5.2導數(shù)的運算5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)A級基礎(chǔ)鞏固1.下列等式正確的是()A.x-1x'=1-B.(cos2x)'=2cosxC.sinxxD.(2sin2x)'=2cos2x解析:A項,x-1x'=1+B項,(cos2x)'=2cosx·(-sinx)=-sin2x;D項,(2sin2x)'=2cos2x×2=4cos2x.答案:C2.若直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切,則a的值為()A.1B.2C.-1D.-2解析:設(shè)切點為(x0,y0),則y0=x0+1,y0=ln(x0+a).對于曲線y=ln(x+a),y'=1x+a,所以1x0+a所以y0=ln1=0,x0=-1,所以a=2.答案:B3.函數(shù)y=sin2x的圖象在點π6,14A.3 B.33 C.12解析:因為y'=2sinxcosx,所以y'|x=π6=2sinπ6答案:D4.曲線y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離等于5.解析:設(shè)l是曲線y=ln(2x-1)的切線,且與直線2x-y+3=0平行.對于曲線y=ln(2x-1),y'=22令y'=22x-1=2,解得x=1,則易知切線l與曲線y=ln(2x-由點到直線的距離公式,得d=|2×15.在平面直角坐標系中,曲線y=ex2在點(4,e2)處的切線與兩條坐標軸所圍成三角形的面積S=e解析:因為y'=12所以切線的斜率k=y'|x=4=12e2所以切線的方程為y-e2=12e2(x-4),即y=e22x-所以切線與兩條坐標軸的交點分別為(2,0),(0,-e2),所以所求三角形的面積S=e2.6.已知f(x)=(x+1+x2)10,解:因為(1+x2)'=[(1+x2)12]'=12(1+x2)-1所以f'(x)=10(x+1+x2)9[1+x(1+x2)-所以f'(0)=10.又因為f(0)=1,所以f'(0)B級拓展提高7.曲線y=cos2x+π6在x=πA.1 B.-1 C.2 D.-2解析:因為y'=-2sin2x所以曲線y=cos2x+π6在x=π6處的切線的斜率k=-答案:D8.曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為()A.y=2x B.y=xC.y=-2x D.y=-x解析:因為y=2ln(x+1),所以y'=2x+1.當x=0時,y'=2,所以曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y-0=2(x-0),即答案:A9.函數(shù)f(x)=2x+x2的導數(shù)f'(x解析:設(shè)y=f(x)=2x+x2,u=2x+x2,故y=2x+x2可以看成是由y=所以f'(x)=y'x=y'u·u'x=12u-12×(2+210.求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y=1((2)y=log2(4x+7);(3)y=2x解:(1)令u=1-3x,則y=u-4,所以y'=-4u-5×(1-3x)'=-4(1-3x)-5×(-3)=12(1-3x)-5.(2)令u=4x+7,則y=log2u,所以y'=1u·ln2·(4x+7)(3)令u=x2+3x+1,則y=2u,所以y'=2u(ln2)·(x2+3x+1)'=(ln2)(2x+3)2x11.曲線y=e2xcos3x在點(0,1)處的切線與直線l的距離為5,求直線l的方程.解:y'=(e2x)'·cos3x+e2x·(cos3x)'=2e2xcos3x-3e2xsin3x,所以y'|x=0=2.所以曲線y=e2xcos3x在點(0,1)處的切線方程為y-1=2(x-0),即y=2x+1.設(shè)所求直線l的方程為y=2x+b,則5=|b-1|5,所以b=所以直線l的方程為y=2x+6或y=2x-4.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新12.多選題已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象如圖所示,令g(x)=f(x)+f'(x),則下列關(guān)于函數(shù)g(x)的說法正確的是()A.函數(shù)g(x)圖象的對稱軸方程為x=kπ-π12(k∈B.函數(shù)g(x)的最大值為2C.函數(shù)g(x)的圖象上存在點P,使得在P點處的切線與直線l:y=3x-1平行D.若方程g(x)=2的兩個不同的解分別為x1,x2,則|x1-x2|的最小值為π解析:根據(jù)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象知A=2,T4=2π3-π6=π2,所以T=2π,ω=根據(jù)圖象知,當x=π6時,ωx+φ=π6+φ=π2+2kπ,又|φ|<π2,所以φ=π3,所以f(x)=2sinx+π3.所以f'(x所以g(x)=f(x)+f'(x)=2sinx+π3+2cosx+π3=22sinx令x+7π12=π2+kπ,k∈Z,解得x=-π12+kπ,k所以函數(shù)g(x)圖象的對稱軸方程為x=-π12+kπ,k∈Z,A正確當x+7π12=π2+2kπ,k∈Z時,函數(shù)g(x)取得最大值22,B因為g'(x)=22cosx+7π12,所以g'(x)≤22<3,所以不存在點P,使得在P點處的切線與直線l:y=3x-1平行方程g(x)=2,即22sinx+7π12=2,所以sinx+7π12=22,解得x+7π12=π4+2kπ,k∈Z或x+7π12=3π4+2kπ,k∈Z,所以當方程的兩個不同的解分別為x1,x故選AD.答案:AD13.多空題函數(shù)f(x)=x2+12x-1的導數(shù)是f'(x)=-x+2(2x-1)2x2+1,解析:因為(x2+