26圓錐曲線壓軸大題【題型一】五個方程題型框架【典例分析】已知圓C經過兩點A(2，2)，B(3，3)，且圓心C在直線x－y+1=0上.（1）求圓C的標準方程；（2）設直線l：y=kx+1與圓C相交于M，N兩點，O為坐標原點，若，求|MN|的值.【經驗總結】“五個方程”（過去老高考對韋達定理型的直觀稱呼。）參考【典例分析】一直一曲倆交點。直線有沒有？是那種未知型的？已知過定點。則可設為，同時討論k不存在情況。如3.曲線方程有沒有？倆交點：設為4.聯立方程，消y或者消x，建立一元二次方程，同時不要忘了判別式或者得到對應的韋達定理或目標，就是把題中問題轉化為第六個關于韋達定理的方程或者不等式，代入求解【變式演練】1.橢圓：的左右焦點分別為，，P為橢圓C上一點.（1）當P為橢圓C的上頂點時，求；（2）若，求滿足條件的點P的個數；（直接寫答案）（3）直線與橢圓C交于A，B，若，求k.2.已知動點P到點（0，1）的距離與到直線y＝2的距離的比值為，動點P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）直線y＝kx+1與曲線C交于A，B兩點，點M（0，2），證明：直線MA，MB的斜率之和為0．3.設橢圓的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓的下頂點，為橢圓的上頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點.若，求的值.【題型二】直線設法【典例分析】已知拋物線，過點的直線交拋物線于，兩點.（1）求拋物線的焦點坐標及準線方程；（2）證明：以線段為直徑的圓過原點.【經驗總結】如果所過定點在x軸上，為（m，0），也可以設為，此時包含了斜率不存在的情況，但是反而不包含x軸這條直線。【典例分析】把兩種設法都展示出來供參考。選擇不同直線的設法，是因為：1.避免對k不存在情況討論，可以把k不存在的情況包含在里邊。2.兩種直線形式設法，有時候在計算中可以降低參數的計算量：如過點（1,0）直線，設成與代入到圓錐曲線中，明顯的后邊這種設法代入計算時要稍微簡單點。3.2011年以來，最早出現這種設直線法的高考題是2012年的重慶試卷壓軸大題，教師授課時可搜集補充教學。4.授課時，如有可能，盡量把兩種設法，都讓學生同時做做，做個對比，既能看出這種設法在某些試題中的計算優勢，又不過分拔高這種設法的效果。如【典例分析】。建議授課時，把班里學生分為兩組，每組挑出一個代表上講臺演版分別用著不同方法做這道題。【變式演練】1.已知橢圓E：過點，且離心率為．(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設過點（0，-1)直線交橢圓E于A，B兩點，判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由．2.已知雙曲線：的離心率為，點在上，為的右焦點.（1）求雙曲線的方程；（2）設為的左頂點，過點作直線交于（不與重合）兩點，點是的中點，求證：.3.如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為，線段的中點分別為，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；（Ⅱ）過B做直線交橢圓于P，Q兩點，使，求直線的方程【題型三】雙變量直線核心理解【典例分析】已知點M為直線l1：x＝－1上的動點，N(1，0)，過M作直線l1的垂線l，l交MN的中垂線于點P，記點P的軌跡為C．（1）求曲線C的方程；（2）若直線l2：y＝kx＋m(k≠0)與圓E：(x－3)2＋y2＝6相切于點D，與曲線C交于A，B兩點，且D為線段AB的中點，求直線l2的方程．【經驗總結】當題中的直線既無斜率，又不過定點線，就要設成“雙變量”型：，依舊得討論k是否存在情況當直線既不過定點，也不知斜率時，設直線，就需要引入兩個變量了。（1）（2），此時直線不包含水平，也要適當的補充討論。（3）設“雙變量”時，第一種設法較多。因為一般情況下，沒有了定點在x軸上，那么第二種設法實際上也沒有特別大的計算優勢。如第1題。（4）重要！雙變量設法，在授課時，一定要講清楚以下這個規律：一般情況下，試題中一定存在某個條件，能推導出倆變量之間的函數關系。這也是證明直線過定點的理論根據之一。【變式演練】1.在平面直角坐標系中，已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓與拋物線有一個公共的焦點，且過點.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設直線與橢圓相交于、兩點,若(為坐標原點),試判斷直線與圓的位置關系，并證明你的結論.2.已知拋物線的準線方程為.（1）求拋物線的標準方程；（2）若過點的直線與拋物線相交于兩點，且以為直徑的圓過原點，求證：為常數，并求出此常數.3.已知A、B、C是橢圓W:上的三個點,O是坐標原點.(=1\*ROMANI)當點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積;(=2\*ROMANII)當點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.【題型四】直線過定點【典例分析】已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.【經驗總結】直線過定點：1、直線多為y=kx+m型2.目標多為求：m=f（k）3.一些題型，也可以直接求出對應的m的值，如本小專題【變式演練】第3題【變式演練】1.已知橢圓兩點在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）設直線l不經過點且與C相交于A，B兩點．若直線與直線的斜率的和為，證明：l過定點．2.在平面直角坐標系xOy中，動點Р與定點F(2，0)的距離和它到定直線l：的距離之比是常數，記P的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）設過點A(，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點M，N(異于點A)，求證：直線MN過定點.3.已知橢圓C：（）的上頂點與右焦點連線的斜率為，C的短軸的兩個端點與左、右焦點的連線所構成的四邊形的面積為．（1）求橢圓C的標準方程．（2）已知點，若斜率為k（）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，當直線AP，BP的傾斜角互補時，試問直線l是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，說明理由．【題型五】圓過定點【典例分析】在平面直角坐標系中，已知橢圓的左?右焦點分別為?，點為橢圓上的動點，當點為短軸頂點時，△的面積為，橢圓短軸長為2.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過定點且與橢圓交于不同的兩點，，點是橢圓的右頂點，直線，分別與軸交于?兩點，試問：以線段為直徑的圓是否過軸上的定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由.【經驗總結】圓過定點，有常見幾方面的思維利用以“某線段為直徑”，轉化為向量垂直計算利用對稱性，可以猜想出定點，并證明。通過推導求出定點（難度較大）【變式演練】1.在平面直角坐標系中，已知動圓的半徑為1，且經過坐標原點，設動圓的圓心為．（1）求點的軌跡方程；（2）設點的軌跡與軸交于，兩點（在左側），過點的直線交點的軌跡于點（異于，），交直線：于點，經過，的直線交于點，求證以為直徑的圓過定點，并求出定點坐標．2.已知橢圓的左右頂點分別為A，B，點P為橢圓上異于A，B的任意一點.（1）證明：直線PA與直線PB的斜率乘積為定值；（2）設，過點Q作與軸不重合的任意直線交橢圓E于M，N兩點.問：是否存在實數，使得以MN為直徑的圓恒過定點A？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.3.已知拋物線的焦點F與橢圓C：的一個焦點重合，且點F關于直線的對稱點在橢圓上．求橢圓C的標準方程；過點且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M點的坐標，若不存在，說明理由．【題型六】面積的幾種求法【典例分析】已知拋物線關于軸對稱，且過點（1）求拋物線的標準方程；（2）過點的直線與拋物線交于，兩點，若，求直線的方程【經驗總結】圓錐曲線中求面積常規類型（1）(2)三角形恒過數軸上的定線段，可分為左右或者上下面積，轉化為(3)三角形恒過某定點，可分為左右或者上下面積，轉化為（4）四邊形面積，注意根據題中條件，直接求面積或者轉化為三角形面積求解。【變式演練】1.已知拋物線C：的焦點為F，直線l：y=與拋物線C交于A，B兩點.（1）求AB弦長；（2）求△FAB的面積.2.已知拋物線：（），其上一點到的焦點的距離為4.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）過點的直線與拋物線分別交于，兩點（點，均在軸的上方），若的面積為4，求直線的方程.3.已知雙曲線：（，）的離心率為，虛軸長為4.（1）求雙曲線的標準方程；（2）直線：與雙曲線相交于，兩點，為坐標原點，的面積是，求直線的方程.【題型七】面積最值【典例分析】已知一張紙上畫有半徑為4的圓O，在圓O內有一個定點A，且，折疊紙片，使圓上某一點剛好與A點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當取遍圓上所有點時，所有折痕與的交點形成的曲線記為C.（1）求曲線C的焦點在軸上的標準方程；（2）過曲線C的右焦點（左焦點為）的直線l與曲線C交于不同的兩點M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.【經驗總結】面積最值，實際上是處理最終的“函數最值”。各類型“函數式”最值規律：分式型：以下幾種求最值的基本方法一元二次型：注意自變量取值范圍高次型：整體換元或者求導【變式演練】1.已知橢圓C：=1(a>b>0)的焦點F在直線上，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若O為坐標原點，過點M(0，2)作直線l交橢圓C于A、B兩點，求△AOB面積的最大值.2.已知點是已知橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，當時，面積達到最大，且最大值為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過的直線與橢圓交于兩點，且兩點與左右頂點不重合，若，求四邊形面積的取值范圍.3.已知橢圓的長軸長為4，離心率為，一動圓過橢圓上焦點，且與直線相切．（1）求橢圓的方程及動圓圓心軌跡的方程；（2）過作兩條互相垂直的直線，，其中交橢圓于，兩點，交曲線于，兩點，求四邊形面積的最小值．【題型八】定值【典例分析】已知橢圓C：(a＞b＞0)的右焦點F2與拋物線y2＝4x的焦點重合，且其離心率為．（1）求橢圓C的方程．（2）已知與坐標軸不垂直的直線l與C交于M，N兩點，線段MN中點為P，問：kMN·kOP(O為坐標原點)是否為定值？請說明理由．【經驗總結】求定值問題常見的思路和方法技巧：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．求定值題型，運算量大，運算要求高，屬于中等以上難度的題【變式演練】1.已知雙曲線C的中心在原點，是它的一個頂點.是它的一條漸近線的一個方向向量.（1）求雙曲線C的方程；（2）設，M為雙曲線右支上動點，當|PM|取得最小時，求四邊形ODMP的面積；（3）若過點任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點（A，B都不同于點D），求證:為定值.2.已知圓：，定點，A是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于P點．（1）求P點的軌跡C的方程；（2）設直線過點且與曲線C相交于M，N兩點，不經過點．證明：直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值．3.已知橢圓的離心率為，右焦點為，點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線（不與軸重合）交橢圓于點，，直線，分別與直線交于點，．求證：以線段為直徑的圓被軸截得的弦長為定值．【題型九】最值與范圍【典例分析】已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，右頂點為．（）求雙曲線的方程；（）若直線與雙曲線交于不同的兩點，，且線段的垂直平分線過點，求實數的取值范圍．【經驗總結】求最值求范圍，屬于前邊知識額綜合應用，主要是以下兩點要注意注意變量的范圍。式子轉化為求值域或者求最值的專題復習【變式演練】1.已知中心在原點的雙曲線的一個焦點，一個頂點為.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線的左右兩支各有一個交點，求的取值范圍.2.已知雙曲線C的方程為（），離心率為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過的直線交曲線于兩點，求的取值范圍.3.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，離心率為，P為橢圓C上的一個動點.當P是C的上頂點時，△的面積為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設斜率存在的直線與C的另一個交點為Q，是否存在點，使得?若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由.【題型十】第六個方程的積累【典例分析】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為.（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓交于點，與軸交于點，過原點且與平行的直線與橢圓交于點.求的值.【經驗總結】在一直一曲五個方程（韋達定理代入型）題型中，主要的難點在于怎么轉化出“第六個方程”。具有明顯的可轉化為韋達定理特征的。屬于較容易的題。隱藏較深的條件，需要用一些技巧，把條件轉化為點坐標之間的關系，再轉化為韋達定理。沒有固定的轉化技巧，可以在訓練中積累相關化歸思想。【變式演練】1.已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別