故2rsin②3lrsin又由x2rcoslrcos得：12rcos③lrcos由②③可得tan3tan5.3解 如題5.3.1圖，AllxaaB T T Dl lCWy題5.31圖在相距2a的兩釘處約束反力垂直于虛位移，為理想約束。去掉繩代之以力T，精品文檔放心下載且視為主動力后采用虛功原理，一確定便可確定ABCD的位置。因此自由度精品文檔放心下載數為1。選為廣義坐。由虛功原理：nFr0i i1**又取變分得代入①式得：W化簡得設

wyTxTx 0①c B B D Dx lsin,x lsin,y 2lcosacot精品文檔放心下載B D cxlcos;xlcosBDayc2lsinsin22lsinaTlcoslcos0sin2D2lsina2Tlcos②W0sin2TT TB D因在約束條件下任意，欲使上式成立，須有：2lsina2Tlcos0Wsin2由此得aTWtan2lcsc315.4解 自由度s1，質點位置為x，y。感謝閱讀由**Fkf0ix1x①iFkf0iy1yi由已知得1,fx,yx2y2r20感謝閱讀故k2x2x0W2y0 ②約束方程聯立②③可求得又由于R故或

x2y2r2③2W2xrx0k2W或yyrk2W22rk2ff2f22y22rxyx0rRW**xr2W2k4yWk2Rk2r5.5解 如題5.5.1圖AxaaaDBymm1a1am2z題5.5.1圖按題意僅重力作用，為保守系。因為已知，故可認為自由度為1.選廣義坐感謝閱讀標q，在球面坐標系中，質點的動能：1mr2r22r2sin22其中i代表指標B，C，D感謝閱讀2iiiiiii由于ra,B

D

B

D所以T1ma222a2sin2精品文檔放心下載B21D又由于c0**rc2acos故T1md2acos22ma2sin22c22dt2TTTT2a2sin2ma222ma2sin22BDc12取Ox為零勢，體系勢能為：2gammcos1 2故力學體系的拉氏函數為：LT2V22sin22sin2212125.6解如題5.6.1圖.yx,ytCo x題5.6.1圖1平面運動，一個自由度.2選廣義坐標為q，廣義速度3因未定體系受力類型，由一般形式的拉格朗日方程dTT①Qq在nWFrQ0。謝謝閱讀i i 11廣義力Q10.代入①得：dTT②0dt在極坐標系下：22dt112222222acosTmrrmdtdt22214a22③mcos24a2cos2a22222故將以上各式代入②式得ma22ma2sinma22sin2ma2sin02sin0

**5.7解 如題5.7.1圖**yxmgo

x題5.7.1圖v2x2y22x2又由于y2xax所以T1mv21m2x22x21m2x22x2①222a24a2取坐標原點為零勢面vmgymg4xa2②拉氏函數LTV1m2x22x2mgx2③24a24a2Lmxm2xmgx2x4a22aLx2mx14a2xdLx22xdt24a22a2x**代入保守系拉格朗日方程dLL0得xdtxx2mxxm2xmgxmx124a24a22aLx2mx14a2xdLx22x24a22a2dtx代入保守系拉格朗日方程dLL0dtxx得x2mxxm2xmgxmx124a24a22a

005.8解：如圖5.8.1圖.xPt

mga v0題5.8.1圖(1)由于細管以勻角速轉動，因此.=可以認為質點的自由度為1.謝謝閱讀(2)取廣義坐標xq.(3)根據極坐標系中的動能**12m(r2r22)12m(x2x22)謝謝閱讀取初始水平面為零勢能面，勢能:Vmgxsin(t)拉氏函數LTV12m(x22x2)mgxsin(t)①謝謝閱讀(4)Lmx，Lm2xmgsin(t)精品文檔放心下載x x代入拉氏方程(L)L0dtxx得：mxm2xmgsin(t)(5)先求齊次方程的解.x2x0②xcetcet1 2特解為sin(t)22故①式的通解為xcetcetgsin(t)③1222在t0時：acc④1 2**xvccg⑤0122聯立④⑤得c1vga01242c1vga02242將c,c代回式③可得方程的解為：1 21vg1vggsin(t)0e0ett242242225.9解如題5.9.1圖.zrrOyx第5.9題圖（1）按題意為保守力系，質點被約束在圓錐面內運動，故自有度數為2.謝謝閱讀（2）選廣義坐標qr，q.12（3）在柱坐標系中：**T12mr2r22z2感謝閱讀rcotT12r22r222mrcot以Oxy面為零勢能面，則：Vmgrcot拉氏函數LTV1222r22-mgrcot①2mrrcot（4）因為L不顯含對另一廣義坐標代入保守系拉氏方程有得

，所以為循環坐標，即L0dtL 常數②mr2 Lmgcotrmr2L2rdLL③0dtrrmrmrcot2mr2mgcot0感謝閱讀2sin2mgsincos0④mrmr所以此質點的運動微分方程為**2A（A為常數）2sin2gsincos0yxxtan112所以12212211122225.10解如題5.10.1圖.yO

x x x2 1題5.10.1圖（1）體系自由度數為2.（2）選廣義坐標qx,qx1 1 2 2.（3）質點的速度v2x2y2,精品文檔放心下載1 1 1劈的速度v2x22 2故體系動能11TTT22121122以x面為零勢面，體系勢能：Vmg(xx)tanC1 1 2 2其中C為劈勢能.2拉氏函數**LTV1mxx2tan21mx2mgxx①2x22tanC1112221122（4）Lmgtanx11Lm2tan2mxx111121代入拉格郎日方程dLL0xx11得：xtan2mgtan0②mx1tan2m11121Lmgtanx12Lm2112222代入拉格郎日方程得mxtan2mxtan2mxmgtan0③1122221聯立②，③得m2gsincosmmsin2121mgsincos12mmsin2215.11 解如題5.11.1圖**CCar1BxaO2題5.11.1圖（1）本系統內雖有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有約束的平面平行運動，精品文檔放心下載自由度s1.（2）選取廣義坐標q.（3）根據剛體力學T11132mr2222222其中繞質心轉動慣量1IC2Mr2,vCr2vC,vB選Ox為零勢面，體系勢能：VC2mgr其中C為常數.拉氏函數3LTV4Mr222mr222mgrC(4)LL32mgr,Mr24mr22代入保守系拉氏方程dLL0dt**得：32Mr24mr22mgr04mg3M8mra4mgr13M8ma2a8mg8m213M對于物體B，有mgTma23MmgTmgma23M8m5.12解如題5.12.1圖.Aa xCamgyBF題5.12.1圖（1）棒作平面運動，一個約束，故自由度s2.精品文檔放心下載（2）選廣義坐標qx,q.1 2（3）力學體系的動能1mv21I22C2C精品文檔放心下載根據運動合成vCxacosiasinj精品文檔放心下載**又故v2x2a222axcos精品文檔放心下載C設k為繞質心的回轉半徑，代入①得動能1mx21ma22maxcos1mk22②精品文檔放心下載222（4）x2asini2acosj感謝閱讀B由Wq2F.r0③iii1（其中Fmgj,FFi）CB則WFx2acosmgasinFx2aFcosmgasin0④感謝閱讀因為x、在約束條件下任意且獨立，要使上式成立，必須：感謝閱讀F,Q2aFcosmgasin⑤感謝閱讀1 2（5）T0,Tmxacos謝謝閱讀x x代入一般形式的拉氏方程得：2sin⑥mxacosaF又Tmaxsin**Tma2axcosmk2精品文檔放心下載代入一般形式的拉氏方程得：2k2⑦maxcosa2Facosmgasin⑥、⑦兩式為運動微分方程（6）若擺動角很小，則，代入式得：sin,cos1，代入⑥⑦式得：精品文檔放心下載2Fxaam⑧2Fa2k2gam又mk2m2a2C12故k213a2代入⑧式得：Fxam42Fgxa3m（因為角很小，故可略去a2項）5.13解如題5.13.1圖**yrR M AIIO xI題5.13.1圖(1)由于曲柄長度固定，自由度s1.(2)選廣義坐標q，受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程：精品文檔放心下載dTTQ①qdtq(3)系統動能T1I21mv21I221122A2221212112②22mr2Rr6122222r1mRr223mRr22謝謝閱讀6142（4）由定義式FriM③ii（5）TT12323212代入①得：TQMdtmRr23mRr2M精品文檔放心下載122**得 2M22m29m25.14.解如題5.14.1圖.OS a bO xmgP題5.14.1圖（1）因體系作平面平行運動，一個約束方程：aabb(2)體系自由度s2，選廣義坐標q,q.雖有摩擦，但不做功，為保守體12系（3）體系動能：P輪平動動能P輪質心轉動動能S輪質心動能感謝閱讀S輪繞質心轉動動能.121212m22IP2Ma2IS2abcosa122sin212①3222124Ma4maab2mabcosa122sin22mab**以地面為零勢面，體系勢能VmgabcosMga則保守系的拉氏函數LTV32a212122②4M4maba2mabcosam22sin22(1)因為L不顯含，得知為循環坐標.故L321212=常數③222開始時：0則32321maabmaabcos02Ma2ma2代入cab得2mccosmcMm又t0時，0所以a2mcsinmc3Mmxcsinacsin2mcsinmc3Mmcm3Mmsin3Mmyccos**5.15解如題5.15.1圖yMa l mgO

x題5.15.1圖（1）本系統作平面平行運動，干限制在球殼內運動，自由度s2；選廣義坐標qx,q，體系摩擦力不做功，為保守力系，故可用保守系拉氏方程證明謝謝閱讀1 2dLL①0dtqq（2）體系動能=球殼質心動能+球殼轉動動能+桿質心動能+桿繞中心轉動動能感謝閱讀TCMx21I21mv21I2②2112222其中2Ma2,I1ml21masin2,謝謝閱讀13233x,桿vxacoscosiacossinj,球a代入②得1511sin222223223以地面為零勢面，則勢能：VmgacoscosC（其中C為常數）精品文檔放心下載1 1**1511sinLTVMmx2macos222322231(3)因為x是循環坐標，故L52常熟③x3而LmaxcossinmgacossinL1sinmaxcoscos2223代入①式得10④macos2sin2mxcoscosmgcossin3聯立③、④可得（先由③式兩邊求導，再與④式聯立）222d3cos⑤5M3m3gcossin0dt⑤試乘并積分得：2222cos225M3m3cossincosa6g5M3mcoscos常數感謝閱讀又由于當0，則故常數6g5M3mcoscossincos222226g5M3mcoscoscos精品文檔放心下載**5.16解如題圖5.16.1.RrCOmg題5.16.1圖（1）由已知條件可得系統自由度s1.（2）取廣義坐標q.（3）根據剛體力學，體系動能：1mv21I2①2C2C精品文檔放心下載又2v,Imr2rCC5將以上各式代入①式得：12212Tmr2Rr2mRrr572210設原點O為零勢能點，所以體系勢能VmgRrcos體系的拉氏函數722②10(1)因為體系只有重力勢能做工，因而為保守系，故可采用精品文檔放心下載**dLL③0dtqqLmgRrsinmgRr精品文檔放心下載因為微震動，很小，所以sinL 7mRr22 5代入③式得75mRr2mgRr0謝謝閱讀即5g07Rr（5）解方程得5gtAcos7Rr0周期27Rr5g5.17解如題5.17.1圖Oxl11M1l22M2y題5.17.1圖（1）由題設知**vl111vlcoslcosilsinlsinj2111222111222系統動能T1Mv21Mv22112221Ml1Mcoscos22222ll①11121112221Msin22lsinl21112221M221Ml22221211222121212取x軸為勢能零點，系統勢能VMglcosMglcoslcos11121122拉氏函數LT1M221222②212112222121212MglcosMglcoslcos11121122（2）體系只有重力做功，為保守系，故可采用保守系拉氏方程.精品文檔放心下載L1L1代入拉氏方程得：

MllsinMMglsin212121212112cosMMlMll1211212212dLL0112121121221221221212sinMMglsin0Mll21212121211又**MMm,lll,0,121212cos1,sin因為是微震動1211代入上式得2mgl02ml2ml2121即2gl0③2ll121同理LMl22Mll2222121122LsinMglsinMll22121212222代入dLL0得dt22222221211221211212MllsinMglsin02121212222又MMm,ll0,sin,cos1l,1212122212代入上式得g0④ll212令Aet, Aet1 1 2 2代入③④式得：A2l22gAl20精品文檔放心下載120Al2Al2g12欲使A,A有非零解，則須有1 2**2l2gl2l20l2g解得4gl4gl28g2l222g22l2l1222igl周期12l2g222l2g25.18解如題5.18.1圖2mO xl1 ml2 my題5.18.1圖（1）系統自由度s1（2）取廣義坐標q,q,q;廣義速度12132112132（3）因為是微震動，coscos1,sin,sin,121122體系動能：121212T22mx2mxl12mxl1l2**以Ox為勢能零點，體系勢能2mglcosmglcos1 2拉氏函數TV（4）即同理同理

212122mglcosmglcosmx2mxl12mxl1l212L0xL112dL0dt12x0①4x2ll12L2mglsin11Lmlxl1mlxl1l21dLL0dt1111212g0②2x2ll121Lmglsin22Lml(xl1)l22dLL0dt22**g0③122設xAet,Aet, Aet精品文檔放心下載2t1122t2A2t1122代入①②③式得4A22Al2Al202A2122Al2gAl2012A2Al2Al2g012欲使A,AA有非零解，必須1, 2422l2l2222l2gl202l2l2g解之42l2gl24g0謝謝閱讀又0故可得ig;i4g1l2l周期 2 g;g1 l 1 l5.19解如題5.19.1圖Oxxx12題5.19.1圖**（1）體系自由度s2（2）取廣義坐標qx,qx1 1 2 2廣義速度qx,qx1 1 2 2（3）體系動能11221122體系勢能V 1kxxa22 2 1體系的拉氏函數1212122211222

xa21（4）體系中只有彈力做功，體系為保守系，可用dLL①0dtqqLLkxxa,2111L1L1kxxa,221222將以上各式代入①式得：②11122221先求齊次方程kxkx0③1112kxkxmx2221**設xAet,xBet1 2xA2et,xB2et感謝閱讀1 2代入③式得Am2kBk0kA1B2mk02要使A,B有非零，必須m2k1k

m

2

k2k

0即mm4m2km2k0感謝閱讀1 2 1 20故2mmk12mm12imm2k1mm12通解為：xABtCsinvt11xABtCsinvt22其中vmmk12mm12又存在特解x01 xa2**有②③式可得01112BmA12CmC12m21xABtCsinvt1mxCsinvtABt12m2式中A,B,C及為積分常數vmm2k1mm12k為倔強系數。5.20解：以速度我廣義速度qv，根據定義p L謝謝閱讀 qLmvqAv①v根據公式（5.5.10）HspL1mvqAv-TqqAv感謝閱讀12mv2q又有①得**p-qAmH1mp-qA2q2m212q2m5.21解取在轉動坐標系的速度為廣義速度vq，則在固定坐標系中的速度：謝謝閱讀vΩr，自由質點的動能T12mv2，設質點勢能為V，則質點的拉氏函數感謝閱讀LTV12mv2V根據定義：1mv2T21vΩr2pmmvv2vq在轉動坐標系中：HspLmvv-1mv21mv2V22112mv2mv(Ωr)V21mp2(Ωr)pV21mp2ΩrpV感謝閱讀上式中r為質點的位矢，pmv,v為質點相對于固定坐標系的速度。精品文檔放心下載5.22解：取在廣義坐標q,q,q.根據教材（3.9.21）和（3.9.19）式123得動能：12222T2I1sinI3cos**勢能：mglcos,l為原點距離HTV12222I12Imglcossin3cos根據定義式pT,有pTI1qIsin2Icoscos感謝閱讀13pI3111p21Hp2pp2mglcos故2IIsin2I11p231p2ppcos2mglcos2I2Isin22I113因為dHH0dttH,H所以HC為第一積分.又1p0,p1,p0,pp0,ppp3p0,H0,Hp0pI故p,H0p 0pC為第二個第一積分.2同理**p0,p0,p1,p0,p0,ppp0;p,H0p0,H0,H0,Hpp即p0pC3為第三個第一積分.5.23解如題5.23.1圖,y MCtO x題5.23.1圖由5.6題解得小球的動能T14a22cos2①2m24a2cos22a22根據定義pTma22ma2cos2②2得p2cos2③2ma2根據哈密頓函數的定義HpLpTVp1V4a22cos24a2cos2a222m22**代入③式后可求得:Hp22pcos21ma22sin2④22ma22由正則方程得:pHpsinma22sincos⑤Hp2cos2⑥2pma2代入⑤得psinma22sincossinsin2ma整理得2sin05.24 如題5.24.1圖,c b O題5.24.1圖⑴小球的位置可由確定,故自由度s1⑵選廣義坐標q,廣義速度q.精品文檔放心下載**⑶小球動能1mv21I22120謝謝閱讀又由,vcb,代入①式得1cc1mv22212mc2cb27225c21210設小球勢能為V,取固定圓球中心O為零勢點,則Vmgcbcos小球拉氏函數TV107m2cb2V=107m2cb2mgcbcos①感謝閱讀根據定義pT7cb2m525p7mcb2有pL5p75p2p210m2cb2mgcbcos7mcb7mcb5p2mgcbcos214mcb4根據正則方程p H mgcbsin④謝謝閱讀 **H5p⑤p7mcb2對式兩邊求時間導得：5mgcbsin5gsin7mcb27cb7mcb2故小球球心切向加速度5gsinacb75.25解根據第二章§2.3的公式有：Jnmyzzynypzpxiiiiiiiziiyi1i1Jnnxp①mzxxzzpyi1iiiiii1iixiiznnJypzi1iiiiii1iiyiix根據泊松括號的定義：s②qppqi1所以,JynJxJxJxJxJxi1qppq同理可知：J,J0,J,j0謝謝閱讀y y z z由②得：sJxJJxJJ,Jyyxyqppqi1**nJJxyxpi1iixnxpypiiyiixi1

JJJxyxpixxyiiJz

JyJxppiy iy

JJyxyzii

JJJyxyppzizizi同理可得：J,JJ ,J,JJ精品文檔放心下載y z x z x y5.26解由題5.25可知J,JJ的表達式xy,z因為p1,pp0,pp00;yy0,yppxyz故,pysJpJpJxpqxyxyi1Jnypzpxiiziiyyi1yinppiz z1同理可求得：J,pJnxpypnziiyiixppzyyyixxi1ii1J0J,pyyyyJ,pp,J,pp謝謝閱讀y z x y x zJ,pp,J,p0感謝閱讀x z y x xJ,pp,J,p0謝謝閱讀z x y z z**即J,pp,J,pp,J,pp感謝閱讀x y z y z x z x yJ,pp,J,pp,J,pp謝謝閱讀x z p y x z z y xJ,p0,J,p0,J,p0謝謝閱讀x x y y z z5.27證取廣義坐標q x

,q

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