考點04一元二次方程實際問題分類方法總結1傳播問題技巧：公式a(1+x)n=M其中a為傳染源（一般a=1），n為傳染輪數，M為最后得病總人數2增長率問題技巧：b=a(1±x)n，n為增長或降低次數,b為最后產量，a為基數，x為平均增長率或降低率3形積問題技巧：根據圖形的性質和面積公式，聯系一元二次方程的根，注意涉及到面積的和差，切勿混淆！4數字問題技巧：注意個位和十位數字的表示，特別是涉及到互換位置的時候，根據題意直接列出方程即可！,5商品銷售問題技巧：銷售總額＝單件售價×數量總利潤：單件利潤×數量＝（售價－進價）×數量利潤＝成本×利潤率6動點幾何問題技巧：先把動點走過的路程用時間表示出來，再把剩余的路長用時間表示出來，根據題意列方程！,7相互問題（循環、握手、互贈禮品等）技巧：循環問題：又可分為單循環問題n(n-1)，雙循環問題n(n-1).考點1傳播問題考點2增長率問題考點3形積問題考點4數字問題考點5商品銷售問題考點6動點幾何問題考點7相互問題（循環、握手、互贈禮品等）考點1傳播問題1．（2023秋·全國·九年級專題練習）新冠肺炎病毒是一種傳染性極強的急性呼吸道傳染病，感染者的臨床以發熱、乏力、干咳為主要表現．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，經過兩輪傳染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，則每輪傳染中平均一個人傳染了（）A．12人 B．13人 C．14人 D．15人【答案】B【分析】設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，再根據“經過兩輪傳染后共有196人”列方程求解即可．【詳解】解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，根據題意，得，解得：或（舍去），答：每輪傳染中平均一個人傳染了13個人．故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，讀懂題意、準確找到等量關系列出方程是解答本題的關鍵．2．（2022秋·湖南岳陽·九年級校考期中）新冠肺炎奧密克戎變異株自2021年底出現后，目前已成為全球流行的變異株，更是近期深圳感染的主要毒株，潛伏期更短，傳播力更強，傳播速度更快．變異株2分鐘左右進入宿主細胞，分鐘左右呈現指數復制，小時后釋放成熟的病毒顆粒，通過氣溶膠等方式進行傳播．若有兩個人患了該新冠肺炎，經過兩輪傳播后共有338個人被傳染，那么每輪傳染中平均一個人傳染幾個人（

）A．13 B．11 C．12 D．14【答案】C【分析】根據題意可得第一輪人數加第二輪人數，再加第三輪人數總數為338人，設平均每人感染人，則列式為．即可解答．【詳解】解：設每輪傳染中平均一個人傳染了個人，根據題意，得．解得：或（舍去）．∴每輪傳染中平均一個人傳染了12個人，故選C．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．3．（2021秋·廣東佛山·九年級統考階段練習）某年，豬肉價格不斷上漲，主要是由非洲豬瘟疫情導致，非洲豬瘟疫情發病急，蔓延速度快，某養豬場第一天發現頭生豬發病，兩天后發現共有頭生豬發病．(1)求每頭發病生豬平均每天傳染多少頭生豬？(2)若疫情得不到有效控制，按照這樣的傳染速度，天后生豬發病頭數會超過頭嗎？【答案】(1)每頭發病生豬平均每天傳染頭生豬(2)若疫情得不到有效控制，天后生豬發病頭數會超過頭【分析】（1）設每頭發病生豬平均每天傳染頭生豬，根據“第一天發現頭生豬發病，兩天后發現共有頭生豬發病”，即可得出關于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據天后生豬發病頭數=天后生豬發病頭數，即可求出天后生豬發病頭數，再將其與進行比較即可得出結論．【詳解】（1）解：設每頭發病生豬平均每天傳染頭生豬，依題意，得，解得：，（不合題意，舍去）．答：每頭發病生豬平均每天傳染7頭生豬．（2）（頭），．答：若疫情得不到有效控制，3天后生豬發病頭數會超過1500頭．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．4．（2023秋·全國·九年級專題練習）春季是傳染病多發季節．2023年3月，我國某地甲型流感病毒傳播速度非常快，開始有4人被感染，經過兩輪傳播后，就有256人患了甲型流感．若每輪傳染的速度相同，求每輪每人傳染的人數．【答案】每輪每人傳染的人數為7人【分析】設每輪每人傳染的人數為x人，則第一輪中有人被感染，第二輪中有人被感染，根據“開始有4人被感染，經過兩輪傳播后，就有256人患了甲型流感”，可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【詳解】解：設每輪每人傳染的人數為x人，則第一輪中有人被感染，第二輪中有人被感染，根據題意得：，即，解得：，(不符合題意，舍去)．答：每輪每人傳染的人數為7人．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．考點2增長率問題5．（2023春·安徽六安·八年級校考期中）春天是萬物萌動的開始，是一個充滿詩情畫意的季節．合肥非遺園在春季積極開展特色櫻花節，吸引了大量的游客前來觀賞游玩．據統計：在三月份該景點接待游客約為4萬人，三、四、五三個月共接待游客約為13.24萬人，若這三個月平均每月接待游客人數的增長率相同，設平均增長率為，則根據題意，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】等量關系為：三月份產量+三月份產量×（1+增長率）+三月份產量×（1+增長率）2=13.24【詳解】這三個月平均每月接待游客人數的增長率相同，設平均增長率為，則故選：B【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，求平均變化率的方法為：若設變化前的量為，變化后的量為，平均變化率為，則經過兩次變化后的數量關系為．6．（2023·福建泉州·統考模擬預測）年某電影上映的第一天票房為億元，第二天、第三天單日票房持續增長，三天累計票房為億元，若第二天、第三天單日票房按相同的增長率增長，設平均每天票房的增長率為，則根據題意，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據第一天的票房及平均每天票房的增長率，可得出該電影上映的第二天票房為億元，第三天票房為億元，結合三天累計票房為億元，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：某電影上映的第一天票房為億元，且平均每天票房的增長率為，該電影上映的第二天票房為億元，第三天票房為億元，根據題意得，故選：D．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．7．（2023秋·全國·九年級專題練習）某超市于今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續走高．在售價不變的基礎上，三月底的銷售量達到400件．設二、三這兩個月的月平均增長率不變．(1)求二、三這兩個月的月平均增長率；(2)從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經調查發現，該商品每降價1元，銷售量增加5件，當商品降價多少元時，商場獲利4250元？【答案】(1)25%(2)5元【分析】（1）設二、三這兩個月的月平均增長率為x，則二月份的銷售量為：件；三月份的銷售量為：件，又知三月份的銷售量為400件，由此等量關系列出方程求出x的值即可解答；（2）設當商品降價m元時，商品獲利4250元，再利用“銷量每件商品的利潤4250”列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設二、三這兩個月的月平均增長率為x，根據題意可得：，解得：，（不合題意舍去）．答：二、三這兩個月的月平均增長率為25%．（2）解：設當商品降價m元時，商品獲利4250元，根據題意可得：，解得：，（不合題意舍去）．答：當商品降價5元時，商品獲利4250元．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，正確理解題意、找到等量關系列出方程是解題的關鍵．8．（2023春·安徽滁州·八年級校聯考階段練習）隨著我國數字化閱讀方式的接觸人群持續增多，數字閱讀憑借獨有的便利性成為了更快獲得優質內容的重要途徑．某市2020年數字閱讀市場規模為500萬元，2022年為845萬元．(1)求2020年到2022年該市數字閱讀市場規模的年平均增長率．(2)若年平均增長率不變，問2023年該市數字閱讀市場規模是否可以達到1000萬元？【答案】(1)(2)可以達到【分析】（1）設兩次平均增長率為x，（）；據此模型列方程即可求解；（2）可得，可預計出2023年該市數字閱讀市場規模，將其與700萬元比較后即可求解．【詳解】（1）解：設2020年到2022年該市數字閱讀市場規模的年平均增長率為，根據題意得，解得，（不符合題意，舍去）．答：2020年到2022年該市數字閱讀市場規模的年平均增長率為．（2）解：由題意得（萬元）．，預計2023年該市數字閱讀市場規模能達到1000萬元．【點睛】本題主要考查了一元二次方程在增長率問題中的應用，掌握典型模型是解題的關鍵．考點3形積問題9．（2023春·河北邢臺·九年級統考開學考試）某農戶，用長的籬笆圍成一個一邊靠住房墻（墻長），且面積為的長方形花園，垂直于住房墻的一條邊留有一個寬的門，設垂直于住房墻的另一條邊的邊長為，如圖所示，若可列方程為，則★表示的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】確定平行于墻的一邊與的關系即可求解．【詳解】解：由題意可得：平行于墻的一邊為：即為：故選：B【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用．根據題意確定長方形的長和寬即可．10．（2023春·重慶沙坪壩·八年級統考期末）如圖，一塊長16m，寬8m的矩形菜地，現要在中間鋪設同樣寬度的石子路，余下的部分用于種植，且種植面積為105m2．設石子路的寬度為xm，則下面所列方程正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】設小路的寬為xm，則草坪的總長度為，總寬度為，根據題意列出方程即可求出答案．【詳解】解：設小路的寬為xm，則草坪的總長度為，總寬度為，根據題意，得：．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，弄清楚草坪的總長度和總寬度是解題關鍵．11．（2023春·江蘇泰州·八年級統考期末）學校課外興趣活動小組準條利用長為8m的墻和一段長為26m的籬笆圍建一個矩形的苗圃園，設平行于墻一邊長為xm．

(1)如圖1，如果矩形花園的一邊靠墻，另三邊由籬笆圍成，當苗圃園的面積為60時，求x的值；(2)如圖2，如果矩形苗圃園的一邊由墻和一節籬笆構成，另三邊由籬笆圍成，當苗圃園的面積為60時，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）可求，根據矩形的面積，列出方程，求出的解根據實際情況進行檢驗，即可求解；（2）可求，根據矩形的面積，列出方程，求出的解根據實際情況進行檢驗，即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，由題意得：，整理得：，解得：，，，不合題意舍去，．答：當苗圃園的面積為60時，x的值為．（2）解：四邊形是矩形，，，解得：，由題意得：，整理得：，解得：，，不合題意舍去，．答：當苗圃園的面積為60時，x的值為．【點睛】本題主要考查了一元二次方程在面積問題中的應用，一元一次不等式組的應用，找出等量關系式是解題的關鍵．12．（2023春·山西臨汾·九年級統考開學考試）“口袋公園”是面向公眾開放，規模較小，形狀多樣，具有一定游憩功能的公園綠化活動場地，類型包括小游園、小微綠地等．近年來，我市以全面推動生態文明建設、創建國家園林城市為目標，以滿足市民對便捷游園的期待和要求為導向，從綠著手，以美為善，為美而行，在城區范圍內興建了30多個主題鮮明、特色突出、以小而靈、以精致勝的“口袋公園”．某“口袋公園”有一道長為16米的墻，計劃用35米長的圍欄靠墻圍成一個面積為150平方米的矩形草坪，求該矩形草坪邊的長．

【答案】該矩形草坪BC邊的長為15米【分析】可設邊的長為x米，則AB的長是米，根據長方形的面積公式列出一元二次方程求解．【詳解】解：設邊的長為x米，且，根據題意得：解得：，，∵，∴不合題意，舍去，即：，答：該矩形草坪BC邊的長為15米．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，再設出未知數，列出方程．考點4數字問題13．（2023春·湖南湘潭·九年級校聯考開學考試）讀詩詞，列方程：大江東去浪淘盡，千古風流人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數，十位恰小個位三，個位平方與壽符．（詩詞大意；周瑜英年早逝，逝世時的年齡是一個兩位數，十位數字比個位數字小3，個位數字的平方剛好是周瑜逝世時的年齡），設周瑜逝世時的年齡的個位數字為x，則列出的方程正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設周瑜逝世時的年齡的個位數字為x，則周瑜逝世時的年齡的十位數字為，根據“個位數字的平方剛好是周瑜逝世時的年齡”，列出方程，即可得出答案．【詳解】解：設周瑜逝世時的年齡的個位數字為x，則周瑜逝世時的年齡的十位數字為，根據題意，可得：．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解本題的關鍵在理清題意，正確列出方程．14．（2023春·四川廣安·九年級四川省武勝烈面中學校校考階段練習）如圖，是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出個位置相鄰的數（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9個數中，最小數x與最大數的積為161，那么根據題意可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據日歷上數字規律得出，圈出的9個數，最大數與最小數的差為16，以及利用最大數與最小數的積為161，列出方程即可．【詳解】解：根據圖表可以得出，圈出的9個數，最大數與最小數的差為16，設最小數為，則最大數為，根據題意得出：，故選：B．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據已知得出最大數與最小數的差為16是解題關鍵．15．（2023·江蘇蘇州·蘇州市立達中學校校考一模）第十四屆國際數學教育大會（ICME—14）會徽的主題圖案有著豐富的數學元素，展現了我國古代數學的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數符號寫出的八進制數3745，八進制是以8作為進位基數的數字系統，有0~7共8個基本數字，八進制數3745換算成十進制數是，表示ICME—14的舉辦年份．(1)八進制數3747換算成十進制數是______；(2)小華設計了一個n進制數234，換算成十進制數是193，求n的值．【答案】(1)2023；(2)．【分析】（1）根據所給例子計算即可得解；（2）根據n進制數和十進制數的計算方法得到關于n的方程，解方程即可求解．【詳解】（1）故答案為：2023（2）由題意，得，解得，（舍負）【點睛】本題考查了有理數的混合運算，以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是弄清各個進制數轉化為十進制數的計算方法．16．（2023·全國·九年級專題練習）閱讀材料，回答下列問題：反序數：有這樣一對數，一個數的數字排列完全顛倒過來變成另一個數，簡單的說，就是順序相反的兩個數，我們把這樣的一對數稱為“反序數”，比如：的反序數是，的反序數是．用方程知識解決問題：若一個兩位數，其十位上的數字比個位上的數字大3，這個兩位數與其反序數之積為，求這個兩位數．【答案】【分析】設這個兩位數的個位數字為x，則十位數字為，根據這個兩位數與其反序數之積為，可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【詳解】解：設這個兩位數的個位數字為x，則十位數字為，根據題意得：，∴，即，∴，∴解得或（舍去），∴，∴這個兩位數為．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．考點5商品銷售問題17．（2023春·浙江溫州·八年級蒼南縣金鄉鎮第二中學校聯考階段練習）某商店經銷一種銷售成本為40元的水果，據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克：銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，設銷售單價為每千克（）元，月銷售利潤達8000元.則方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據題意銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，得到銷售單價為時銷量為：，再根據：利潤（單價成本）數量，列出方程即可得出答案．【詳解】解：售價為時的銷量為：，月銷售利潤達8000時得：，故答案選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意找出數量關系列出方程是解題關鍵．18．（2023春·浙江紹興·八年級統考期末）某花圃用花盆培育某種花苗，經過試驗發現，每盆花的盈利與每盆株數構成一定的關系，每盆植入3株時，平均單株盈利10元；以同樣的栽培條件，若每盆每增加1株，平均單株盈利就減少1元，要使每盆的盈利為40元，需要每盆增加幾株花苗？設每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合題意的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據已知假設每盆花苗增加株，則每盆花苗有株，得出平均單株盈利為元，根據每盆花苗株數平均單株盈利每盆的總盈利即可得出方程．【詳解】解：設每盆應該多植株，由題意得，故選：B．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，根據每盆花苗株數平均單株盈利總盈利得出方程是解題關鍵．19．（2023春·安徽亳州·八年級校考期中）某商店如果將進貨價為元的商品按每件元售出，每天可銷售件，現在采取降低售價，增加售貨量的方法增加利潤，已知這種商品每降價元，其銷量增加件．(1)若降價x元，則每天的銷量為_______件（用含x的代數式表示）；(2)要使每天獲得元的利潤，請你幫忙確定售價；(3)該商店能否通過降價銷售的方式保證每天獲得元的利潤？并說明理由．【答案】(1)(2)24元(3)不能，理由見解析【分析】（1）利用每天的銷量，即可用含x的代數式表示出降價x元時每天的銷量；（2）設每件降價y元，則每件的銷售利潤為元，每天的銷量為件，利用每天銷售該商品獲得的利潤=每件的銷售利潤×每天的銷量，可得出關于y的一元二次方程，解之可得出y值，將符合題意的值代入中，即可求出售價應定為元/件；（3）設每件降價m元，則每件的銷售利潤為元，每天的銷量為件，利用每天銷售該商品獲得的利潤一每件的銷售利潤×每天的銷量，可得出關于m的一元二次方程，由根的判別式可得出所列一元二次方程沒有實數根，即可判斷．【詳解】（1）解：設這種商品降價x元，∵這種商品每降價元，其銷量增加件，∴每天的銷量為：（件），故答案為：；（2）設這種商品降價y元，則根據題意得，，整理得，解得（舍去），，∴售價為（元），答：售價定為24元時，每天可獲得720元的利潤；（3）該商店不能通過降價銷售的方式保證每天活得1500元的利潤，理由如下：設每件降價m元，根據題意，整理得，∵，∴該一元二次方程無實數根，∴該商店不能通過降價銷售的方式保證每天獲得1500元的利潤．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用、列代數式以及根的判別式，解題的關鍵是∶（1）根據各數量之間的關系，用含x的代數式表示出降價x元時每天的銷量；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（3）牢記“當時，方程無實數根”．20．（2023·江蘇鹽城·統考二模）某服裝銷售商用元購進了一批時尚新款服裝，通過網絡平臺進行銷售，由于行情較好，第二次又用元購進了同種服裝，第二次購進數量是第一次購進數量的2倍，每件的進價多了元．(1)該銷售商第一次購進了這種服裝多少件，每件進價多少元？(2)該銷售商賣出第一批服裝后，統計發現：若按每件元銷售，每天平均能賣出件，銷售價每降低元，則多賣出件．依此行情，賣第二批服裝時，讓利促銷，并使一天的利潤恰好為元，銷售價應為多少？【答案】(1)第一次購進了這種服裝100件，每件進價240元(2)銷售價定為270元/件【分析】（1）設每件進價x元，根據第二次購進數量是第一次購進數量的2倍，每件的進價多了元，列出方程，解出方程即可；（2）設銷售價為m元/件，根據使一天的利潤恰好為元，列出方程，解出方程即可．【詳解】（1）解：設第一次購進了這種服裝x件，由題意可得：，解得，經檢驗：是所列方程的解，并符合題意，則，答：第一次購進了這種服裝件，每件進價元；（2）解：設銷售價為m元/件，則每天銷售量為：（件），（元），則由題意可得：，整理，得，解得：，，讓利促銷，（舍去），取，答：銷售價定為元/件．【點睛】本題考查一元二次方程和分式方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，列出方程．考點6動點幾何問題21．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，，，點從點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿向點以的速度移動，當點到達點時，均停止運動，若的面積等于，則運動時間為（）A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒【答案】A【分析】根據題意當運動時間為秒時，，則，，可用含的式子表示的面積，列方程求解即可．【詳解】解：當運動時間為秒時，，則，，根據題意得：，即，整理得：，解得：，，當時，，不符合題意，舍去，∴，∴運動時間為秒，故選：．【點睛】本題主要考查動點與幾何圖形的綜合，理解動點運動的規律，掌握幾何圖形面積的計算方法，解一元二次方程的方法等是解題的關鍵．22．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿向點C以的速度移動，當點Q到達點C時，P，Q均停止運動，若的面積等于，則運動時間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【答案】A【分析】當運動時間為t秒時，，，根據的面積等于，可得出關于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【詳解】解：當運動時間為t秒時，，，根據題意得：，即，整理得：，解得：，，當時，，不符合題意，舍去，∴．∴運動時間為1秒．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．23．（2023春·湖南湘潭·九年級校聯考開學考試）在矩形中，，，點P從點A開始沿邊向終點B以的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿BC向終點C以的速度移動，如果P，Q分別從A，B同時出發，當點Q運動到點C時，兩點停止運動．設運動時間為t秒．

(1)填空：運動時間t的取值范圍．(2)是否存在t的值，使得的長度等于？若存在，請求出此時t的值，若不存在，請說明理由．(3)是否存在t的值，使得五邊形的面積等于？若存在，請求出此時t的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析(3)存在，【分析】（1）根據當點Q運動到點C時，兩點停止運動，即可得出t的取值范圍；（2）根據題意得出，，根據勾股定理可得：，列出方程，計算其判別式，即可判斷；（3）根據長方形的面積減去的面積等于五邊形的面積，列出方程，然后求解即可得到結果．【詳解】（1）解：點Q運動到點C所需時間為：∵當點Q運動到點C時，兩點停止運動，∴；故答案為：（2）解：根據題意可得：，∵∴，∵四邊形為矩形，∴，在中，根據勾股定理可得：，即，整理得：，∵，∴該方程無實數根，∴不存在t的值，使得的長度等于；（3）解：存在．理由如下：∵長方形的面積是：，五邊形的面積等于，∴的面積為，即有：，解得，．當時，，不合題意，舍去，即當時，使得五邊形的面積等于．【點睛】本題考查四邊形綜合題，考查了矩形的性質，多邊形的面積，勾股定理，一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意得出各條線段長度，列出方程求解．24．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖所示，在中．，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動．當P、Q兩點中有一點到達終點，則同時停止運動．(1)如果P、Q分別從A、B同時出發，那么幾秒后，的面積為．(2)如果P、Q分別從A、B同時出發，那么幾秒后，的長度等于．(3)在（1）中的面積能否等于？說明理由．【答案】(1)1秒(2)2秒(3)不可能等于，理由見詳解【分析】（1）設P，Q分別從A，B同時出發，x秒后，，，，則，令，列出方程即可求出符合題意得解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）的面積能否等于，只需將，化簡該方程后，判斷該方程的判別式與0的關系，大于等于0則可以，否則不可以．【詳解】（1）解：設x秒后，的面積為，此時，，，，則，令，即，整理得：，解得：或，當時，，說明此時點Q越過點C，不合要求，舍去，答：1秒后的面積為；（2）解：由，得，整理得，解方程得：（舍去），，所以2秒后的長度等于；（3）解：的面積不可能等于，理由如下：設即，整理得，∵，∴方程沒有實數根，所以的面積不可能等于．【點睛】本題主要考查一元二次