專題24：多面體的外接球半徑常見求法<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>球作為特殊的旋轉(zhuǎn)體，不僅在數(shù)學(xué)中，而且在物理學(xué)地理學(xué)中都是經(jīng)常研究的對象，如果一個多面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上,那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體,這個球?yàn)槎嗝骟w的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，多面體的與外接球直接的關(guān)系如何，球心的位置如何尋求呢？<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型題型一：尋求軸截面圓半徑法該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.例1(2021·全國甲卷理科)已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個點(diǎn),且AC⊥BC,AC=BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為(

)A.212 B.312 C.24【思路點(diǎn)撥】先確定△ABC所在的截面圓的圓心O1為斜邊AB的中點(diǎn)，然后在Rt△ABC和Rt△AOO1【規(guī)范解析】解：因?yàn)锳C⊥BC，AC=BC=1，所以△ABC為等腰直角三角形，

所以△ABC所在的截面圓的圓心O1為斜邊AB的中點(diǎn)，所以O(shè)O1⊥平面ABC，

在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=2，則AO1=練1(2022·湖南省湘潭市模擬·多選)如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為P，其軸截面△PAB是邊長為6的為正三角形，O1為底面的圓心，EF為圓O1的一條直徑，球O內(nèi)切于圓錐(與圓錐底面和側(cè)面均相切)，點(diǎn)Q是球O與圓錐側(cè)面的交線上一動點(diǎn)，則(

)A.圓錐的表面積是45π

B.球O的體積是43π

C.四棱錐Q-AEBF體積的最大值為93

D.【思路點(diǎn)撥】設(shè)截面圓圓心為O2，根據(jù)題意得出球O的半徑|OO1|=3，

|【規(guī)范解析】

解：依題意，動點(diǎn)Q的軌跡是圓，所在平面與圓錐底面平行，令其圓心為O2，連接P如圖，正△PAB內(nèi)切圓即為球O的截面大圓，球心O、截面圓圓心O2都在線段PO1上，

連接OQ，O2Q，PO1=33，

則球O的半徑OO1=3，

顯然OQ⊥PQ，O2Q⊥PO，∠POQ=60°，OO2=12OQ=32，O2Q=32OQ=32，O1O2=332，

對于A，圓錐的表面積是S=π×32+π×3×6=27π，所以A錯誤；

對于B，球O的體積是V=4π3×(3)3=43故選：BCD．題型二：題型二：確定球心位置法此類題一般考慮球心、截面圓圓心的連線與截面垂直，再借助等式R=r2+例2(2022·湖南省長沙市模擬)已知點(diǎn)A是以BC為直徑的圓O上異于B，C的動點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn),且平面PBC⊥平面ABC，BC=3,PB=22,PC=5,則三棱錐P-ABC【思路點(diǎn)撥】由O為△ABC外接圓的圓心，且平面PBC⊥平面ABC，過O作面ABC的垂線l，則垂線l一定在面PBC內(nèi)，可得球心O1一定在面PBC內(nèi)，即球心O1也是△PBC外接圓的圓心，在△PBC中，由余弦定理、正弦定理即可得外接球半徑【規(guī)范解析】解：因?yàn)镺為△ABC外接圓的圓心，且平面PBC⊥平面ABC，

過O作面ABC的垂線l，則垂線l一定在面PBC內(nèi)，

根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線l上，即球心O1也是△PBC外接圓的圓心，

在△PBC中，由余弦定理得cos∠PBC=PB2+BC2-PC22BP?BC=22，

則sin∠PBC=22，

設(shè)球O1練2(2022·廣東省中山市模擬)已知四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)都在球O上,AB=3,BC=4,CD=1，AD=26，AC=5，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，則球O的體積為

．【思路點(diǎn)撥】由題意畫出圖形，取AC的中點(diǎn)O，證明O為四棱錐P-ABCD的外接球的球心，求出半徑，再由球的體積公式求解．【規(guī)范解析】解：取AC的中點(diǎn)O，AD中點(diǎn)H，連接OH，OB，OD，PH，

∵AB=3，BC=4，CD=1，AD=26，AC=5，

∴AD2+CD2=AC2，AB2+BC2=AC2，

則AD⊥CD，AB⊥BC，∴O到A，B，C，D的距離相等，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，

CD?平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，

∵O，H分別為AC，AD的中點(diǎn)，∴OH//CD，

∴OH⊥平面PAD，又PA⊥PD，∴O到P、A、D的距離相等．

∴O練3(2022·湖北省武漢市聯(lián)考)一邊長為4的正方形ABCD，M為AB的中點(diǎn)，將△AMD,△BMC分別沿MD,MC折起，使MA,MB重合，得到一個四面體，則該四面體外接球的表面積為__________．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知圖象定出外接球的球心位置，然后通過勾股定理求解出四面體的外接球的半徑，從而可求球的表面積．【規(guī)范解析】解：將折疊后的幾何體(圖一)旋轉(zhuǎn)成(圖二)如圖所示，

由圖可知，四面體A-CDM中，MA⊥AD，MA⊥AC且AD∩AC=A，AD，AC?平面ADC，

所以MA⊥平面ADC，

將圖形旋轉(zhuǎn)得如圖所示的三棱錐M-ACD，且△ACD是邊長為4的正三角形，

設(shè)其外心為E，過E作EF⊥平面ADC，垂足為E，過M作MF⊥EF，垂足為F，

則可得四邊形AEFM為矩形，則EF的中點(diǎn)O滿足OM=OA=OD=OC，即O為外接球的球心，

△ACD中由正弦定理可知，4sin60°=2EC，所以EC=433，

Rt△OCE中，OE=12MA=1，OC=R，EC=43題型三：題型三：補(bǔ)形法此類題多數(shù)補(bǔ)成長方體，再利用長方體的對角線等于外接球的直徑求出；若補(bǔ)成三棱柱，可利用等式R=r2+例3(2022·湖北省武漢市模擬)在上、下底面均為正方形的四棱臺ABCD-A1已知AA1=BB1=CC1=DD該四棱臺外接球的體積為

．【思路點(diǎn)撥】先求出側(cè)面等腰梯形的面積即可求出棱臺的表面積；設(shè)AC∩BD=O，A1C1【規(guī)范解析】解：在等腰梯形DCC1D1中，過C1作C1H⊥DC，垂足為H，易求CH=12，C1H=72，

則四棱臺的表面積為S=S上底+S下底+S側(cè)=1+4+4×(1+2)2×72=5+3則SO=6，則OO1=則外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1上，

由于OO1=62，B1O1=22，則OB1=2=OB，即點(diǎn)O到點(diǎn)B與到點(diǎn)B1的距離相等，

同理O到A，A1練4(2023·浙江省溫州市模擬)已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=23，則該球的表面積為(

)A.8π B.16π C.32π D.36π【思路點(diǎn)撥】由題意把P-ABC擴(kuò)展為三棱柱，求出上下底面中心連線的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，然后求出球的表面積．【規(guī)范解析】解：由題意畫出幾何體的圖形如下圖：把P-ABC擴(kuò)展為三棱柱，

上下底面中心連線EF的中點(diǎn)O與A的距離為球的半徑，

PA=2AB=23，OE=3，△ABC是正三角形，∴AB=3，

∴AE=23AB2-1題型四：題型四：坐標(biāo)法由球心與多面體所有頂點(diǎn)的距離都是球半徑，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系進(jìn)而求出外接球半徑R.例4(2022·四川省廣安二中四模)直角△ABC中，AB=2，BC=1，D是斜邊AC上的一動點(diǎn)，沿BD將△ABD翻折到△A'BD，使二面角A'-BD-C為直二面角，當(dāng)線段A'C的長度最小時，四面體A'BCD的外接球的表面積為(

)A.13π4 B.21π5 C.13π【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)A'作A'H⊥BD交BD延長線于H，過點(diǎn)C作CM⊥BD交BD于M，再作NH//CM，CN//MH，使得CN與HN交于點(diǎn)N，得到A'C=5-2sin2θ≥3，當(dāng)且僅當(dāng)θ=π4時等號成立，再根據(jù)題意，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，以HB，HN【規(guī)范解析】解：根據(jù)題意，圖1的直角三角形沿BD將△ABD翻折到△A'BD使二面角A'-BD-C為直二面角，

所以，過點(diǎn)A'作A'H⊥BD交BD延長線于H，過點(diǎn)C作CM⊥BD交BD于M，

再作NH//CM，CN//MH，使得CN與HN交于點(diǎn)N，

所以，由二面角A'-BD-C為直二面角可得CM⊥A'H，

設(shè)∠ABD=θ，θ∈[0,π2]，即∠A'BD=θ，則∠CBD=π2-θ，

因?yàn)锳B=2，BC=1，所以A'B=2，BC=1，

所以，在Rt△A'BH中，A'H=2sinθ，BH=2cosθ，

在Rt△BCM中，BM=cos(π2-θ)=sinθ,CM=sin(π2-θ)=cosθ，

所以MH=BH-BM=2cosθ-sinθ，

所以A'C=A'H2+MH2+CM2=5-4sinθcosθ故以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

HB,HN,HA'的方向?yàn)檎较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系，

則A'(0,0,2),B(2,0,0),C(22,22,0),D(23,0,0)，

所以，設(shè)四面體A'BCD的外接球的球心為O(x,y,z)，

則A'O=OB，OB=OC，OC=OD，

即x2+練5(2022·山西省太原市一模)如圖①，在Rt△ABC中，C=π2，AC=BC=2，D,E分別為AC,AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DEA．2π B．23π C．26【思路點(diǎn)撥】由題意可知CD、DA、DE兩兩垂直,以D進(jìn)而利用坐標(biāo)法求球心坐標(biāo).【規(guī)范解析】依題意CD⊥DE，A1D⊥DE，A1D∩DC=D，A所以DE⊥平面A1DC，又如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D0,0,0、C1,0,0、E0,1,0、B1,2,0、依題意△DCE為直角三角形，所以△DCE的外接圓的圓心在CE的中點(diǎn)12設(shè)外接球的球心為M12,12即R=1解得m=0，所以R=2所以外接球的體積V=4故選：B<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.(2022·湖北省高三開學(xué)考試)在三棱錐P-ABC中，∠PAC=∠PAB，AC=2AB=4，PA=PB=2，BC=23，則三棱錐P-A．22π B．26π C．64π3 D．【解析】PA2+PB2在△PAC中，根據(jù)余弦定理得，PC∴PB2+P又PA∩PC=P，PA,PC?平面PAC，∴PB⊥平面故可將三棱錐BAPC補(bǔ)為直三棱柱BA則直三棱柱BA1C1設(shè)△PAC外接圓圓心為O2，△A1則直三棱柱的外接球球心為O1O2中點(diǎn)O在△PAC中，根據(jù)正弦定理可得2O2∴OA∴外接球表面積為：4π?故選：A．2.(2022·浙江省金華市模擬)設(shè)三棱柱ABC-A1B∠BAC=120°,AA1A.46π B.35π C.43π D.39π【解析】由題意設(shè)底面△ABC外接圓的圓心為點(diǎn)O'，外接圓的半徑為r，三棱柱ABC-A1B在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，

由余弦定理得由正弦定理得BCsin∠BAC=2332=4=2r，所以r=2．由題意得R2=r2+(3.(2023·湖北省咸寧市聯(lián)考)已知三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB=23，AC=AD=4，CD=2，則球O的表面積為(

)A.3π B.13π3 C.1313【解析】如圖所示，因?yàn)锳B⊥平面BCD，且BC，BD?平面BCD，

所以AB⊥BC，AB⊥BD，

又因?yàn)锳B=23，AC=AD=4，可得BC=BD=42-(23)2=2，

由CD=2，所以△BCD為邊長為2的等邊三角形，△BCD外接圓的圓心為O1，連接OO1，BO1，BO，

則OO1⊥平面BCD，則OO1=12AB=故選:D．4.(2022·山東省濰坊市模擬)《九章算術(shù)》中記載：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點(diǎn)與相對的棱剖開，得到一個陽馬(底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐)和一個鱉臑(四個面均為直角三角形的四面體).在如圖所示的塹堵ABC-A1B1C1中，BB1=BC=23，AB=2，AC=4，且有鱉臑C1-ABB1和鱉臑C1-ABC，現(xiàn)將鱉臑C1【解析】解：鱉臑C1-ABC經(jīng)翻折后，與鱉臑C由已知求得底面三角形A'B1A是邊長為4的正三角形，側(cè)棱C1B1⊥底面A'B取C1B1

的中點(diǎn)N，過N作C1B1的垂線，

使兩垂線相交于點(diǎn)O，則O為拼接成的幾何體的外接球的球心．

B1M=23×23=45.(2022·廣東省湛江市聯(lián)考)在邊長為2的菱形ABCD中，BD=23，將菱形ABCD沿對角線AC對折，使二面角B-AC-D的余弦值為13，則所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為

．【解析】依題意在邊長為2的菱形ABCD中，BD=23，所以∠ABC=∠ADC=如下圖所示，易知△ABC和△ACD都是等邊三角形，取AC的中點(diǎn)N，則DN⊥AC，BN⊥AC．DN?BN=N，DN,BN?平面BND，所以AC⊥平面BND，所以∠BND是二面角B-AC-D的平面角，過點(diǎn)B作BO⊥DN交DN于點(diǎn)O，由AC⊥平面BND，BO?平面BND，所以AC⊥BO，DN?AC=N，DN,AC?平面ACD，所以BO⊥平面ACD．因?yàn)樵凇鰾DN中，BN=DN=3所以BD則BD=2．故三棱錐A-BCD為正四面體，由BO⊥平面ACD，所以O(shè)為底面?ACD的重心，所以O(shè)D=23DN=23設(shè)外接球的半徑為R，則R2=OD因此，三棱錐A-BCD的外接球的表面積為4πR故答案為：6π．6.(2021·廣東省湛江市模擬)已知三棱錐P-ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,PB=PC,PA=14，O1為△ABC的外接圓的圓心,cos∠PAO【解析】由題意O1是BC中點(diǎn)，則AO1=2，

因?yàn)锳B=AC=2，PB=PC，所以BC⊥AO1，BC⊥PO1，

又AO1∩PO1=O1，AO1,PO1?平面PAO1，

所以BC⊥平面PAO1，而BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面PA因?yàn)椤螧AC=90°，所以ABHC是矩形，

取PA中點(diǎn)O，連接OO1，則OO1//PH，從而OO1⊥平面ABC．

O就是三棱錐P-ABC也是四棱錐7.(2022·廣東省茂名市模擬)如圖所示，三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P、A、B、C都在球O的球面上，且△ABC所在平面截球O于圓O1，AB為圓O1的直徑，點(diǎn)P在底面ABC上的射影為點(diǎn)O1，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為棱BC的中點(diǎn)．若cos∠PDO1=23，點(diǎn)P到底面ABC的距離為7【解析】連接PO1，則外接球的球心O在直線PO1上，如圖所示，

因?yàn)樗詓in∠PDO1=1-cos2∠PDO1=73，tan∠PDO1=sin∠PDO1cos∠PDO1=142，

在Rt△PDO1中，PO1=72，則O1D=PO1tan∠PDO1=72142=22，

因?yàn)锳B8.(2022·河北省邯鄲市模擬)在四面體ABCD中，∠ACB=60?°，∠DCA=90二面角D-AC-B的大小為120°，則此四面體的外接球的表面積是

．【解析】∵在四面體ABCD中，∠ACB=60°，∠DCA=90°，DC=CB=CA=2，二面角D-AC-B的大小為120°，∴△ABC是等邊三角形，AC⊥CD，

取AC中點(diǎn)E，AD中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，B