四川省綿陽市綿陽中學資陽育才學校2023-2024學年高二數學第一學期期末質量跟蹤監視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，，則最小值是（）A.10 B.9C.8 D.72．已知實數，滿足則的最大值為（）A.-1 B.0C.1 D.23．已知等差數列的前n項和為，，，若（），則n的值為（）A.15 B.14C.13 D.124．已知圓：，點是直線：上的動點，過點引圓的兩條切線、，其中、為切點，則直線經過定點（）A. B.C. D.5．在單調遞減的等比數列中，若，，則（）A.9 B.3C. D.6．若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線的左焦點為，，為雙曲線的左、右頂點，漸近線上的一點滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．已知、，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.9．橢圓的焦點坐標是（）A.（±4，0） B.（0，±4）C.（±5，0） D.（0，±5）10．已知橢圓的焦點分別為，，橢圓上一點P與焦點的距離等于6，則的面積為（）A.24 B.36C.48 D.6011．口袋中裝有大小形狀相同的紅球3個，白球3個，小明從中不放回的逐一取球，已知在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為（）A.0.4 B.0.5C.0.6 D.0.7512．已知直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且直線l與圓相切，則的面積的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數列滿足，，則______.14．已知命題恒成立；，若p，均為真，則實數a的取值范圍__________15．中國三大名樓之一的黃鶴樓因其獨特的建筑結構而聞名，其外觀有五層而實際上內部有九層，隱喻“九五至尊”之意，為迎接2022年春節的到來，有網友建議在黃鶴樓內部掛燈籠進行裝飾，若在黃鶴樓內部九層塔樓共掛1533盞燈籠，且相鄰的兩層中，下一層的燈籠數是上一層燈籠數的兩倍，則內部塔樓的頂層應掛______盞燈籠16．若過點作圓的切線，則切線方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸長為2（1）求橢圓的方程；（2）設過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，求當的面積取得最大值時的值18．（12分）已知函數（1）討論的單調性；（2）當時，證明19．（12分）如圖，在長方體中，，，，M為上一點，且（1）求點到平面的距離；（2）求二面角的余弦值20．（12分）已知等差數列滿足：成等差數列，成等比數列.（1）求的通項公式：（2）在數列的每相鄰兩項與間插入個，使它們和原數列的項構成一個新數列，數列的前項和記為，求及.21．（12分）直線經過點，且與圓相交與兩點，截得的弦長為，求的方程.22．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，四邊形ACEF為正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF（1）證明：AB⊥CF；（2）求點C到平面BEF距離；（3）求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用題設中的等式，把的表達式轉化成展開后，利用基本不等式求得的最小值【詳解】∵，，，∴＝，當且僅當，即時等號成立故選：B2、D【解析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數，即可得到結果【詳解】由約束條件畫出可行域如圖，化目標函數為，由圖可知當直線過點時，直線在軸上的截距最小，取得最大值2.故選：D3、B【解析】由已知條件列方程組求出，再由列方程求n的值【詳解】設等差數列的公差為，則由，，得，解得，因為，所以，即，解得或（舍去），故選：B4、D【解析】根據圓的切線性質，結合圓的標準方程、圓與圓的位置關系進行求解即可.【詳解】因為、是圓的兩條切線，所以，因此點、在以為直徑的圓上，因為點是直線：上的動點，所以設，點，因此的中點的橫坐標為：，縱坐標為：，，因此以為直徑的圓的標準方程為：，而圓：，得：，即為直線的方程，由，所以直線經過定點，故選：D【點睛】關鍵點睛：由圓的切線性質得到點、在以為直徑的圓上，運用圓與圓的位置關系進行求解是解題的關鍵.5、A【解析】利用等比數列的通項公式可得，結合條件即求.【詳解】設等比數列的公比為，則由，，得，解得或，又單調遞減，故，.故選：A.6、B【解析】由題意可知圓心在第一象限，設圓心的坐標為，可得圓的半徑為，寫出圓的標準方程，利用點在圓上，求得實數的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.7、C【解析】由雙曲線的漸近線方程和兩點的距離公式，求得點的坐標和，在中，利用余弦定理，求得的關系式，再由離心率公式，計算即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，設在漸近線上，且點在第一象限內，由，解得，即點，所以，在中，由余弦定理可得，可得，即，所以雙曲線離心率為.故選：C.【點睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.8、B【解析】設直線的傾斜角為，利用直線的斜率公式求出直線的斜率，進而可得出直線的傾斜角.【詳解】設直線的傾斜角為，由斜率公式可得，，因此，.故選：B.9、A【解析】根據橢圓的方程求得的值，進而求得橢圓的焦點坐標，得到答案.【詳解】由橢圓，可得，則，所以橢圓的焦點坐標為和.故選：A.10、A【解析】由題意可得出與、、的值，在根據橢圓定義得的值，即可得到是直角三角形，即可求出的面積.【詳解】由題意知，.根據橢圓定義可知，是直角三角形，.故選：A.11、C【解析】求出第一次取得紅球的事件、第一次取紅球第二次取白球的事件概率，再利用條件概率公式計算作答.【詳解】記“第一次取得紅球”為事件A，“第二次取得白球”為事件B，則，，于是得，所以在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為0.6.故選：C12、A【解析】由直線與圓相切可得，再利用基本不等式即求.【詳解】由已知可得，，因為直線與圓相切，所以，即，因為，當且僅當時取等號，所以，，所以面積的最小值為1.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據遞推關系依次求得的值.【詳解】依題意數列滿足，，所以.故答案為：14、【解析】根據題意得到命題為真命題，為假命題，結合二次函數的圖象與性質，即可求解.【詳解】根據題意，命題，均為真命題，可得命題為真命題，為假命題，由命題恒成立，可得，解得；又由命題為假命題，可得，解得，所以，即實數a的取值范圍為.故答案為：.15、【解析】根據給定條件，各層燈籠數從上到下排成一列構成等比數列，利用等比數列前n項和公式計算作答.【詳解】依題意，各層燈籠數從上到下排成一列構成等比數列，公比，前9項和為1533，于是得，解得，所以內部塔樓的頂層應掛3盞燈籠.故答案為：316、或【解析】根據圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求解.【詳解】由題意可知，，故在圓外，則過點做圓的切線有兩條，且切線斜率必存在，設切線為，即，則圓心到直線的距離，解得或，故切線方程為或故答案為：或三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由短軸長得，由離心率處也的關系，從而可求得，得橢圓方程；（2）設，，直線的方程為，代入橢圓方程應用韋達定理得，由弦長公式得弦長，求出原點到直線的距離，得出三角形面積為的函數，用換元法，基本不等式求得最大值，得值【詳解】解：（1）由題意得，，所以，，橢圓的方程為（2）直線的方程為，代入橢圓的方程，整理得由題意，，設，則，弦長，點到直線的距離，所以的面積，令，則，當且僅當時取等號．所以，對應的，可解得，滿足題意18、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）求導得，進而分和兩種情況討論求解即可；（2）根據題意證明，進而令，再結合（1）得，研究函數的性質得，進而得時，，即不等式成立.【小問1詳解】解：函數的定義域為，，∴當時，在上恒成立，故函數在區間上單調遞增；當時，由得，由得，即函數在區間上單調遞增，在上單調遞減；綜上，當時，在區間上單調遞增；當時，在區間上單調遞增，在上單調遞減；【小問2詳解】證明：因為時，證明，只需證明，由（1）知，當時，函數在區間上單調遞增，在上單調遞減；所以.令，則，所以當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以.所以時，，所以當時，19、（1）（2）【解析】（1）以A為原點，以AB、AD、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求解，（2）求出和的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】以A為原點，以AB、AD、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系由，，，，所以，，，因此，，，設平面的法向量，則，，所以，取，則，，于是，所以點到平面的距離【小問2詳解】由，，設平面的法向量，則，，所以，取，則，，于是，由（1）知平面的法向量為，記二面角的平面角為，則，由圖可知二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為20、（1）；（2），.【解析】（1）根據等差數列和等比數列的通項公式進行求解即可；（2）根據等差數列的通項公式，結合等比數列的前項和公式進行求解即可.【小問1詳解】設等差數列的公差為，因為成等差數列，所以有，因成等比數列，所以，所以；【小問2詳解】由題意可知：在和之間插入個，在和之間插入個，，在和之間插入個，此時共插入的個數為：，在和之間插入個，此時共插入的個數為：，因此.21、或【解析】直線截圓得的弦長為，結合圓的半徑為5，利用勾股定理可得圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式列方程求出直線斜率，由點斜式可得結果.【詳解】設直線的方程為，即，因為圓的半徑為5，截得的弦長為所以圓心到直線的距離，即或，∴所求直線的方程為或.【點睛】本題主要考查點到直線距離公式以及圓的弦長的求法，求圓的弦長有兩種方法：一是利用弦長公式，結合韋達定理求解；二是利用半弦長，弦心距，圓半徑構成直角三角形，利用勾股定理求解.22、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】(1)利用余弦定理計算AC，再證明即可推理作答.(2)以點A為原點，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，借助空間向量計算點C到平面BEF的距離.(3)利用(2)中坐標系，用向量數量積計算兩平面夾角余弦值，進而求解作答.小問1詳解】在中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，由余弦定理得，，即，有，則，即，因平面ABCD⊥平面ACEF，平面平面，平面，于是得平面，又平面，所以.【小問2詳