河南省五岳在線考試2023-2024學年高二上數學期末達標檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．△ABC兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.2．某企業為節能減排，用萬元購進一臺新設備用于生產.第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設備每年生產的收入均為萬元.設該設備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.3．過點，的直線的斜率等于2，則的值為（）A.0 B.1C.3 D.44．設是可導函數，當，則（）A.2 B.C. D.5．設雙曲線：（，）的右頂點為，右焦點為，為雙曲線在第二象限上的點，直線交雙曲線于另一個點（為坐標原點），若直線平分線段，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．若正實數、滿足，且不等式有解，則實數取值范圍是（）A.或 B.或C. D.7．已知直四棱柱的棱長均為，則直線與側面所成角的正切值為（）A. B.C. D.8．已知空間向量，則（）A. B.C. D.9．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.10．橢圓的左、右焦點分別為，過焦點的傾斜角為直線交橢圓于兩點，弦長，若三角形的內切圓的面積為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．直線平分圓的周長，過點作圓的一條切線，切點為，則（）A.5 B.C.3 D.12．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中，則點D到平面ACE的距離為________14．已知雙曲線，則圓的圓心C到雙曲線漸近線的距離為______15．已知圓錐的側面積為，若其過軸的截面為正三角形，則該圓錐的母線的長為___________.16．已知函數在處有極值2，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點是拋物線C：上的點，F為拋物線的焦點，且，直線l：與拋物線C相交于不同的兩點A，B.（1）求拋物線C的方程；（2）若，求k的值.18．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點，（1）證明：；（2）設平面平面，求l與平面MND所成角的正弦值19．（12分）已知拋物線y2＝8x.(1)求出該拋物線的頂點、焦點、準線、對稱軸、變量x的范圍；(2)以坐標原點O為頂點，作拋物線的內接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點F是△OAB的重心，求△OAB的周長20．（12分）拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點（1）若，求直線AB的斜率；（2）設點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，，分別為，的中點（1）證明：平面；（2）證明：平面22．（10分）已知橢圓：的四個頂點組成的四邊形的面積為，且經過點.（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓的下頂點為，如圖所示，點為直線上的一個動點，過橢圓的右焦點的直線垂直于，且與交于，兩點，與交于點，四邊形和的面積分別為，，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點C的軌跡方程.【詳解】因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動點的軌跡方程，求解時，注意去掉不滿足的點，屬于基礎題.2、D【解析】設該設備第年的營運費為萬元，利用為等差數列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設該設備第年的營運費為萬元，則數列是以2為首項，2為公差的等差數列，則，則該設備使用年的營運費用總和為，設第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因為，當且僅當時，等號成立，故當時，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點睛】本題考查等差數列在實際問題中的應用，注意根據題設條件概括出數列的類型，另外用基本不等式求最值時注意檢驗等號成立的條件.3、A【解析】利用斜率公式即求.【詳解】由題可得，∴.故選：A4、C【解析】由導數的定義可得，即可得答案【詳解】根據題意，，故.故選：C5、A【解析】由給定條件寫出點A，F坐標，設出點B的坐標，求出線段FC的中點坐標，由三點共線列式計算即得.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，點，設，由雙曲線對稱性得，線段FC的中點，因直線平分線段，即點D，A，B共線，于是有，即，即，離心率.故選：A6、A【解析】將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關于實數的不等式，解之即可.【詳解】因為正實數、滿足，則，即，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，即的最小值為，因為不等式有解，則，即，即，解得或.故選：A.II卷7、D【解析】根據題意把直線與側面所成角的正切值轉化為在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【詳解】由題意可知直四棱柱如下圖所示：取的中點設為點，連接，在直四棱柱中，面，面，，在四邊形中，，，故且.面，面，面，.故直線與側面所成角的正切值為.故選：D.8、C【解析】A利用向量模長的坐標表示判斷；B根據向量平行的判定，是否存在實數使即可判斷；C向量數量積的坐標表示求即可判斷；D利用向量坐標的線性運算及數量積的坐標表示求即可.【詳解】因為，所以A不正確：因為不存在實數使，所以B不正確；因為，故，所以C正確；因為，所以，所以D不正確故選：C9、D【解析】根據互相垂直兩直線的斜率關系進行求解即可.【詳解】由，所以直線的斜率為，由，所以直線的斜率為，因為直線與直線垂直，所以，故選：D10、C【解析】由題可得直線AB的方程，從而可表示出三角形面積，又利用焦點三角形及三角形內切圓的性質，也可表示出三角形面積，則橢圓的離心率即求.【詳解】由題知直線AB的方程為，即，∴到直線AB距離，又三角形的內切圓的面積為，則半徑為1，由等面積可得，.故選：C.11、B【解析】根據圓的性質，結合圓的切線的性質進行求解即可.【詳解】由，所以該圓的圓心為，半徑為，因為直線平分圓的周長，所以圓心在直線上，故，因此，，所以有，所以，故選：B12、B【解析】寫出每次循環的結果，即可得到答案.【詳解】當時，，，，；，此時，退出循環，輸出的的為.故選：B【點睛】本題考查程序框圖的應用，此類題要注意何時循環結束，建議數據不大時采用寫出來的辦法，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立合適空間直角坐標系，分別表示出點的坐標，然后求解出平面的一個法向量，利用公式求解出點到平面的距離.【詳解】以AB的中點O為坐標原點，分別以OE，OB所在的直線為x軸、y軸，過垂直于平面的方向為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，，設平面ACE的法向量，則，即，令，∴故點D到平面ACE的距離.故答案：.14、2【解析】求出圓心和雙曲線的漸近線方程，即得解.【詳解】解：由題得圓的圓心為，雙曲線的漸近線方程為，即.所以圓心到雙曲線漸近線的距離為.故答案為：215、【解析】利用圓錐的結構特征及側面積公式即得.【詳解】設圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線為l,又圓錐過軸的截面為正三角形，圓錐的側面積為，∴，∴.故答案為：.16、6【解析】根據函數在處有極值2，可得，解方程組即可得解.【詳解】解：，因為函數在處有極值2，所以，即，解得，則，故當時，，當時，，所以函數在處有極大值，所以，所以.故答案為：6.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）1或.【解析】(1)根據拋物線的定義，即可求得p值；(2)由過拋物線焦點的直線的性質，結合拋物線的定義，即可求出弦長AB【詳解】（1）拋物線C：的準線為，由得：，得.所以拋物線的方程為.（2）設，，由，，∴，∵直線l經過拋物線C的焦點F，∴解得：，所以k的值為1或.【點睛】考核拋物線的定義及過焦點弦的求法18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得.（2）利用向量法求得與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】∵PD⊥平面ABCD，，以點D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則D（0，0，0），N（，0，），P（0，0，2），M（1，2，0）所以，，所以,所以.【小問2詳解】由正方形ABCD得，CD//AB，∵平面PAB，平面PAB，∴CD//平面PAB；又∵平面PCD，平面平面∴CD//l；于是CD與平面MND所成的角即為l與平面MND所成的角由（1）知，設平面MND的一個法向量，則，取，則，于是是平面MND的一個法向量，因為，設l與平面MND所成角為，則19、（1）見解析；（2）2＋4.【解析】（1）由拋物線的簡單幾何性質易得結果；(2)由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，又焦點F是△OAB的重心，則|OF|＝|OM|=2.設A(3，m)，代入y2＝8x即可得到△OAB的周長【詳解】(1)拋物線y2＝8x的頂點、焦點、準線、對稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x＝－2，x軸，x≥0.(2)如圖所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，垂足為點M，又焦點F是△OAB的重心，則|OF|＝|OM|.因為F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3.所以M(3,0)．故設A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24.所以m＝2或m＝－2.所以A(3,2)，B(3，－2)所以|OA|＝|OB|＝.所以△OAB的周長為2＋4.【點睛】本題考查了拋物線簡單性質的應用，解題關鍵利用好三角形重心的性質，屬于中檔題.20、（1）；（2）面積最小值是4【解析】本題主要考查拋物線的標準方程及其幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系、直線的斜率等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，依題意F（1,0），設直線AB的方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，得，由此能夠求出直線AB的斜率；第二問，由點C與原點O關于點M對稱，得M是線段OC的中點，從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于，由此能求出四邊形OACB的面積的最小值試題解析：（1）依題意知F（1,0），設直線AB方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，消去x得．設，，所以，．①因為，所以．②聯立①和②，消去，得所以直線AB的斜率是（2）由點C與原點O關于點M對稱，得M是線段OC中點，從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于因為，所以當m＝0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4考點：拋物線的標準方程及其幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系、直線的斜率21、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）取中點，結合三角形中位線性質可證得四邊形為平行四邊形，由此得到，由線面平行判定定理可證得結論；（2）利用菱形特點和線面垂直的性質可證得，，由線面垂直的判定定理可證得結論.【詳解】（1）取中點，連接，分別為中點，，四邊形為菱形，為中點，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）連接，四邊形為菱形，，為等邊三角形，又為中點，，平面，平面，，又平面，，平面.22、（1）（2）【解析】（1）因為在橢圓上，所以，又因為橢圓四個頂點組成的四邊形的面積為，所以，