摩天輪中的數學問題高一數學組李夢陽一、教材分析：1．地位與作用：本節內容選自普通高中課程標準實驗教科書數學4（必修）（北師大版）。本節通過三角函數與三角函數恒等變形學習完成后的一節課題學習，旨在讓學生感受生活中存在的周期現象，三角函數是描述周期現象的重要數學模型，通過數學建模體驗數學與日常生活的緊密聯系，并嘗試運用已有的數學知識和方法解決這一實際問題，使其養成用數學用數學的眼光觀察生活，用數學的思想方法解決的思維習慣。2.對課題學習的解讀：數學課題學習，即數學研究性學習，就是將研究性學習的思想和方法體現在數學學科教學中，使教學過程變成一種科研或微科研的過程，讓學生在獲取知識的同時，參與體驗研究性學習過程，學生通過親身實踐獲得感悟和體驗，獲得豐富的非結構性的知識。3.課題學習的特點和教法的選擇：數學課題學習強調學生探究問題的過程，并且過程具有開放性，同時學生掌握學習的自主權。因此教師只是活動的組織者和參與者，所以本節課以學生自主探究、自主學習、合作交流為主。二、重難點及突破:根據學生的認知水平，將“實際問題轉化為數學問題”為本節的重難點，采取小組合作討論的形式進行突破，“建立函數關系式——解決問題的過程”也本節重點。三、教學目標：1.知識與技能：借助對實際模型的分析與解決，進一步鞏固和掌握三角函數的圖像和性質。2.過程與方法：通過對實際背景的研究過程，體會函數是重要的數學模型，三角函數是刻畫與描述現實世界中具有周期變化規律的重要函數；經歷觀察、猜測、分析數學事實，提出有意義的數學問題，探求適當的數學結論或規律這一過程，初步掌握數學建模的一般方法，提升學生的數學應用意識。3.情感、態度與價值觀：用數學知識發現生活中的問題，推動學生聯系現實，了解社會，體驗人生，并積累一定的感性認識和實踐經驗。體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識，體驗數學解決實際問題中的作用與日常生活的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力。在自主、合作、民主的氛圍中，逐步轉變學生的學習方式，提高學習的自主性和積極性。四、教法、學法：本節課采用問題驅動式教學，以學生獨立思考、自主探究、自主學習、合作交流為主。五、教學過程：首先結合身邊資源——環球嘉年華游樂場，培養學生聯系生活實際，調動學習積極性，激起學習興趣。先展示幾張摩天輪的圖片，給學生形成直觀感受。以問題串的形式開展教學活動。問：誰坐過摩天輪，你能否給大家講一講乘坐時的感受，你覺得它和數學有聯系嗎？（一）課題引入：背景呈現：游樂場中的摩天輪勻速運轉，其中心O距地面40.5米，半徑為40米，如果你從最低點處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，6分鐘時第一次到達最高點（設以你登上摩天輪的時間為0開始計算）。探究學習：第一階段:學生經歷從現實世界的問題——簡化為現實的模型——翻譯成數學模型的這一過程。問題1：摩天輪做周而復始的圓周運動這是一種什么現象？問題2：你坐摩天輪的過程中哪些量在發生變化？怎樣變的？問題3：在上述變化過程中，當時間確定時高度是否唯一確定？當高度確定了，時間是否唯一確定？為什么？問題4：從上述研究過程我們已經看到時間與高度是一對變量,它們之間是否存在一定的關系？是什么關系？你能否求出你與地面的距離y與時間t的這一關系呢？（問題1—4，引導學生在直觀感受的基礎上（學生先自己提出問題，教師根據學生反應，適當給以提示），通過分析選取函數模型，得到函數解析式）第二階段:模型的應用問：如果你此時正坐在摩天輪上的某個座倉里，請結合函數關系式你還能提出什么問題？(目的是激勵學生自己提出他所關心的問題串）鼓勵學生自己提出問題：（例如）問題5：當你登上摩天輪8分鐘后你距地面多少米？問題6：當你第一次距離地面60.5米時用了多少時間？問題7：當你第二次距離地面60.5米時用了多少時間？問題8：當你第四次距離地面60.5米時用了多少時間？（問題5—8，通過對函數模型的研究，進一步鞏固三角函數的相關性質）第三階段:模型的拓展（學生自己提問題，這里只是做一些預設）問題9：兩個人坐摩天輪會出現什么情況？問題10：如果你登上摩天輪2min后，你的朋友乙登上摩天輪，你能否求出乙與地面的距離h關于時間t的函數關系式？問題11：上述兩個函數圖像是什么關系？以上第二階段、第三階段的問題串由學生提出問題、再由學生解決問題，為了鼓勵學生大膽提出問題，激發學生的好奇心和求知欲，可以通過小組評價出最有意義和價值的問題，使本節課成為一節開放性的課堂。為此，教師要做好大量的準備工作，以便指導和幫助有需要的同學和應對一些出乎意料的問題。教師可根據時間選取幾個學生的問題進行展示。（三）課堂小結：鼓勵學生談感受，談想法，教師可以適當引導和補充。也可以展示一些比較好的文本內容。（四）課堂作業：在模型拓展中，你能否求出甲與地面的距離與乙與地面的距離差Δh關于時間t的函數關系式？六、評價與反思：數學課題學習即數學研究性學習的課型決定了本節課要充分調動和尊重學生的自主性，所以本節課整個過程以學生提出問題、分析問題、解決問題為主。為了激發學生的積極性，可以通過學生組內評價、小組之間評價和教師評價的多重評價方式來