專題04二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質考點類型知識串講（一）一般式化為頂點式（配方法）利用配方法可以將y=ax2+bx+c轉化為頂點式,即y=ax2+bx+c=a=a頂點是（二）二次函數y=ax2+bx+c的圖像與性質a的符號a>0a<0圖象??開口方向向上向下對稱軸?頂點坐標?增減性當x<-?時,y隨x的增大而減小;當x>-?時,y隨x的增大而增大當x<-?時,y隨x的增大而增大;當x>-?時,y隨x的增大而減小最值當時y最小值=當時y最大值=（三）待定系數法求解解析式形式內容適用條件一般式y=ax2+bx+c(a、b、c為常數,a≠0)當已知拋物線上任意三點坐標時,通常設函數的關系式為一般式,然后列出關于a、b、c的三元一次方程組求解頂點式y=a(x-h)2+k(a、h、k為常數,a≠0),拋物線的頂點坐標為(h,k)當已知拋物線的頂點坐標、對稱軸或最值時,通常設函數的關系式為頂點式,然后代入已知點的坐標,解方程交點式y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2為常數,a≠0),其中x1、x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標當已知拋物線與x軸的兩交點坐標時,通常設函數的關系式為交點式,然后代入另一點的坐標,解關于a的一元一次方程（四）函數圖像與各系數的關系a決定拋物線的開口方向及開口大小當a＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下.某些特殊形式代數式的符號：a±b+c即為x=±1時，y的值；②4a±2b+c即為x=±2時，y的值.2a+b的符號，需判對稱軸-eq\f(b,2a)與1的大小.若對稱軸在直線x=1的左邊，則-eq\f(b,2a)＞1，再根據a的符號即可得出結果.④2a-b的符號，需判斷對稱軸與-1的大小.a、b決定對稱軸（x=-eq\f(b,2a)）的位置當a，b同號，-eq\f(b,2a)＜0，對稱軸在y軸左邊；當b＝0時，-eq\f(b,2a)=0，對稱軸為y軸；當a，b異號，-eq\f(b,2a)＞0，對稱軸在y軸右邊．c決定拋物線與y軸的交點的位置當c＞0時，拋物線與y軸的交點在正半軸上；當c＝0時，拋物線經過原點；當c＜0時，拋物線與y軸的交點在負半軸上.b2－4ac決定拋物線與x軸的交點個數b2－4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點;b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點;b2－4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點考點訓練考點1：一般式化為頂點式典例1：（2023·遼寧鞍山·統考一模）將拋物線y=x2+4x-4向下平移2個單位長度，再向左平移3【答案】y=【分析】將二次函數一般式化為頂點式，再利用平移規律即可解答．【詳解】解：∵y=x∴向下平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度可得解析式：y=x+2+3∴新拋物線的表達式為y=x故答案為y=x【點睛】本題考查了二次函數的平移，學會化簡二次函數的解析式是解題的關鍵．【變式1】（2022春·全國·九年級專題練習）將y=x2-2x+3化成y=ax-h【答案】x-1【分析】利用配方法，進行一般式轉化為頂點式即可．【詳解】解：y=x故答案為：x-12【點睛】本題考查將一般式轉化為頂點式．熟練掌握配方法，是解題的關鍵．【變式2】（2023春·廣東河源·九年級校考階段練習）拋物線y=-x2-2x+2的開口方向___________，對稱軸是___________【答案】下x=-1-1【分析】根據二次項系數確定開口方向，利用配方法轉化為頂點式，即可求出對稱軸和頂點坐標．【詳解】∵y=-x2-2x+2，∴開口方向向下．∵y=-x∴對稱軸是x=-1，頂點坐標是-1，故答案為：下，x=-1，-1，【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數y=ax-h2+k的對稱軸是直線x=h，【變式3】（2023·四川成都·統考一模）將二次函數y=2x2-8x+13化成y=a【答案】y=2【分析】根據配方法將一般式轉化成頂點式，即可解答．【詳解】解：y=2=2=2=2=2x-2故答案為：y=2【點睛】本題考查了把一般式化成頂點式，熟練運用配方法是解題的關鍵．考點2：求二次函數的頂點與對稱軸（配方法、公式法）典例2：（2023·湖南永州·校考一模）二次函數y=x2-4x+3，當-1≤x<4時，y【答案】-1≤y≤8/8≥y≥-1【分析】先把函數化成頂點式y=x-22-1，求出二次函數的最小值，再求出當x=-【詳解】解：∵二次函數解析式為y=x∴當x=2時，y有最小值-1，當x=-1當x=4時，y=4∴當-1≤x≤4時，y的取值范圍為-1≤y≤8，故答案為：-1≤y≤8．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質和二次函數的最值，能把函數化成頂點式和求出當x=-1和x=4【變式1】（2022秋·江蘇淮安·九年級校考階段練習）二次函數y=2x2+4x+3【答案】1【分析】根據配方法化為頂點式即可求解．【詳解】解：y=2=2x+1∵2>0，∴當x=-1時，最小值為1，故答案為：1．【點睛】本題考查了二次函數的性質，化為頂點式是解題的關鍵．【變式2】（2023秋·河南洛陽·九年級統考期末）當x=___________時，二次函數y=2x【答案】-34【分析】把二次函數的解析式化為頂點式，根據二次函數的性質即可解答．【詳解】解：∵y=2x2+3x-1=2∴當x=-34時，二次函數故答案為：-【點睛】此題考查了二次函數的最值，熟練掌握把二次函數的頂點式是解題的關鍵．【變式3】（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習）二次函數y=2x2-8x+10≤x≤3的最小值是【答案】-71【分析】根據二次函數圖像與性質，在0≤x≤3范圍內求出最值即可得到答案．【詳解】解：∵y=2x∴拋物線開口向上，對稱軸為x=2，頂點坐標為2,-7，∵0≤2≤3，∴當x=2時，y=-7，即二次函數y=2x2-8x+1∵x=0到x=2的距離為2；x=3到x=2的距離為1，∴當x=0時，代入y=2x2-8x+1得y=1，即二次函數y=2∴0≤x≤3時，函數y=2x2-8x+1的最小值為-7故答案為：-7，1．【點睛】本題考查二次函數圖像與性質，熟練掌握二次函數最值求法是解決問題的關鍵．考點3：二次函數y=ax2+bx+c的圖像與性質典例3：（2023·山東德州·統考一模）下表中列出的是二次函數y=ax2+bx+c的自變量xx…-2013…y…12-8-12-8…下列各選項中，正確的是（

）A．abc<0B．這個函數的最小值是-12C．一元二次方程ax2D．當x>1時，y的值隨x值的增大而增大【答案】C【分析】先利用待定系數法求出二次函數的解析式，然后根據二次函數的性質即可判斷A、B、D選項，解相應的方程即可判斷C選項，進而可得答案.【詳解】解：把點0,-8,1,-123,-8c=-8a+b+c=-129a+3b+c=-8，解得：所以拋物線的解析式為y=2x∴abc>0，這個函數的最小值是-252，當x>32時，故A、B、D選項錯誤；方程ax2+bx+c+8=0即為2x2故選：C.【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式以及二次函數的性質等知識，正確求解函數的解析式、熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.【變式1】（2023·河南省直轄縣級單位·校聯考一模）已知點A-4,y1，B-3,y2，C0,y3，D2,y4在二次函數y=ax2+4ax-6A．a>12 B．a<-2 C．a>12或【答案】C【分析】先求出y1=a×-42+4a×-4-6=-6<0，同理：y2=-3a-6，y3=-6<0，y4=12a-6，根據y【詳解】根據題意有：y1同理：y2=-3a-6，y3∵y1，y2，y3，y∴y2=-3a-6>0y解得：a<-2，或者a>1故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質以及不等式的知識，正確求出y1，y2，y3【變式2】（2023秋·九年級單元測試）二次函數y=ax2+bx+c的圖象開口向上，與x軸的交點坐標為1,0和-5,0A．b2-4ac<0 B．x>0時，y的值隨C．對稱軸是直線x=-3 D．9a-3b+c<0【答案】D【分析】根據二次函數圖像與性質解答即可．【詳解】解：A、二次函數y=ax2+bx+c與x軸的交點坐標為1,0、-5,0，∴與xB、二次函數y=ax2+bx+c與x軸的交點坐標為1,0、-5,0，對稱軸=-2，又∵圖象開口向上，∴x>0時，yC、二次函數y=ax2+bx+c與x軸的交點坐標為1,0、-5,0D、當x=-3時，y=9a-3x+c，∵二次函數與x軸有兩個交點1,0、-5,0，開口向上，∴當x=-3時，y=9a-3b+c<0，故該選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的圖像與性質，靈活運用所學知識點是解題關鍵．【變式3】（2023·廣東廣州·統考一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0與A．當x>0時，y隨x的增大而減小 B．當x>-1時，y隨x的增大面增大C．圖像在第三象限內，y隨x的增大而增大 D．圖像在第四象限內，y隨x的增大而增大【答案】D【分析】根據函數圖像及函數的性質直接逐個判斷即可得到答案；【詳解】解：由圖像可得，二次函數開口向上a>0，對稱軸在y軸左側，對稱軸左邊y隨x的增大而減小，右邊y隨x的增大而增到，與對稱軸相交時函數取最小值，∴當x>0時，y隨x的增大而增大，故A錯誤不符合題意，對稱軸無法判斷故當x>-1時，y隨x的增大面增大不正確，不符合題意；圖像在第三象限內，y隨x的增大有增大也有減小，故不符合題意，第四象限圖像在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，故選D．【點睛】本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是根據圖像得到開口向上a>0，對稱軸在y軸左側，對稱軸左邊y隨x的增大而減小，右邊y隨x的增大而增到，對稱軸時取最小．考點4：二次函數對稱性的應用典例4：（2023·浙江寧波·統考一模）如圖，二次函數y=ax2+bx+ca≠0圖象經過點A-1,-2，對稱軸為直線x=1，則9a+3b【答案】-2【分析】由二次函數y=ax2+bx+ca≠0圖象經過點【詳解】解：∵二次函數y=ax2+bx+ca≠0圖象經過點∴二次函數y=ax2+bx+c∴9a+3b+c=-2，故答案為：-2【點睛】本題主要考查二次函數圖象的對稱性，解題的關鍵是掌握數形結合思想的應用．【變式1】（2023春·江蘇常州·九年級常州實驗初中校考階段練習）已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上部分點的橫坐標xx……-1234……y……52510……當x=-2時，y=__________．【答案】10【分析】結合表格求出拋物線的對稱軸，根據對稱性求解即可．【詳解】解：由表格可知，y=ax2+bx+c(a≠0)1--2∴x=-2與x=4關于對稱軸對稱，當x=4時，y=10，故當x=-2時，y=10，故答案為：10．【點睛】本題考查了函數表達式的列表法及二次函數圖像的對稱性；解題的關鍵是找到對稱軸和對應點．【變式2】（2023春·江蘇常州·九年級校考期末）二次函數y=ax-12+h的圖象經過點A0,4【答案】2【分析】根據題意可得二次函數的對稱軸為直線x=1，從而得到0+m2【詳解】解：∵二次函數y=ax-1∴二次函數的對稱軸為直線x=1，∵二次函數y=ax-12+h∴A、B關于對稱軸對稱，∴0+m2∴m=2，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握y=ax-k【變式3】（2023春·吉林長春·九年級吉林省第二實驗學校校考階段練習）已知點Px1,y1，Qx2,y2在拋物線y=x2-6x+3上，且t<【答案】t<1【分析】根據拋物線解析式可得對稱軸為x=3，然后分四種情況列出不等式組即可得到答案．【詳解】解：∵拋物線y=x∴對稱軸為：x=--6又∵二次項系數為1>0，∴當x>3時，y隨x的增大而增大，當x<3時，y隨x的增大而減小，①當點Px1,t≥36-t≥t+2不等式組的解集為空集；②當點Px1,t+2≤3t≥8-t不等式組的解集為空集；③當點Px1,設點Px1,x1∴x1∵t<x∴4-t<x∵y1∴x1∴t+2<36-t>3解得：t<1；④當點Qx2,設點Px1,由③可知：∴4-t<x∵y1∴x1∴t>38-t<3不等式組的解集是空集；綜上所述，t的取值范圍是t<1．故答案為：t<1．【點睛】本題考查二次函數圖像上點的坐標特征，二次函數的性質，不等式組的應用，運用了分類討論的思想．解題的關鍵是分類畫出圖形，根據二次函數的性質列不等式組．考點5：二次函數y=ax2+bx+c的圖像與各系數的關系典例5：（2022春·九年級課時練習）二次函數y=ax-m2+n的圖象如圖，則一次函數y=mx+n【答案】二/2【分析】由二次函數解析式表示出頂點坐標，根據圖形得到頂點在第四象限，求出m與n的正負，即可作出判斷．【詳解】解：根據題意得：拋物線的頂點坐標為m，∴m>0則一次函數y=mx+n經過一、三、四象限，不經過第二象限．故答案為：二．【點睛】此題考查了二次函數與一次函數圖象與系數的關系，熟練掌握二次函數及一次函數的圖象與性質是解本題的關鍵．【變式1】（2022秋·浙江寧波·九年級浙江省余姚市實驗學校校考期末）二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，有以下結論:①abc>0；②a+b+c<0；③4a+b=0；④若點1,y1和3,【答案】②③④【分析】拋物線經過原點推出c=0，可得①錯誤，根據x=1時，y<0，可以判定②正確，根據對稱軸公式，可得③正確，根據對稱性，可知點1,y1和3,y2關于對稱軸對稱，推出【詳解】解：觀察圖象可知c=0，∴abc=0,故①錯誤,∵x=1時,y<0,∴a+b+c<0,故②正確,∵對稱軸x=-∴4a+b=0，故③正確,∵點(1,y1)和∴y1=y故答案為：②③④【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上的點的特征等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式2】（2023·上海·一模）如圖所示的拋物線y=x2-bx+b2【答案】3【分析】把原點坐標代入拋物線解析計算即可求出b的值，再跟進拋物線的對稱軸在y軸的右邊判斷出b的正負情況，然后求解即可．【詳解】解：有圖可知，拋物線經過原點（0，將（0，0）代入02解得：b=±3，∵拋物線的對稱軸在y軸的右邊，∴--b∴b>0，∴b=3，故答案為：3．【點睛】本題考查了二次函數圖像上點的坐標特征，準確識圖判斷出函數圖像經過原點坐標是解題的關鍵．【變式3】（2023秋·江蘇鎮江·九年級統考期末）已知二次函數y=ax2+bx+ca≠0，其中自變量x……-1237……y……-1.54.8-1.5-12……下列判斷中，正確的是________（填序號）．①頂點是2,4.8；②a<0；③b2-4ac<0；④當x=-5時，y=-12；⑤當x>1.5時，y【答案】②④⑤【分析】由(-1,-1.5)，(3,-1.5)可得拋物線的對稱軸為直線x=1，由(-1,-1.5)，(2,4.8)，(3,-1.5)可知拋物線的開口向下，進而逐項判斷即可得到結論．【詳解】已知拋物線經過(-1,-1.5)，(3,-1.5)，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，∴頂點不是2,4.8，故①錯誤；由2,4.8，(3,-1.5)，可得x>1時，y隨著x的增大而減小，∴拋物線開口向下，∴a<0，故②∵拋物線經過點(-1,-1.5)，(2,4.8)，(3,-1.5)，∴拋物線與x軸有兩個交點，∴b2-4ac>0，故∵拋物線的對稱軸為直線x=1，且拋物線經過(7,-12)，∴拋物線經過點(5,-12)，∴當x=-5時，y=-12，故④正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=1，∴x>1.5時，y隨著x的增大而減小，故⑤正確；故答案為：②④⑤【點睛】本題主要考查二次函數的圖像性質，根據拋物線經過的點判斷拋物線的開口方向及對稱軸，掌握二次函數與方程和不等式的關系是解題的關鍵．考點6：根據二次函數的圖像判斷式子的符號典例6：（2023·山東菏澤·統考二模）已知二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖像如圖所示，有5個結論：①abc>0；②b<a+c；③9a+3b+c<0；④c<-3a；⑤【答案】③④⑤【分析】根據拋物線的開口方向、x=-1、x=3時的函數值小于0【詳解】∵拋物線的開口向下，∴a<0∵-b∴b>0，∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，∴c>0，∴abc<∴結論①錯誤；∵當x=-1時，y=a-b+c<0∴結論②錯誤；∵當x=-1和x=3∴y=9a+3b+c<0，∴結論③正確；∵x=-b∴b=-2a，∵由x=-1時，y=a-b+c<0得a+2a+c<0∴結論④正確；∴由圖象知當x=1時函數取得最大值，∴am2+bm+c≤a+b+c∴結論⑤正確．故填：③④⑤．【點睛】此題主要考查了二次函數的圖象與系數的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口；②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置；當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左側；當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右側，（簡稱：左同右異）③常數項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于0,c【變式1】（2023秋·陜西西安·九年級西安市曲江第一中學校考期末）二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，與y軸交于0,-1，對稱軸為直線x=1．下列結論：①abc>0；②a>13；③對于任意實數m，都有mam+b>a+b成立；④若-2,y1【答案】①②④【分析】判斷出a，b，c的正負，可判斷①；利用對稱軸公式可得，b=-2a，當x=-1時，y>0，解不等式可判斷②；由圖象可知函數的最小值為a+b+c，所以對于任意m都有am【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a>0，∵拋物線與y軸交于點0，∴c=-1，∵-b∴b=-2a<0，∴abc>0，故①正確，∵y=ax當x=-1∴a+2a-1>0，∴a>13，故由圖象可得，對于任意m都有am即am∴m（故③不正確；，∵點-2，y1∴y1∵點12,y∴y3∴y2<y故答案為：①②④．【點睛】本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是掌握函數圖像上點的特征，屬于中考常考題型．【變式2】（2023·山東棗莊·統考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0交x軸于A-1,0，B3,0，交y軸的負半軸于C，頂點為D．下列結論：①bc<0；②2a+b=0；③2a+c>0；④當m≠1時，a+b<am2+bm【答案】②④【分析】結合圖象，根據二次函數的性質及與坐標軸的交點依次判斷即可得出結果．【詳解】解：①拋物線y=ax2+bx+ca≠0開口向上，對稱軸在∴a>0,b<0,c<0，∴bc>0，故①錯誤；②∵二次函數與x軸交于點A-1,0，B∴二次函數的對稱軸為x=-1+32=1∴2a+b=0．故②正確；③∵二次函數y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于點∴a-b+c=0,9又∵b=-2a．∴3b=-6a，∴3a+c=0，∴2a+c=-a<0．故③錯誤；④∵拋物線開口向上，對稱軸是x=1．∴x=1時，二次函數有最小值．∴m≠1時，a+b+c<am即a+b<am故④正確；⑤當a=1時，b=-2a=-2，c=-3a=-3，∴y=x∴點D坐標為(1,-4)．∴DF=4，連接AD,BD，∵A-1,0，B∴AF=BF=2，∴AD=BD=AF∵AB=4，∴AD2∴△ABD不是等腰直角三角形；故⑤錯誤；綜上可得正確的有②④故選答案為：②④．【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系，關鍵是找出圖象中和題目中的有關信息，來判斷問題中結論是否正確．【變式3】（2023·安徽滁州·校考二模）如圖是二次函數y=ax2+bx+c的圖像的一部分圖像過點A(-3,0)，對稱軸為x=-1①b2>4a；②2a-b=1；③a-b+c=0；【答案】①④/④①【分析】根據題目給的信息，判斷出a，b，c的關系，代入求出即可；【詳解】解：由圖像開口向下得a<0，由對稱軸x=-1得，-b2a=-1把A(-3,0)代入得，9a-3b+c=0，∴3a+c=0，c=-3a，∴b2>4a成立，2a-b=2a-2a=0，a-b+c=a-2a-3a=-4a>0，5a-b=5a-2a=3a<0，故∴正確的為①④，故答案為：①④．【點睛】本題主要考查根據二次函數圖像判斷式子的值，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質．考點7：求二次函數的最值典例7：（2022秋·九年級單元測試）若實數x、y滿足方程：x2+y+3x-3=0，則x+y的最大值=【答案】4【分析】由題意可得y=-x2-3x+3【詳解】解：∵x2∴y=-x∴x+y=x-x∵-1<0，∴當x=-1時，x+y有最大值，最大值為4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了求二次函數的最值．熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵．【變式1】（2023秋·江蘇泰州·九年級統考期末）若x+y=2，則xy+1的最大值為______．【答案】2【分析】根據題意可得x=2-y，代入可得xy+1=-y-1【詳解】解：∵x+y=2，∴x=2-y，∴xy+1=2-y∴當y=1時，xy+1的最大值為2，故答案為：2．【點睛】本題考查二次函數的性質，正確理解題意是解題的關鍵．【變式2】（2022秋·浙江溫州·九年級校考階段練習）已知二次函數y=x2-4x+1，當-1<x<4時，y【答案】-3≤y<6【分析】將二次函數解析式化為頂點式，根據拋物線開口方向及頂點坐標求解．【詳解】解：∵y=x∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x=2，頂點坐標為(2,-3)，將x=-1代入y=x2-4x+1∴當-1<x<4時，y的取值范圍是-3≤y<6，故答案為：-3≤y<6．【點睛】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系．掌握二次函數與不等式的關系．【變式3】（2023·安徽合肥·校考一模）已知二次函數y=-x（1）當m=2時，二次函數y=-x2+mx+2-m（2）當-1≤x≤2時，二次函數y=-x2+mx+2-m的最大值為6，則m【答案】18或-【分析】（1）將m=2代入y=-x（2）先求得拋物線的對稱軸，再分情況討論：①當m2≤-1時，②當-1<m2<2【詳解】（1）解：將m=2代入y=-x得：y=-x當x=1時，函數有最大值1，故答案為：1；（2）解：∵y=-x∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-m①當m2≤-1時，即∵-1≤x≤2，在對稱軸右側，y隨x的增大而減小，∴當x=-1時，y有最大值為6，∴--1解得：m=-5②當-1<m2<2當x=m2時，y有最大值為∴-m解得：m=2±25∵-2<m<4，∴m=2±5③當m2≥2時，即∵-1≤x≤2，在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，∴當x=2時，y有最大值為6，∴-2解得：m=8，綜上所述，m的值為8或-5【點睛】本題考查了二次函數的最值，確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標，當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值．考點8：待定系數法求解析式——一般式典例8：（2022秋·九年級單元測試）已知二次函數y=ax2+bx-1的圖像過A2，【答案】y=【分析】把A2，0和B4，5的坐標代入【詳解】解：把A2，0和4a+2b-1=0所以二次函數的表達式為y=1【點睛】本題主要考查考了用待定系數法求解拋物線解析式，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．【變式1】（2022秋·九年級單元測試）如果拋物線y=x2-k經過點1,-4，那么k【答案】5【分析】把點1,-4代入y=x【詳解】解：把點1,-4代入y=x∴-4=∴k=5.故答案為：5.【點睛】本題主要考查了用待定系數法求二次函數的解析式，本題比較基礎，較簡單．【變式2】（2023·湖南永州·校考一模）已知二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的yx-113y3-33當x=2時，函數值為______．【答案】-【分析】待定系數法求解析式，進而令x=2，即可求解．【詳解】解：由表格數據可得a+b+c=-3解得：a=∴二次函數解析式為：y=3當x=2時，y=3故答案為：-3【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，掌握待定系數法求二次函數解析式是解題的關鍵．【變式3】（2023秋·江蘇淮安·九年級統考期末）已知二次函數y=x2+x+m的圖像過點1,4，則m【答案】2【分析】把點1,4代入y=x2+x+m求出【詳解】把點1,4代入y=x4=1+1+m

m=2故答案為：2【點睛】本題主要考查了利用待定系數法求二次函數表達式.二次函數圖像上的點的坐標都滿足函數關系式，掌握以上知識是解題的關鍵.考點9：待定系數法求解析式——頂點式典例9：（2022秋·九年級單元測試）已知二次函數圖象的對稱軸是直線x=2，函數的最小值為3，且圖象經過點-1,5，則此二次函數的解析式是_____．【答案】y=【分析】由題意可知二次函數的圖象的頂點坐標為2,3，所以設其解析式為“頂點式”，再代入點-1,5，即可求出解析式．【詳解】根據題意，設二次函數的解析式為y=ax-2將點-1,5代入得，5=a-1-2整理得：9a=2，解得：a=∴二次函數的解析式為：y=2故答案為：y=2【點睛】本題考查二次函數的解析式，解題的關鍵是理解題意，設出解析式的“頂點式”．【變式1】（2022秋·廣東汕頭·九年級統考期末）已知拋物線的頂點坐標是2，-3，且與y軸的交點坐標為0，【答案】y=2【分析】根據已知信息直接設該拋物線的頂點式y=ax-h2+k【詳解】解：由題意，設該拋物線解析式為y=ax-22-3將0，5代入得：解得：a=2，∴y=2x-2故答案為：y=2x【點睛】本題考查求二次函數解析式，一般包括三類：①一般式y=ax2+bx+ca≠0；②頂點式y=ax-h2+ka≠0，其中頂點坐標為h,k；【變式2】（2022秋·福建泉州·九年級校考階段練習）已知拋物線y=ax2+bx+c【答案】y=-【分析】根據拋物線的對稱軸和已知點得到與x軸的另一個交點為-1,0，從而得到-b2a=1，0=9a+3b+c，0=a-b+c，求出a，b【詳解】解：由圖可得：拋物線對稱軸為直線x=1，且經過點3,0，∴拋物線與x軸的另一個交點為-1,0，∴-b2a=1，0=9a+3b+c解得：a=-1b=2∴對應的函數關系式為：y=-x故答案為：y=-x【點睛】本題考查了待定系數法求拋物線表達式，解題的關鍵是從圖像中獲取關鍵信息．【變式3】（2023秋·九年級單元測試）拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C0,3【答案】y=-【分析】根據頂點坐標設頂點式y=ax+12+4【詳解】解：∵此拋物線的頂點坐標為M-1,4∴設拋物線的表達式為y=ax+1又∵拋物線與y軸交于C0,3∴3=a0+1解得：a=-1，∴此拋物線的表達式為y=-x+1故答案為：y=-x【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，根據已知條件設出頂點式是解題的關鍵．同步過關一、單選題1．（2023春·江蘇·九年級專題練習）拋物線y=ax2+bx+c經過點A(-3,0)，對稱軸是直線x=-1，則a+b+c=A．6 B．8 C．9 D．0【答案】D【分析】根據對稱性求出拋物線與x軸的另一個交點（1，0），代入解析式即可求．【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A(-3,0)∴根據對稱性，拋物線y=ax2+bx+c0=a+b+c；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數圖象與性質，解題關鍵是根據對稱性求出拋物線與x軸的另一個交點坐標．2．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯考期中）已知二次函數y=-x2+2x-3，用配方法化為y=aA．y=-x-12-2C．y=-x-12+4【答案】A【分析】利用配方法先提出二次項系數，再加上一次項系數的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式．【詳解】解：y=-x2+2x-3=-（x2-2x+1）+1-3=-（x-1）2-2，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數解析式的三種形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）；（2）頂點式：y=a（x-h）2+k；（3）交點式（與x軸）：y=a（x-x1）（x-x2）．3．（2022秋·北京西城·九年級北京四中校考階段練習）已知二次函數y=-x2+2x+m，分別取x1=-1，x2=A．y3 B．y2 C．y【答案】B【分析】根據題意可得二次函數的圖象的對稱軸為直線x=1【詳解】解：∵y=-∴二次函數的圖象的對稱軸為直線x=1∴二次函數的圖象上的點離對稱軸越遠，函數值越小，∵1--1∴y1∴最大的為y2故選：B【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．4．（2023秋·浙江杭州·九年級期末）已知二次函數y=x2-3x+m（m為常數）的圖象與x軸有兩個交點，其中一個交點為-1,0A．-1,0 B．2,0 C．3,0 D．4,0【答案】D【分析】先求出二次函數的對稱軸，再根據對稱性即可得出答案．【詳解】設與x軸的另一交點為(a,0)二次函數y=x2則a-解得a=4即另一交點為(4,0)故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的性質（對稱性），熟記二次函數的性質是解題關鍵．5．（2023秋·廣西防城港·九年級統考期中）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OC＝2OB則下列結論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③ac﹣2b+4＝0；④OA?OB＝caA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①根據拋物線的開口方向向上得a＞0、對稱軸在y軸左側得b＞0、與y軸的交點在y軸負半軸得c＜0，進而可得結論；②當x＝1時，不能說明y的值即a＋b＋c是否大于還是小于0，即可判斷；③設B點橫坐標為x2，根據OC＝2OB，用c表示x2，再將B點坐標代入函數解析式即可判斷；④根據一元二次方程根與系數的關系即可判斷．【詳解】①觀察圖象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，所以①正確；②當x＝1時，y＝a＋b＋c，不能說明y的值是否大于還是小于0，所以②錯誤；③設A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），∵OC＝2OB，∴?2x2＝c，∴x2＝?12c，∴B（?12c，將點B坐標代入y＝ax2＋bx＋c中，14c2a?12bc＋c∴ac?2b＋4＝0所以③正確；④當y＝0時，ax2＋bx＋c＝0，方程的兩個根為x1，x2，根據根與系數的關系，得x1?x2＝ca即OA?OB＝?x1x2＝?ca所以④故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系、二次函數圖象上點的坐標特征、拋物線與x軸的交點，解決本題的關鍵是綜合運用二次函數的圖象和性質．6．（2023秋·河北邢臺·九年級邢臺市第七中學校考期末）將拋物線y=x2-2x+2所在的平面直角坐標系進行平移，得到y=A．先向右平移2個單位，再向上平移1個單位B．先向左平移2個單位，再向上平移1個單位C．先向左平移2個單位，再向下平移1個單位D．先向右平移2個單位，再向下平移1個單位【答案】C【分析】找到兩個拋物線的頂點，根據拋物線的頂點即可判斷是如何平移得到．【詳解】解：∵y=x2-2x+2=x-12+1∴將拋物線y=x2-2x+2所在的平面直角坐標系向左平移2個單位，再向下平移故選：C．【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知拋物線平移規律“上加下減，左加右減”的法則和運動的相對性是解答此題的關鍵．7．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象經過點（1，0），對稱軸是直線x＝－1，下列結論錯誤的是（

）A．abc＞0 B．b2－4ac＞0C．2a－b＝0 D．3a＋2c＜0【答案】D【分析】根據二次函數的圖象與性質即可依次判斷各項．【詳解】由二次函數圖象開口向下，a＜0，函數與y軸交于正半軸，c＞0對稱軸x=-1＜0，故a，b同號，b＜0故abc＞0，A正確；∵二次函數與x軸有兩個交點，故b2－4ac＞0，B正確；對稱軸x=-∴b=2a故2a－b＝0，C正確；∵3a＋2c=a+2a+2c=a+b+c+c∵當x=1時，y=a+b+c=0∴a+b+c+c＞0故3a＋2c＞0，D錯誤；故選D．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，解決本題的關鍵是掌握二次函數的圖象和性質及點的坐標特征．8．（2023春·八年級課時練習）已知拋物線y=(m+1)x2+5有最高點，則mA．m<-1 B．m>-1 C．m≤-1 D．m≥-1【答案】A【分析】根據拋物線y=(m+1)x2+5【詳解】解：∵拋物線y=(m+1)x∴拋物線開口向下，∴m+1<0，解得m<-1，故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數圖像與系數的關系，根據題意得出拋物線開口向下，得出m+1<0是解本題的關鍵．9．（2022秋·浙江杭州·九年級校考期中）若拋物線y＝ax2+2ax+4a(a＞0)上有A(-32，y1)、B(2，y2)、C(32，y3)三點，則y1、y2、y3的大小關系為A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1【答案】B【分析】先求出拋物線對稱軸，根據題意可知拋物線開口向上，再根據三個點與對稱軸距離的大小及拋物線的增減性即可判斷縱坐標的大小．【詳解】解：拋物線的對稱軸是x＝﹣1，開口向上，且與x軸無交點，∴與對稱軸距離越近的點對應的縱坐標越小．A、B、C三點與對稱軸距離按從小到大順序是A、C、B，∴y1＜y3＜y2，故選B．【點睛】本題主要考查了拋物線先上點坐標的特征，找準對稱軸以及拋物線的增減性是解題的關鍵．10．（2022春·全國·九年級專題練習）已知k是不為0的常數，則函數y=kx與y=kx2+A．B．C．D．【答案】A【分析】分兩種情況：k>0或k<0，分別依據一次函數和二次函數的性質和圖象進行判斷即可．【詳解】解：當k>0時，拋物線y=kx2+k2當k<0時，拋物線y=kx2+k2開口向下，與y故選：A．【點睛】本題考查了一次函數和二次函數的性質和圖象，熟練掌握知識點并能夠運用分類討論的思想是解題的關鍵．11．（2023·四川成都·統考一模）二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結論錯誤的是A．a<0 B．b<0 C．c>0 D．b【答案】B【分析】據拋物線的開口方向得出a的符號，可判斷A；根據拋物線的對稱軸在y軸的右側，a，b異號，得出b的符號，可判斷B；根據拋物線與y軸的交點情況得到c的符號，可判斷C；根據拋物線與x軸交點情況得到b2-4ac【詳解】解：A．由二次函數的圖象開口向下可得a＜0，故A正確；B.∵x=-b2a>0,a<0,∴b>0C.圖象與y軸相交于正半軸，所以c>0，故C正確；D.圖象與x軸有兩個交點，所以b2-4ac>0，故D故選：B.【點睛】本題考查二次函數圖象與系數關系.對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）來說，①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線開口向下；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越小．②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置．當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點個數．△=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸無交點．12．（2022·陜西西安·九年級西安市鐵一中學校考期中）設點(-2，y1)，A．y1>y2>y3 B．【答案】B【分析】根據拋物線解析式求得對稱軸為直線x=1，開口向上，根據離對稱軸越遠，函數值越大，分別計算三個點到坐標軸的距離，即可求解．【詳解】解：∵y=x2∴a>0，開口向上，對稱軸為直線x=1，∵點(-2，y11--2∴y1故選B．【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質，掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．13．（2022秋·廣西南寧·九年級統考期中）二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=1，下列結論：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a-b=0；④A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】由拋物線開口方向得到a＞0，根據對稱軸-b2a＞0，判斷b＜0，再根據圖象與y軸負半軸，可知c＜0，則可對①進行判斷；利用判別式的意義和拋物線與x軸有2個交點可對②進行判斷；根據拋物線的對稱軸為直線x=-b2a=1，即可判斷③；利用x=1時，y＜0【詳解】詳解：∵拋物線開口向上，∴a＞∵拋物線的對稱軸為直線x=-b2a=1∴b＜∵圖象與y軸負半軸，∴c＜∴abc＞0，所以∵拋物線與x軸有2個交點，∴Δ=b2所以②正確；∵拋物線的對稱軸為直線x=-b∴2a+b=0．所以③錯誤；∵x=1時，y＜∴a+b+c＜而c＜∴a+b+2c＜0，所以∵b=-2a，而x=-1時，y＞0，即∴3a+c＞0所以正確的有②④⑤，共3個．故選：B．【點睛】本題考查的是二次函數的性質，解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．14．（2023秋·河北廊坊·九年級廊坊市第四中學校考期中）關于二次函數y=2x2+x-1，下列說法正確的是（

）A．圖像與y軸的交點坐標為(0，1) B．圖像的對稱軸在y軸的右側C．當x＜0時，y的值隨x值的增大而減小 D．y的最小值為-9【答案】D【分析】根據題目中的函數解析式可以判斷各個選項中的結論是否成立，從而可以解答本題．【詳解】∵y=2x2+x-1＝2（x＋14）2?9∴當x＝0時，y＝?1，故選項A錯誤，該函數的對稱軸是直線x＝?14，故選項B當x＜?14時，y隨x的增大而減小，故選項C當x＝?14時，y取得最小值，此時y＝?98，故選項故選：D．【點睛】本題考查二次函數的性質、二次函數的最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．15．（2022·四川廣安·統考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=1，與x軸正半軸的交點為A（3，0），其部分圖象如圖所示，有下列結論：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（43，y1）、C（13，y2）、D（-13，y3）是拋物線上的三點，則y1<y2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據二次函數的圖象與性質一一判斷即可．【詳解】解：由圖象可知，開口向上，圖象與y軸負半軸有交點，則a>0，c<0，對稱軸為直線x=-b2a=1∴abc>0，故①正確；當x=3時，y=9a+3b+c=0，∵b=-2a，∴3a+c=0，即3a=-c∴2c-3b=2×(-3a)-3×(-2a)=0，故②錯誤；∵對稱軸為直線x=-b∴拋物線與x軸負半軸的交點為（-1，0），∴a-b+c=0，∵9a+3b+c=0，兩式相加，則10a+2b+2c=0，∴5a+b+c=0，故③錯誤；∵|-13-1|=43∴43∴根據開口向上，離對稱軸越近其對應的函數值越小，則有y3>y∴正確的結論有2個，故選：B【點睛】本題考查了二次函數的圖象及性質；熟練掌握二次函數圖象及性質，能夠通過函數圖象提取信息是解題的關鍵．二、填空題16．（2022春·江蘇·九年級專題練習）已知點（3，a）在拋物線y=-2x2+2x上，則a=______．【答案】-12【分析】把點（3，a）代入解析式即可求得a的值．【詳解】解：∵點（3，a）在拋物線y=-2x2+2x上，∴a=-2×32+2×3=-18+6=-12，故答案為：-12．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，圖象上點的坐標適合解析式是解題的關鍵．17．（2023秋·安徽淮北·九年級統考階段練習）請寫一個二次函數，滿足以下兩個條件：（1）函數圖象的開口向下：（2）函數圖象經過點-2,1，該二次函數的表達式是________．【答案】答案不唯一，如y=-x2+5【分析】按照要求選擇表達式即可．【詳解】開口向下，則a小于零；過點（-2,1）則令x=-2，y=1建立等式，再選擇使等式成立的a，b的值即可．故答案可為y=-x2+5【點睛】本題考查過定點，且開口方向確定的二次函數的表達式的確定，理解二次函數圖像性質是本題解題關鍵．18．（2023·江蘇連云港·統考二模）拋物線y=-3x2+6x+2【答案】x=1【分析】拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為【詳解】解：∵a=-3，b=6，∴拋物線對稱軸為直線x=-b故答案為：x=1．【點睛】本題考查的是拋物線的對稱軸，掌握拋物線的對稱軸方程的公式是解題的關鍵．19．（2023秋·四川南充·九年級南部縣第二中學校考階段練習）當x=m或者x=n(m≠n)時，代數式x2+3x-1的值相等，則x=m+n時，代數式x2【答案】-1【分析】由題意可知m、n為二次函數y=x2+3x-1圖象上對稱點的橫坐標，找出二次函數y=x2+3x-1的對稱軸為x=-32，從而求得x=m+n=-3，再把x=-3【詳解】解：∵當x=m或x=n（m≠n）時，代數式x2+3x-1的值相等，∴m、n為二次函數y=x2+3x-1圖象上對稱點的橫坐標，∴以m、n為橫坐標的點關于直線x=-32×1=-32對稱，則m+n∴m+n=-3．當x=m+n=-3時，x2+3x-1=(-3)2+3×(-3)-1=-1．故答案為：-1．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數的對稱性和對稱軸公式，是基礎題，熟記性質和得出m+n=-3是解題的關鍵．20．（2022·全國·九年級專題練習）若點A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（4，y3）為二次函數y＝﹣x2＋4x＋5的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關系是____（用“＞”號連接）．【答案】y2＞y3＞y1【分析】求出函數的對稱軸為直線x＝2，由于函數開口向下，則函數圖象上的點離對稱軸越遠所對應的函數值越小，由此即可求解．【詳解】解：∵二次函數y＝﹣x2+4x+5中a＝﹣1，∴函數圖象開口向下，∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴函數的對稱軸為直線x＝2，∵A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（4，y3），∴A點到對稱軸的距離為3，B點到對稱軸的距離為1，C點到對稱軸的距離為2，∴y2＞y3＞y1，故答案為：y2＞y3＞y1．【點睛】本題考查了二次函數的圖象性質，由解析式求出對稱軸是解題關鍵．21．（2023秋·全國·九年級階段練習）已知拋物線經過（0，﹣3），（﹣2，﹣5），（2，﹣7）三點，則其開口方向是____．（填“向上”或“向下”）【答案】向下【分析】根據三點的坐標代入拋物線解析式y=ax2+bx+c（【詳解】設拋物線解析式為y=ax2+bx+c拋物線經過（0，﹣3），（﹣2，﹣5），（2，﹣7）三點，∴解得a=-∴拋物線解析式為y=-∵a=-3∴則其開口方向是向下．故答案為：向下．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，求得解析式是解題的關鍵．22．（2023秋·天津·九年級天津市第四十二中學校考階段練習）若二次函數y=-2x2+4x-n的最大值為-1，則n【答案】3【分析】先把二次函數化為頂點式，進而即可求解．【詳解】解：∵二次函數y=-2x2+4x-n=-2∴2-n=-1，∴n=3，故答案是：3．【點睛】本題主要考查二次函數的最大值，把二次函數化為頂點式，是解題的關鍵．23．（2023·山東·九年級專題練習）二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象的一部分如圖所示．已知圖象經過點-1，0，其對稱軸為直線x=1．下列結論：①abc>0；②4a+2b+c<0；③若拋物線經過點-3，n，則關于x的一元二次方程ax2【答案】③④/④③【分析】根據二次函數圖象的性質，得a<0，b=-2a，根據二次函數的對稱性，得4a+2b+c=c、點-3，n關于y=ax2+bx+ca≠0對稱軸x=1的對稱點為5【詳解】解：∵二次函數y=ax∴a<0∵二次函數y=ax2+bx+c∴-b2a=1∴b>0，∵二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象和∴c>0，∴abc<0，即∵二次函數y=ax2+bx+c∴x=0和x=2對應的函數值相同，即4a+2b+c=c，∴4a+2b+c>0，即②不正確；點-3，n關于y=ax2+bx+c∵拋物線經過點-3，∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0a≠0的兩根分別為-3，∵二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象和x軸的交點為：∴當x=-1∵a<0∴5a+c=3a+c+2a=2a<0，即④正確；綜上，正確的有③④；故答案為：③④．【點睛】本題考查了二次函數、一元二次方程的知識；解題的關鍵是熟練掌握二次函數圖象的性質，從而完成求解．24．（2022·全國·九年級專題練習）若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數根，則下列結論中：①b2-4ac≥0；②方程cx2+bx+a=0，一定有兩個不相等的實數根；③設t＝-b2a，當a＜0時，一定有at2+bt＞ax2+bx；④若m、n（m＜【答案】②④/④②【分析】根據方程的根的判別式即可判斷①②；根據二次函數的最值即可判斷③；根據二次函數與二次方程之間的關系，由關于x的方程1+x-px-q=0畫出函數y=x-p【詳解】①∵一元二次方程ax2+bx+c=0（∴Δ=b2-4ac>0②∵一元二次方程ax2+bx+c=0（∴b2∴方程cx2+bx+a=0③∵a＜0，∴拋物線開口向下，當x＝-b設t＝-b2a，當a＜0時，一定有at2+bt+c≥a④依題意，畫出函數y=x-px-q函數圖像為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標分別為p，q（p＜q），方程1+x-p轉化為x-px-q＝﹣1方程的兩根是拋物線y＝x-px-q與直線y＝﹣1由m＜n，可知對稱軸左側交點橫坐標為m，右側交點的橫坐標為n，拋物線開口向上，則在對稱軸左側，y隨x增大而減少，則有m＜p；在對稱軸右側，y隨x增大而增大，則有q＜n．綜上所述，可知q＞n＞m＞p，結論④正確．故答案為：②④．【點睛】本題考查了根的判別式、二次函數與一元二次方程的關系，考查了數形結合的數學思想，掌握二次函數的性質是解決此題的關鍵．25．（2023·江蘇南通·統考二模）已知拋物線y=ax2+bx-3過點m-b,m2-mb-3m≠b，與y軸和直線x=4分別相交于點A、B，點Mm,n為拋物線上A，B兩點之間（包含A，【答案】b≤-4【分析】先將點m-b,m2-mb-3代入拋物線解析式求出a的值，再求出點A,B的坐標，然后根據點M【詳解】解：將點m-b,m2-mb-3a(m-b)整理得：(a-1)(m-b)∵m≠b，∴a-1=0，解得a=1，則拋物線的解析式為y=x當x=0時，y=-3，即A(0,-3)，當x=4時，y=42+4b-3=13+4b∵點Mm,n為拋物線上A，B兩點之間（包含A，B兩點）的一個動點，且n≤-3∴13+4b≤-3，解得b≤-4，故答案為：b≤-4．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，利用待定系數法求出a=1是解題關鍵．三、解答題26．（2023·江西南昌·九年級南昌市第三中學校考階段練習）（1）解方程：(x+3)2=2x+6．

（2）將二次函數y=-2x2+8x-3【答案】（1）x1=-3，x2=-1；（2）二次函數y=-2x-2【分析】（1）先變形得到(x+3)2（2）先按要求將原拋物線的解析式配方成頂點式，再回答問題．【詳解】（1）解：(x+3)2(x+3)(x+3-2)=0，x+3=0或x+3-2=0，所以x1=-3，（2）∵二次函數為y=-2x∴二次函數y=-2（∴頂點坐標為(2,5)，對稱軸為x=2．【點睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法和二次函數用配方法把一般式改為頂點式，從而確定對稱軸和頂點坐標．解題關鍵會熟練使用配方法.27．（2023秋·山東煙臺·九年級統考期中）已知拋物線y=2x2+bx+c經過點(1，0)，(0（1）求該拋物線的函數表達式；（2）將拋物線y=2x【答案】（1）y=2x2-5x+3；（2）將拋物線向左平移54個單位，向上平移【分析】（1）把已知點的坐標代入拋物線解析式求出b與c的值即可；（2）把函數化為頂點式，即可得到平移方式與平移后的函數表達式．【詳解】（1）把(1，0)，(0，3)代入拋物線解析式得：2+b+c=0c=3解得：b=-5c=3則拋物線解析式為y=2（2）拋物線y=2將拋物線向左平移54個單位，向上平移1解析式變為y=2x【點睛】此題考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，以及待定系數法求二次函數解析式，熟練掌握二次函數性質是解本題的關鍵．28．（2022春·九年級課時練習）已知拋物線y=14x2+bx+c的對稱軸為直線x=2【答案】y=【分析】根據拋物線的對稱軸－b2a＝2，即可確定b的值，將點（0，【詳解】解：∵拋物線y=14x2+bx+c∴－b∴b＝－∵拋物線經過點（0，1），代入函數解析式可得：∴c＝1∴該拋物線的解析式為y=1【點睛】題目主要考查利用對稱軸及點的坐標確定函數解析式，熟練掌握根據待定系數法確定函數解析式是解題關鍵．29．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市第四十五中學校考階段練習）（1）將函數y=12（2）畫出其圖象并回答問題：當-3<x≤3時，y的范圍是【答案】（1）y=12x+12【分析】（1）根據配方法求解即可；（2）根據（1）中求得的表達式畫出圖象即可，根據圖象即可得到y的范圍．【詳解】解：（1）y=故答案為：y=（2）列表如下：x-5-3-113y60-206在平面直角坐標系中描出各點，用平滑的曲線連接如圖所示：由圖象可得，當-3<x≤3時，y的范圍是【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象和性質．30．（2022·四川綿陽·校考模擬預測）如圖，是一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀，當水面的寬度為10m時，橋洞與水面的最大距離是5m．(1)求拋物線的表達式；(2)因為上游水庫泄洪，水面寬度變為6m，求水面上漲的高度．【答案】(1)y=-(2)水面上漲的高度為165【分析】（1）先建立適當的平面直角坐標系，然后根據題意確定函數解析式；（2）根據題意將x=3代入求解即可．【詳解】（1）如圖：以水面為x軸、橋洞的頂點所在直線為y軸建立平面直角坐標系，根據題意，得A（5，0），C（0，5），設拋物線解析式為：y=ax把A（5，0）代入，得a=-1所以拋物線解析式為：y=-1（2）當x=3時，y=-1所以當水面寬度變為6m，則水面上漲的高度為165m【點睛】本題考查了二次函數的應用，建立適當的平面直角坐標系是解決本題的關鍵．31．（2023秋·九年級單元測試）已知二次函數y=ax2﹣2ax+c的圖象與x軸交于A、B兩點（A左B右），與y軸正半軸交于點C，AB=4，OA=O