第十三講概率初步日常生活中，我們經(jīng)常會遇到一些無法事先預測結(jié)果的事情，比如拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面，明天會不會下雨，歐洲杯誰會奪冠等，這些事情我們稱作隨機事件，它們的結(jié)果都有不確定性，是無法預知的．盡管無法預知結(jié)果，但有時我們可以根據(jù)一些跡象或者經(jīng)驗了解結(jié)果發(fā)生的可能性的大小，例如：今天烏云密布，那么明天很有可能下雨；中國足球隊參加世界杯奪冠的可能性非常??；一次投擲10枚硬幣，出現(xiàn)10個正面的可能性非常小．為了能夠更準確的描述這種“可能性的大小”，法國數(shù)學家費馬和帕斯卡在17世紀創(chuàng)立了概率論，把對隨機事件的研究上升到一門科學．（當時他們通過信件討論了社會上的兩個熱點問題——擲骰子問題和比賽獎金分配問題）概率基本概念概率反應了一個隨機事件結(jié)果發(fā)生的可能性，例如：投擲一枚硬幣，正面和反面出現(xiàn)的可能性相同，所以概率均為；投擲一個骰子，每種點數(shù)出現(xiàn)的可能性相同，所以概率均為．概率是0~1之間用來表示事件可能性大小的一個數(shù)值．關于概率，大家要有一個正確的認識，投擲1枚硬幣，正面出現(xiàn)的概率為，并不是說投擲2次一定會有1次正面，而是說每次扔都有可能性出現(xiàn)正面．雖然投擲2次硬幣，不見得正面會出現(xiàn)一半，但是，投擲次數(shù)越多，正面出現(xiàn)的比例越接近一半（例如無論誰投擲10000次硬幣，正面出現(xiàn)的比例都會很接近0.5）．（這個特點在概率論中被稱為大數(shù)定律）換言之，概率可以展示出大量重復實驗結(jié)果的規(guī)律性．基于此，在17世紀概率剛創(chuàng)始的年代，人們提出了古典概率模型．古典概率模型古典概率模型是最簡單的概率計算模型，它的想法非常簡單，用“條件要求的情況總量”除以“全部情況數(shù)量”即可．古典概型中，第一個重要條件是“全部情況的數(shù)量是有限個”，下面我們先用幾個簡單例子來看一下古典概型的用法：1．A、B、C排成一排，共有6種排法，其中A占排頭的方法共2種，所以A站排頭的概率是．2．從3個男生、2個女生中，隨意選出2個人去參加數(shù)學競賽，共有10種方法，其中選出2個男生的方法數(shù)有3種，所以選出2個男生的概率是．3．3個男生、2個女生站成一排照相共有120種站法，其中女生互不相鄰的站法共72種，所以3男、2女站成一排，女生互不相鄰的概率是．上面的例子都比較簡單，因為計算概率所需要的兩個數(shù)都非常好算，接來下我們再看幾個例子，從這幾個例子中，大家要能體會到古典概型的第二個重要條件——等可能性．4．從10個紅球、1個白球中，隨意的取出1個球，取到紅球的概率是．5．投擲兩枚硬幣，出現(xiàn)2個正面的概率是，出現(xiàn)1正1反的概率是，出現(xiàn)2反的概率是．6．從3個紅球、2個白球中，隨意取出2個球，取到2個紅球的概率是．例4比較簡單，在例5中，從硬幣的結(jié)果看，只有3種情況——“2正、1正1反、2反”，但概率都不是，因為這3種結(jié)果出現(xiàn)的可能性不同，給硬幣編上A和B，那么出現(xiàn)1正1反有兩種情況“A正B反、A反B正”，而2正和2反都只有1種情況（投擲2枚硬幣共4種情況）．而例6和例2是相同的題目（把紅球換成男生，白球換成女生即可）．從這3個例子可以看出，在計算概率時，不能簡單的看有幾種最終結(jié)果，因為結(jié)果必須是“等可能”才行（例4的結(jié)果只有紅球和白球兩種，但概率顯然不相等）．為了計算“等可能”的結(jié)果，一個簡單方法是給每個物體編號，例如例4，假設紅球是1號到10號，白球是11號，那么顯然共有11種不同取法，其中有10種取到紅球，所以概率是．4個男生、2個女生隨機站成一排照相，請問：（1）女生恰好站在一起的概率是多少？（2）女生互不相鄰的概率是多少？（3）男生互不相鄰的概率是多少？

「分析」對于排隊問題大家還記得“捆綁”和“插空”法嗎？

練習1、關羽、張飛、趙云、黃忠、馬超隨機的站成一行上臺領獎，請問：（1）關羽站在正中間的概率是多少？（2）關羽和張飛相鄰的概率是多少？（3）關羽和張飛中間恰好隔著一個人的概率是多少？

一個不透明的袋子里裝著2個紅球，3個黃球和4個黑球．從口袋中任取一個球，請問：（1）這個球是紅球的概率是多少？（2）這個球是黃球或者是黑球的概率是多少？（3）這個球是綠球的概率是多少；不是綠球的概率是多少？「分析」首先計算一下取球的總的情況數(shù)，再計算問題要求的取球情況數(shù)．

練習2、北京數(shù)學學校從集訓隊中隨機選出3個人去參加比賽，已知集訓隊中共有4個男生、3個女生，請問：（1）選出3個男生的概率是多少？（2）選出2男1女的概率是多少？

一次投擲兩個骰子，請問：（1）兩個骰子點數(shù)相同的概率是多少？（2）兩個骰子點數(shù)和為5的概率是多少？（3）兩個骰子點數(shù)差是1的概率是多少？

「分析」骰子是一個正方體，每個面上的點數(shù)從1到6，可以按題目要求枚舉一些情況，根據(jù)枚舉結(jié)果總結(jié)規(guī)律計算最后答案．

練習3、一次投擲3枚硬幣，請問：（1）出現(xiàn)3個正面的概率是多少？（2）出現(xiàn)1正2反的概率是多少？

兩個盒子中分別裝有形狀大小相同的黑球、白球和黃球各1個，現(xiàn)在從兩個盒子中各取一個球，那么它們同色的概率是多少？不同色的概率是多少？

「分析」任取兩球它們顏色的可能情況有多少種？其中有多少同色情況？

練習4、一個不透明的袋子里裝著2個紅球、3個黃球和4個黑球．從中任取兩個球，請問：取出2個黑球的概率是多少？取出1紅1黃的概率是多少？取出1黃1黑的概率是多少？

概率的獨立性如果兩個或多個隨機事件的結(jié)果互不影響，則稱它們相互獨立，例如：A買彩票是否中獎和B買彩票是否中獎是獨立的；甲考試能否及格和乙考試能否及格是獨立的；如果兩個隨機事件相互獨立，那么它們同時發(fā)生的概率是它們單獨發(fā)生概率的乘積．神射手和神槍手兩人打靶，已知他們的命中率分別為0.8和0.9，他們每人開一槍，那么他們都命中的概率是多少？都沒命中的概率是多少？

「分析」理解概率獨立性，根據(jù)獨立性解題即可．

需要分步計算的概率問題有些隨機事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，這時只要把每步的概率算出來，然后相乘即可，例如：一個盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，然后從剩下的球中再取出一個，那么第一次抽到黑球的概率是，第二次抽到黑球的概率是，所以兩次都抽到黑球的概率是．在分步拿球的問題中，大家還要注意“無放回拿球”和“有放回拿球”的區(qū)別，它關系到每步的概率計算結(jié)果．例如：一個盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，然后把它放回去，再從盒子中取出一個，那么兩次都抽到黑球的概率是．3個人進行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可．

小概率事件之買彩票彩票市場產(chǎn)生于16世紀的意大利，從古羅馬、古希臘開始，即有彩票開始發(fā)行．發(fā)展到今天，世界上已經(jīng)有139個國家和地區(qū)發(fā)行彩票，規(guī)模比較大的國家和地區(qū)有美國、西班牙、德國、日本、法國、英國、意大利、加拿大、希臘、巴西、泰國、香港、韓國、新加坡、印度、挪威、比利時、澳大利亞、新西蘭、南非、俄羅斯、保加利亞等．發(fā)行彩票集資可以說是現(xiàn)代彩票的共同目的．各國、各地區(qū)的集資目的多種多樣，社會福利、公共衛(wèi)生、教育、體育、文化是主要目標．以合法形式、公平原則，重新分配社會的閑散資金，協(xié)調(diào)社會的矛盾和關系，使彩票具有了一種特殊的地位和價值．目前，彩票的種類隨著社會的發(fā)展而發(fā)展．在不斷追求提高彩票娛樂性的過程中，彩票類型已經(jīng)從以傳統(tǒng)型彩票為主發(fā)展到傳統(tǒng)型彩票、即開型彩票和樂透彩票等多種彩票并存的局面．2011年，全國彩票銷售規(guī)模首次突破了2000億元，達到2215億元，彩票公益金籌集量達634億元．1987年到2011年，我國累計銷售彩票達10951億元，累計籌集彩票公益金3433億元．在我國有兩個彩票發(fā)行機構(gòu)，進而形成了以下彩票：福利彩票：福利彩票是指1987年以來由中國福利彩票管理中心發(fā)行的彩票．福利彩票早期有傳統(tǒng)型彩票和即開型彩票，近年來主要有即開型彩票（如刮刮樂）、樂透型彩票（如雙色球、36選5）和數(shù)字型彩票(如3D)三種，后兩種均是電腦型彩票．體育彩票：體育彩票是指由1994年3月以來由中國體育彩票管理中心發(fā)行的彩票．其種類主要有即開型彩票（如頂呱刮）、樂透型彩票(如大樂透、22選）．截止到2013年世界上中得彩票最大額為一個美國80多歲的老太太，獨中5.9億美元．

作業(yè)在一只口袋里裝著4個紅球，5個黃球和6黑球．從口袋中任取一個球，請問：

（1）這個球是紅球的概率有多少？

（2）這個球是黃球或者是黑球的概率有多少？

（3）如果從口袋中任取兩個球出來，取到兩個紅球的概率是多少？

小高與墨莫做游戲：由小高拋出3枚硬幣，如果拋出的結(jié)果中，有2枚或