第04講三角形的外角（6種題型）【知識(shí)梳理】1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.要點(diǎn)詮釋：（1）外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線．（2）三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角．所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說三角形有三個(gè)外角．2．性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．要點(diǎn)詮釋：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理、證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)．另外，在證明角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點(diǎn)詮釋：因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的三個(gè)外角和是360°．【考點(diǎn)剖析】題型一、三角形的外角例1.（1）如圖，AB和CD交于點(diǎn)O，求證：∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如圖，求證：∠D=∠A＋∠B+∠C．【答案與解析】解：（1）如圖，在△AOC中，∠COB是一個(gè)外角，由外角的性質(zhì)可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如圖，延長(zhǎng)線段BD交線段與點(diǎn)E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C②，將①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得證．【總結(jié)升華】重要結(jié)論：（1）“8”字形圖：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形圖”：∠D=∠A＋∠B+∠C．題型二：三角形的外角和例2：如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？解：解法一：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.解法二：如圖，∠BAE+∠1=180°①，∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.解法三：如圖，過A作AN平行于BC，則易得∠3＝∠4，∠2＝∠BAM，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°.題型三、三角形的內(nèi)角、外角綜合例3.如圖所示，已知DE分別交△ABC的邊AB、AC于D、E，交BC的延長(zhǎng)線于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】要求∠BDF的度數(shù)，應(yīng)從三角形內(nèi)角和與三角形的外角出發(fā)，若將∠BDF看成△BDF的內(nèi)角，只需求∠F的度數(shù)即可．【答案與解析】解：∵∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，∴∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，∴∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．【總結(jié)升華】三角形內(nèi)角和與外角是進(jìn)行與角有關(guān)的計(jì)算或證明的重要工具，本題也可將∠BDF看成△ADE的外角來求解．【變式】如圖所示，已知△ABC中，P為內(nèi)角平分線AD、BE、CF的交點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG⊥BC于G，試說明∠BPD與∠CPG的大小關(guān)系并說明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG；理由如下：∵AD、BE、CF分別是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BAC，∠3＝∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°，又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°，又∵PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．題型四：應(yīng)用三角形的外角求角的度數(shù)例4：如圖，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度數(shù).解：∵∠BEC是△AEC的一個(gè)外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE.∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一個(gè)外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF.∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.例5.如圖所示，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數(shù)．解析：延長(zhǎng)BP交AC于E或連接AP并延長(zhǎng)，構(gòu)造三角形的外角，再利用外角的性質(zhì)即可求出∠A的度數(shù)．解：延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E，則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法總結(jié)：利用三角形的外角的性質(zhì)將已知與未知的角聯(lián)系起來是計(jì)算角的度數(shù)的方法．【變式】（一題多解）如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).思路點(diǎn)撥：添加適當(dāng)?shù)妮o助線將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.解法一：連接AD并延長(zhǎng)于點(diǎn)E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因?yàn)椤螧DC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.解法二：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.解法三：連接延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)F（解題過程同解法二）.題型五：用三角形外角的性質(zhì)把幾個(gè)角的和分別轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角和例6.已知：如圖為一五角星，求證：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.解析：根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得證．證明：∵∠EFG、∠EGF分別是△BDF、△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的特點(diǎn)，利用三角形外角的性質(zhì)將分散的角集中到某個(gè)三角形中，利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行解決．【變式】（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知∠A＝50°，∠D＝40°．(1)求∠1度數(shù)；(2)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）設(shè)∠1的同旁內(nèi)角為∠2，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．(1)∠1＝∠A+∠D＝90°；,(2)設(shè)∠1的同旁內(nèi)角為∠2，如圖，∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．題型六：三角形外角的性質(zhì)和角平分線的綜合應(yīng)用例7.如圖①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點(diǎn)E.(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度數(shù)；(2)猜想：∠E與∠A有什么數(shù)量關(guān)系(寫出結(jié)論即可)；(3)如圖②，點(diǎn)E是△ABC兩外角平分線BE、CE的交點(diǎn)，探索∠E與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．解析：先計(jì)算特殊角的情況，再綜合運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及其推論結(jié)合三角形的角平分線概念解決．解：(1)根據(jù)外角的性質(zhì)得∠ACD＝∠A＋∠ABC＝60°＋50°＝110°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠1＝eq\f(1,2)∠ACD＝55°，∠2＝eq\f(1,2)∠ABC＝25°.∵∠E＋∠2＝∠1，∴∠E＝∠1－∠2＝30°；(2)猜想：∠E＝eq\f(1,2)∠A；(3)∵BE、CE是兩外角的平分線，∴∠2＝eq\f(1,2)∠CBD，∠4＝eq\f(1,2)∠BCF，而∠CBD＝∠A＋∠ACB，∠BCF＝∠A＋∠ABC，∴∠2＝eq\f(1,2)(∠A＋∠ACB)，∠4＝eq\f(1,2)(∠A＋∠ABC)．∵∠E＋∠2＋∠4＝180°，∴∠E＋eq\f(1,2)(∠A＋∠ACB)＋eq\f(1,2)(∠A＋∠ABC)＝180°，即∠E＋eq\f(1,2)∠A＋eq\f(1,2)(∠A＋∠ACB＋∠ABC)＝180°.∵∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°，∴∠E＋eq\f(1,2)∠A＝90°.方法總結(jié)：對(duì)于本題發(fā)現(xiàn)的結(jié)論要予以重視：圖①中，∠E＝eq\f(1,2)∠A；圖②中，∠E＝90°－eq\f(1,2)∠A.【變式】（2022·河南鄭州·八年級(jí)期末）如圖，是中的平分線，是的外角的平分線，如果，，則__________．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出∠P的度數(shù)．【詳解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM-∠CBP=50°-20°=30°，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2022秋·云南楚雄·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，是的外角，若，，則（

）A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】D【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答．【詳解】是的外角，，，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查三角形外角性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，熟記定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行解題．【詳解】由三角形的外角大于與它不相鄰的每一個(gè)內(nèi)角，可得的大小關(guān)系為：．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）已知直線，將一塊含30°角的直角三角板按如圖方式放置（），若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等，三角形的外角性質(zhì)得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·湖北荊州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，點(diǎn)在射線上，于，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)垂直的定義得出，進(jìn)而根據(jù)互余關(guān)系即可求解．【詳解】，，平分，，，于，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將一副三角板拼成如圖所示的圖形（，，，），交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角板的特點(diǎn)及三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵將一副三角板拼成如圖所示的圖形，，，，，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）把兩塊三角板按如圖所示那樣拼在一起，的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，，理由三角形的外角求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，，∴，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角板中的角度計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角性質(zhì)，三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．7．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知直線，則(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由可以推出，又因?yàn)椋裕涂梢郧蟪觯驹斀狻浚蔬x：C．【點(diǎn)睛】考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，掌握兩直線平行同位角相等是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得，，，根據(jù)角的和差關(guān)系，得，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得，從而解決此題．【詳解】解：如圖：由題意得，，，，∴，∴，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)，三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，是解決本題的關(guān)鍵．9．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，把紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在圖中的處，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用折疊性質(zhì)得，，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，利用鄰補(bǔ)角得到，則，然后利用，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，，紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在圖中的處，°，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，求一個(gè)角的鄰補(bǔ)角，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．10．（2023春·陜西西安·八年級(jí)西北大學(xué)附中校考階段練習(xí)）如圖，在中，，D為邊上的一點(diǎn)，E點(diǎn)在邊上，，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形的外角性質(zhì)可得，結(jié)合，可得出∠，利用三角形的外角性質(zhì)可得，進(jìn)而可得出，再結(jié)合及即可解答．【詳解】解：∵是的外角，∴，∵，∴．∵是的外角，∴，∴，又∵，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2022秋·廣東茂名·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，∠1的大小為______．

【答案】/105度【分析】直接利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由三角形的外角定理得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形外角的定義，熟練運(yùn)用外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（2021秋·廣東河源·八年級(jí)校考期中）如圖，若，，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)．則______．【答案】【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得．【詳解】解：，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．13．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，、的角平分線交于點(diǎn)，若，，則____．

【答案】/度【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的定義，得，，根據(jù)三角形的外角和，得，，根據(jù)等量代換，；根據(jù)，，根據(jù)等量代換，得，聯(lián)立，即可求出．【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵、的角平分線交于點(diǎn)，∴，，∵，，∴，∵，，∴，由得，，解得：，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，三角形的外角和，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義，三角形的外角和．14．（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將一副三角尺如圖擺放，其中，，，，則______．

【答案】/165度【分析】利用三角形的外角性質(zhì)求得的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)．掌握“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，若，則______．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，化簡(jiǎn)可得，進(jìn)一步找出其中的規(guī)律，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，，，又，，，，同理可得：，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等，找出，，與的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)為外角的平分線，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．以下結(jié)論①，②，③，④，其中正確的是_________（填序號(hào)）．【答案】①②③【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)即可判斷①正確；先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可判斷③正確；先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，再結(jié)合結(jié)論③即可判斷②正確；假設(shè)④正確，從而可得，再根據(jù)結(jié)論②可得，由此即可判斷④錯(cuò)誤．【詳解】解：平分，為外角的平分線，，，，，結(jié)論①正確；平分，，，結(jié)論③正確；又，，，結(jié)論②正確；假設(shè)，，解得，，由已知條件不能得出這個(gè)結(jié)論，則假設(shè)不成立，結(jié)論④錯(cuò)誤；綜上，結(jié)論正確的是①②③，故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．17．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，在中，，內(nèi)角和外角的平分線交于點(diǎn)，則________．【答案】【分析】利用角平分線定義可知，．再利用外角性質(zhì)，可得，根據(jù)角等量關(guān)系代換得到．【詳解】解：和分別是和的角平分線，，，又是的一外角，，，是的一外角，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟記掌握三角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)．18．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，平分，，分別交，，，的延長(zhǎng)線于E，H，F(xiàn)，G，已知下列三個(gè)式子：①；②；③．其中正確的是________．（填序號(hào)）

【答案】【分析】由平分，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，而，即可求得；再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，得到，由此得到正確答案．【詳解】解：如圖：

平分，，，，，，；又，；故正確，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，垂線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用基本圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，分別交的邊，于點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于，，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】在中可求得，再結(jié)合條件和外角的性質(zhì)可求得大小．【詳解】解：∵，，∴，又，∴，∴的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和為及三角形的一個(gè)外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．20．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，在上，，在上取一點(diǎn)使，求的度數(shù)．【答案】【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，再根據(jù)等邊對(duì)等角得到，進(jìn)而推出，進(jìn)一步推出即可得到答案．【詳解】解：由三角形的外角性質(zhì)得，，，，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形一個(gè)外角的度數(shù)等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之和是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，分別平分，，它們交于點(diǎn)，求證：．【答案】見解析【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，同理求出，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，，∴，，同理可得，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，角的和差計(jì)算，熟知三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊上的高，平分．若，．求：的度數(shù)．

【答案】【分析】由三角形的高的定義可得，進(jìn)而可得，根據(jù)角平分線的定義可得，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得．【詳解】解：∵是邊上的高，∴，在中，，∵平分，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的角平分線、高，三角形外角的定義和性質(zhì)，難度較小，解題的關(guān)鍵是掌握三角形角平分線和高的定義，牢記三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．23．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）在中，，，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)三角形的外角定理得出，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)