高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市南海區西樵高級中學2023-2024學年高一上學期第一次段考數學試題一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以由交集定義可得：.故選：A.2.命題：“，”的否定是（）A， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，

所以命題“，”的否定為：“，”.故選：B.3.是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由，可得或，所以是的必要不充分條件.故選：B.4.若a>b，則下列結論正確的是（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗A選項，當時，，所以A選項錯誤；B選項，當時，，所以B選項錯誤；C選項，當時，，所以C選項錯誤；D選項，由于，所以，所以D選項正確.故選：D.5.已知，那么等于（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗A〖解析〗解：因為，所以.故選：A.6.已知函數是冪函數，一次函數的圖像過點，則的最小值是（）A.3 B. C. D.5〖答案〗B〖解析〗由是冪函數，可得，，即，，又由點在一次函數的圖像上，所以，因為，，所以由基本不等式，得，當且僅當時取等號，即當，時，.故選：B.7.已知函數是上的減函數，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知：在上單調遞減，即；在上也單調遞減，即；又是上的減函數，則，∴，解得．故選：C．8.設函數，.用表示，中的較大者，記為，則的最小值是（）A.1 B.3 C.0 D.〖答案〗A〖解析〗令，解得或，作出的圖象如下圖所示：由圖象可知：當時，有最小值，此時，故選：A.二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求.）9.與表示同一個函數的是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗定義域為，且，對于A：，定義域也為，故A正確；對于B：的定義域為，定義域不一樣，故B錯誤；對于C：，定義域與〖解析〗式都相同，故C正確；對于D：的定義域為，定義域不一樣，故D錯誤.故選：AC.10.已知定義在區間上的一個偶函數，它在上的圖像如圖，則下列說法正確的是（）A.這個函數有兩個單調增區間B.這個函數有三個單調減區間C.這個函數在其定義域內有最大值7D.這個函數在其定義域內有最小值〖答案〗BC〖解析〗由題意作出該函數在上的圖象，如圖所示．由圖象可知該函數有三個單調遞增區間，三個單調遞減區間，在其定義域內有最大值7，最小值不為，故選：BC.11.二次函數的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由題意得，對稱軸，則，故A正確，當時，，則，故C正確，當時，，則，故D正確，當時，，故B錯誤.故選：ACD.12.若實數滿足，則下列選項正確的是（）A.最大值是6 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最大值是3〖答案〗ACD〖解析〗，當且僅當時等號成立，，則，，時等號成立，A正確；，，時等號成立，D正確；．，當且僅當時取等號，，，所以時，取得最大值，B錯，C正確．故選：ACD．三、填空題（本大題共4小題，共20分.）13.如果集合中只有一個元素，則a的值是______．〖答案〗，4〖解析〗若，則集合，符合題意；若，則，解得．故〖答案〗為：．14.已知是定義在R上的奇函數，當時，是冪函數，且圖象過點，則____________.〖答案〗〖解析〗因為當時，是冪函數，所以時，可設，又過點，所以，可得，所以時，可得，又是定義在R上的奇函數，所以.故〖答案〗為：.15.函數在上不單調，則實數a的取值范圍為_______．〖答案〗〖解析〗可得的對稱軸為，在上不單調，則，解得.故〖答案〗為：.16.德國數學家高斯在證明“二次互反律”的過程中首次定義了取整函數，其中表示“不超過x的最大整數”，如，，．寫出滿足的一個x的值__________；關于x的方程的解集為__________．〖答案〗(〖答案〗不唯一)；〖解析〗根據取整函數的定義，當時，，故取；，即，解得.故〖答案〗為：(〖答案〗不唯一)；.四、解答題（本大題共6小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知集合，．（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍．解：（1）當時，，而，所以.（2）因為，所以，當時，，即，此時滿足；當時，要使成立，則需滿足，解得，綜上所述，實數的取值范圍是或.18.已知函數.（1）分別求和的值；（2）若，求的值．解：（1），因為，所以.（2）若，則，解得（舍）或；若，則，解得（舍）或；綜上：.19.已知函數是定義在的奇函數，且當時.（1）現已畫出函數在軸左側的圖象，如圖所示，請補出函數的完整圖象，并根據圖象直接寫出函數的單調區間及時的值域；（2）求的〖解析〗式.解：（1）是奇函數，圖象關于原點中心對稱，故函數的完整圖象如圖所示：，由圖象可知，函數的單調減區間是和，增區間是，時，的值域為.（2）是奇函數，，設時，，依題意知，即，故；時，，故，故的〖解析〗式為.20.小明將上周每天騎車上學路上的情況用圖像表示：很遺憾圖像的先后次序不小心被打亂了.還好小明同時用文字進行了記錄：周一：勻速騎車前進；周二：勻速騎車前進，中間遇到紅燈停了一次；周三：騎車出門晚了，越騎越快；周四：騎車出門后一會兒想起忘帶東西又加速回去拿；周五：……（1）請將圖像的編號填入表格中對應日期的下方，日期周一周二周三周四周五圖像編號（2）本周小明打算跑步上學，多消耗點熱量.已知單位時間消耗的熱量（卡/小時）與跑步的平均速度（千米/小時）滿足函數，小明家到學校的距離是1.5千米，假設小明上學路上不停頓，則他從家跑步到學校最多可以消耗多少熱量?解：（1）根據實際情況，填表如下：日期

周一

周二

周三

周四

周五

圖像編號

E

A

C

BD（2）由題意可得，上學用時小時，設消耗的熱量為，則，當且僅當，即時，取得最大值125，故他從家跑步到學校最多可以消耗最多熱量125卡．21.已知函數，，從下面兩個條件中任選一個條件，求出，的值，并解答后面的問題.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）①已知函數，在定義域上為偶函數；②已知函數在上的值域為.（1）選擇______，求，的值；（2）證明上單調遞增；（3）解不等式.解：（1）選①：因為在上是偶函數，則，且，所以，；選②：當時，在上單調遞增，則有，得，.（2）由①或②得，，任取，且，則，∵，則，，∴，即則在上單調遞增.（3）∵，，又，∴為奇函數，由，得，又因為在上單調遞增，則，解得，所以.22.定義在R上的函數滿足：對任意，都有，則稱函數是R上的凹函數.已知二次函數.（1）求證：函數是凹函數；（2）求在上的最小值，并求出的值域.解：（1