第02講中心對稱與中心對稱圖形掌握中心對稱和中心對稱圖形的定義和性質，掌握他們之間的區別和聯系；掌握關于原點對稱的點的坐標的特征，以及如何求對應點的坐標；探索圖形之間的變化關系（軸對稱、平移、旋轉及其組合），靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計。知識點1中心對稱（兩個圖形）1.概念把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個\t"/item/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank"點對稱或中心對稱；2.性質（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形。（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。3.判定如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱。作圖步驟：連接原圖形上所有的特殊點和對稱中心。將以上所連線段延長找對稱點，使得特殊點與對稱中心的距離和對稱點與對稱中心的距離相等。將對稱點按原圖形的形狀順次連接起來，即可得出關于中心對稱的圖形5.中心對稱圖形（一個圖形）把一個圖形繞某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個店就是它的對稱中心。知識點2點坐標對稱1.關于原點對稱的點的特征兩個點關于原點對稱時，它們的坐標的符號相反，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P’（-x，-y）2.關于x軸對稱的點的特征兩個點關于x軸對稱時，它們的坐標中，x相等，y的符號相反，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P’（x，-y）3.關于y軸對稱的點的特征兩個點關于y軸對稱時，它們的坐標中，y相等，x的符號相反，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P’（-x，y）【題型1中心對稱圖形】【典例1】（2023?淮北一模）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、C、D選項旋轉180度不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，故選：B．【變式1-1】（2022秋?鐵鋒區期末）下列平面直角坐標系內的曲線中，既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形的是（）A．三葉玫瑰線 B．四葉玫瑰線 C．心形線 D．笛卡爾葉形線【答案】B【解答】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；B、既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故符合題意；C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；故選：B．【變式1-2】（2022秋?河東區期末）下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：選項A、B、C中的三個圖形都不是中心對稱圖形，選項D的圖形是中心對稱圖形．故選：D．【變式1-3】（2022秋?文登區期末）下列圖形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，不符合題意；B、此圖形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，符合題意；C、此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，不符合題意；D、此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，不符合題意．故選：B．【題型2中心對稱的性質】【典例2】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A1B1C1關于點（0，﹣1）成中心對稱．已知點B的坐標為（﹣2，2），則點B1的坐標是（）A．（2，﹣2） B．（1，﹣3） C．（4，﹣2） D．（2，﹣4）【答案】D【解答】解：∵△ABC與△A1B1C1關于點（0，﹣1）成中心對稱，B的坐標為（﹣2，2），B1B為對應點，∴B1的坐標為（2，﹣4），故選：D．【變式2-1】（2022春?鎮江月考）如圖，線段AB與線段CD關于點P對稱，若點A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），則點C的坐標為（）A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4）【答案】B【解答】解：∵B（5，1）、D（﹣3，﹣1）關于點P對稱，＝1，＝0，∴點P的坐標為（1，0）．設點C（x，y），∵A（3，3），∴＝1，＝0，∴x＝﹣1，y＝﹣3．∴C（﹣1，﹣3）．故選：B．【變式2-2】（2022春?安吉縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，若△ABC與△A1B1C1關于E點成中心對稱，點A，B，C的對應點分別為A1，B1，C1，則對稱中心E點的坐標是（）A．（3，﹣1） B．（0，0） C．（2，﹣1） D．（﹣1，3）【答案】A【解答】解：如圖，連接AA1、CC1，則交點就是對稱中心E點．觀察圖形可知，E（3，﹣1）．故選：A．【變式2-3】（2021秋?黔西南州期中）如圖，△ABC與△A′B′C′關于點O成中心對稱，有以下結論：①點A與點A′是對稱點；②BO＝B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正確結論的個數為．【答案】3個【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關于點O成中心對稱，∴△ABC≌△A′B′C′，∴點A與點A′是對稱點，BO＝B′O，AB∥A′B′，故①②③正確，故答案為：3個．【典例3】（2022秋?廣宗縣期末）如圖是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，則BB′的長為（）A．4 B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，∴BB′＝2AB＝4．故選：A．【變式3-1】（2022秋?廈門期末）如圖，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中點，點B，E關于點D成中心對稱，則AE的長為．【答案】6【解答】解：在△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，則由勾股定理知：BC＝＝＝6．∵D是AC的中點，點B，E關于點D成中心對稱，∴△ADE與△CDB關于點O成中心對稱，∴AE＝BC＝6．故答案為：6．【變式3-2】（2022秋?寶山區期末）如圖，已知點O是矩形ABCD的對稱中心，E、F分別是邊AD、BC上的點，且關于點O中心對稱，如果矩形的面積是22，那么圖中陰影部分的面積是．【答案】5.5【解答】解：在矩形ABCD中，OA＝OC、AD∥CB，∴∠EAO＝∠FCO，在△EAO與△FCO中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴S陰影部分＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×22＝5.5，故答案為：5.5．【變式3-3】（2022?南京模擬）如圖，△ABC與△DEC關于點C成中心對稱，若AB＝4，則DE＝．【答案】4【解答】解：∵△ABC與△DEC關于點C成中心對稱，∴CA＝CD，CB＝CE，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB＝DE，∵AB＝4，∴DE＝4，故答案為：4．【典例4】（2022春?連城縣校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點A在x軸上，定點B的坐標為（8，4），若直線經過點D（2，0），且將平行四邊形OABC分割成面積相等的兩部分，則直線DE的表達式（）A．y＝x﹣2 B．y＝2x﹣4 C． D．y＝3x﹣6【答案】A【解答】解：∵點B的坐標為（8，4），∴平行四邊形的對稱中心坐標為（4，2），設直線DE的函數解析式為y＝kx+b，則，解得，∴直線DE的解析式為y＝x﹣2．故選：A．【變式4-1】（2021秋?梁子湖區期中）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點A在x軸上，頂點B的坐標為（8，6）．若直線l經過點（2，0），且將平行四邊形OABC分割成面積相等的兩部分，則直線l對應的函數解析式是（）A．y＝x﹣2 B．y＝3x﹣6 C． D．【答案】C【解答】解：∵點B的坐標為（8，6），∴平行四邊形的中心坐標為（4，3），設直線l的函數解析式為y＝kx+b（k≠0），將（2，0），（4，3）代入，可得，解得，∴直線l的解析式為y＝x﹣3．故選：C【變式4-2】（2022秋?匯川區校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，?OABC的頂點B的坐標為（﹣4，2），直線l：y＝﹣x+b恰好將?OABC的面積平分，則b的值為．【答案】﹣2【解答】解：如圖，連接OB．∵B（﹣4，2），∴OB的中點D（﹣2，1），∵直線y＝﹣x+平分四邊形ABCO的面積，∴直線y＝﹣+b經過點D，∴1＝3+b，∴b＝﹣2，故答案為：﹣2【典例5】（2022秋?棲霞市期末）如圖，△ABO與△CDO關于O點成中心對稱，點E、F在線段AC上，且AF＝CE．求證：FD＝BE，FD∥BE．【解答】證明：連接BF、DE，∵△ABO與△CDO關于O點成中心對稱，∴OB＝OD，OA＝OC．∵AF＝CE，∴OF＝OE．∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴FD＝BE，FD∥BE．【變式5-1】（2021春?寬城區期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△A'BD與△ACD關于點D成中心對稱．（1）直接寫出圖中所有相等的線段．（2）若AB＝5，AC＝3，求線段AD的取值范圍．【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中線，∴BD＝DC，∵△A'BD與△ACD關于點D成中心對稱∴△A′BD≌△ACD，∴BD＝CD，AD＝A'D，AC＝A'B．（2）∵AD＝A'D，∴AA'＝2AD，∵AC＝A'B，AC＝3，∴A'B＝3，在△AA'B中，AB﹣A'B＜AA'＜AB+A'B，即5﹣3＜2AD＜5+3．∴1＜AD＜4．【變式5-2】（2022春?蓮湖區期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一點，點D與點C關于點E中心對稱，連接AE并延長，與BC延長線交于點F．（1）填空：E是線段CD的中點，點A與點F關于點E成中心對稱，若AB＝AD+BC，則△ABF是等腰三角形．（2）四邊形ABCD的面積為12，求△ABF的面積．【解答】解：（1）∵點D與點C關于點E中心對稱，∴E是線段CD的中點，DE＝EC，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DCF，在△ADE與△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AE＝FE，AD＝CF，∴點A與點F關于點E成中心對稱，∵AB＝AD+BC，∴AB＝BF，則△ABF是等腰三角形．故答案為：中點，E，等腰；（2）∵△ADE≌△FCE，∴△ADE與△FCE面積相等，∴△ABF的面積等于四邊形ABCD的面積，∵四邊形ABCD的面積為12，∴△ABF的面積為12．【題型3點坐標的對稱】【典例6】（2022?孝南區一模）在平面直角坐標系中，點A（2，m）與點B（n，3）關于原點對稱，則（）A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2【答案】B【解答】解：∵點A（2，m）與點B（n，3）關于原點對稱，∴m＝﹣3，n＝﹣2，故選：B．【變式6-1】（2022秋?桃城區校級期末）已知點A（a+b，4）與點B（﹣2，a﹣b）關于原點對稱，則a與b的值分別為（）A．﹣3；1 B．﹣1；3 C．1；﹣3 D．3；﹣1【答案】B【解答】解：∵點A（a+b，4）與點B（﹣2，a﹣b）關于原點對稱，∴解得．故選：B．【變式6-2】（2022?新都區模擬）在平面直角坐標系中，點P（﹣2，﹣4）關于原點對稱的點的坐標是（）A．（2，﹣4） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣4）【答案】B【解答】解：點P（﹣2，﹣4）關于原點對稱的點的坐標是（2，4），故選：B．【變式6-3】（2022秋?開封期末）已知點M（a，b）在第二象限內，且|a|＝1，|b|＝2，則該點關于原點對稱點的坐標是（）A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）【答案】D【解答】解：∵M（a，b）在第二象限內，∴a＜0，b＞0，又∵|a|＝1，|b|＝2，∴a＝﹣1，b＝2，∴點M（﹣1，2），∴點M關于原點的對稱點的坐標是（1，﹣2）．故選：D．【題型4圖案設計】【典例7】（2022秋?章貢區期中）在8×8的正方形網格中建立如圖所示的平面直角坐標系，已知A（2，﹣4），B（4，﹣2）．C是第四象限內的一個格點，由點C與線段AB組成一個以AB為底，且腰長為無理數的等腰三角形．（1）填空：C點的坐標是，△ABC的面積是；（2）將△ABC繞點C旋轉180°得到△A1B1C1，連接AB1、BA1，則四邊形AB1A1B的形狀是何特殊四邊形？．（3）請探究：在坐標軸上是否存在這樣的點P，使四邊形ABOP的面積等于△ABC面積的2倍？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）根據題意點C坐標為（1，﹣1），如圖1．S△ABC＝3×3﹣×3×1﹣×3×1﹣×2×2＝4．故答案為：（1，﹣1），4（2）如圖2，∵將△ABC繞點C旋轉180°得到△A1B1C1，∴A1，C，A在同一直線上，B1，C，B在同一直線上，A1C＝AC，B1C＝BC，∴四邊形AB1A1B是平行四邊形，∵AC＝BC，∴A1A＝B1B，∴平行四邊形AB1A1B是矩形，故答案為：矩形；（3）存在．由（1）知S△ABC＝4，則S四邊形ABOP＝8．同（1）中的方法得S△ABO＝16﹣4﹣4﹣2＝6；當P在x軸負半軸時，S△APO＝2，高為4，那么底邊長為1，所以P（﹣1，0）；當P在y軸負半軸時，S△APO＝2，高為2，所以底邊長為2，此時P（0，﹣2）；而當P在x軸正半軸及y軸正半軸時均不能形成四邊形ABOP；故點P的坐標為（﹣1，0），（0，﹣2）．【變式7-2】（2022秋?沙河市期末）如圖所示，三角形ABC和三角形A′B′C′關于某一點成中心對稱，一同學不小心把墨水潑在紙上，只能看到三角形ABC和線段BC的對應線段B′C′，請你幫該同學找到對稱中心O，且補全三角形A′B′C′．【解答】解：如圖，△A′B′C′即為所求；【變式7-2】（2022春?歷城區期末）如圖，正方形網格中，△ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標系中按要求解答下列問題：（1）△A1B1C1與△ABC關于坐標原點O成中心對稱，則B1的坐標為．（2）△A1B1C1的面積為．（3）將△ABC繞某點逆時針旋轉90°后，其對應點分別為A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），則旋轉中心的坐標為．【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣2），∴B1（2，2）．故答案為：（2，2）．（2）△A1B1C1的面積為：××＝2.5故答案為：2.5．（3）根據旋轉的性質，旋轉中心在對稱點的連線的垂直平分線上，所以兩對對稱點的垂直平分線的交點就是旋轉中心．所以旋轉中心的坐標為：（0，﹣1）．故答案為：（0，﹣1）．【變式7-3】（2022春?泗陽縣期中）如圖，方格紙中每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，建立如圖所示平面直加坐標系，△ABC的頂點均在格點上，其中點A坐標為（1，﹣3）．（1）以點B為旋轉中心，畫出△ABC繞點B順時針旋轉90°的△A1B1C1；（2）畫△ABC關于點O對稱的△A2B2C2；（3）若平面內存在一點D，使A、B、C、D四點構成的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標為．【答案】（1）略（2）略（3）（3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）．【解答】解：（1）如圖，的△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求；（3）點D的坐標為（3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）．故答案為：（3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）．1．（2023?遼寧）如所示圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A．該圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；B．該圖既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；C．該圖既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意；D．該圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；故選：B．2．（2023?大慶）搭載神舟十六號載人飛船的長征二號F遙十六運載火箭于2023年5月30日成功發射升空，景海鵬、朱楊柱、桂海潮3名航天員開啟“太空出差”之旅，展現了中國航天科技的新高度．下列圖標中，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：選項A、B、D都不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項C能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：C．3．（2023?涼山州）點P（2，﹣3）關于原點對稱的點P′的坐標是（）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）【答案】D【解答】解：點P（2，﹣3）關于原點對稱的點P′的坐標是（﹣2，3）．故選：D．4．（2022?雅安）在平面直角坐標系中，點（a+2，2）關于原點的對稱點為（4，﹣b），則ab的值為（）A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12【答案】D【解答】解：∵在平面直角坐標系中，點（a+2，2）關于原點的對稱點為（4，﹣b），∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，解得a＝﹣6，b＝2，∴ab＝﹣12．故選：D．5．（2022?丹東）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，對角線AC與BD交于點O，點E是AD的中點，連接OE，△ABD的周長為12cm，則下列結論錯誤的是（）A．OE∥AB B．四邊形ABCD是中心對稱圖形 C．△EOD的周長等于3cm D．若∠ABC＝90°，則四邊形ABCD是軸對稱圖形【答案】C【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵對角線AC與BD交于點O，點E是AD的中點，∴OE是△ABD的中位線，∴OE∥AB，∴A選項結論正確，不符合題意；∵四邊形ABCD是中心對稱圖形，∴B選項結論正確，不符合題意；∵△ABD的周長為12cm，∴△EOD的周長等于6cm，∴C選項結論錯誤，符合題意；若∠ABC＝90°，則四邊形ABCD是矩形，是軸對稱圖形，∴D選項結論正確，不符合題意；故選：C．6．（2023?瀘州）在平面直角坐標系中，若點P（2，﹣1）與點Q（﹣2，m）關于原點對稱，則m的值是1．【答案】1．【解答】解：在平面直角坐標系中，若點P（2，﹣1）與點Q（﹣2，m）關于原點對稱，則m的值是1．故答案為：1．7．（2022?湘西州）在平面直角坐標系中，已知點P（﹣3，5）與點Q（3，m﹣2）關于原點對稱，則m＝﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：根據兩個點關于原點對稱，則橫、縱坐標都是原數的相反數，得m﹣2＝﹣5，∴m＝﹣3．故答案為：﹣3．1．（2023?利川市一模）下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A．是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；B．是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C．是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D．是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故本選項不合題意；故選：A．2．（2023春?晉江市期末）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；矩形是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；菱形是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；正方形是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選：C．3．（2023春?南陽期末）平面直角坐標系內一點P（﹣4，3）關于原點對稱的點的坐標是（）A．（3，﹣4） B．（4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（4，﹣3）【答案】D【解答】解：∵點P（﹣4，3），∴關于原點對稱的點的坐標是（4，﹣3），故選：D．4．（2022秋?雞西期末）已知點P（2a+1，a﹣1）關于原點對稱的點在第一象限，則a的取值范圍是（）A．a＜﹣或a＞1B．a＜﹣ C．﹣＜a＜1 D．a＞1【答案】B【解答】解：點P（2a+1，a﹣1）關于原點對稱的點（﹣2a﹣1，﹣a+1）在第一象限，則，解得：a＜﹣．故選：B．5．（2022秋?欒城區期末）如圖，△ABC與△A′B′C′關于O成中心對稱，下列結論中不成立的是（）A．OC＝OC′ B．OA＝OA′ C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′【答案】D【解答】解：對應點的連線被對稱中心平分，A，B正確；成中心對稱圖形的兩個圖形是全等形，那么對應線段相等，C正確．故選：D．6．（2023?玉林一模）如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，點E從點A出發沿AB向點B運動，移動到點B停止，延長EO交CD于點F，則四邊形AECF形狀的變化依次為（）A．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形 B．平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形 C．平行四邊形→正方形→菱形→矩形 D．平行四邊形→菱形→正方形→矩形【答案】A【解答】解：畫圖如下，，由圖可知最后會與原有矩形重合，∴四邊形AECF形狀的變化依次為平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形，故選：A．7．（2022秋?廣宗縣期末）如圖是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，則BB′的長為（）A．4 B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，∴BB′＝2AB＝4．故選：A．8．（2023?乾安縣三模）如圖，已知點A與點C關于點O對稱，點B與點D也關于點O對稱，若BC＝3，OD＝4．則AB的長可能是（）A．3 B．4 C．7 D．11【答案】C【解答】C解析：∵點A與點C關于點O對稱，點B與點D也關于點O對稱，∴OB＝OD＝4，AD＝BC＝3，∵BD﹣AD＜AB＜BD+AD，∴5＜AB＜11，故選：C．9．（2023春?徐匯區期末）如圖，長為6，寬為3的矩形ABCD，陰影部分的面積為9．【答案】9．【解答】解：因為O為矩形的對稱中心，則陰影部分的面積是矩形面積的一半，因為矩形面積為6×3＝18，所以陰影部分的面積為9．故答案為：9．10．（2023春?玄武區期中）如圖，將△ABC繞點C（0，﹣1）旋轉180°得到△A′B′C，若點A的坐標為（﹣4，﹣3），則點A′的坐標為（4，1）．【答案】（4，1）．【解答】解：作A′E⊥y軸于點E，AD⊥y軸于點D，則∠A′EC＝∠ADC，∵∠A′CE＝∠ACD，AC＝A′C，∴△A′EC≌△ADC（AAS），∴AD＝A′E＝4，CE＝CD，∵OD＝3，OC＝1，∴CD＝2，∴CE＝2，∴OE＝1，∴點A′的坐標為（4，1）．故答案為：（4，1）．11．（2022秋?北辰區校級期末）如圖是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，則BB′的長為12．【答案】12．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6，∵B與B'關于A中心對稱，∴BB′＝2AB＝12．故答案為：12．12．（2023?未央區校級三模）有一塊方角形鋼板如圖所