哈爾濱市第九中學2024屆高二上數學期末質量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數及其導函數，若存在使得，則稱是的一個“巧值點”.下列選項中沒有“巧值點”的函數是()A. B.C. D.2．已知數列中，，當時，，設，則數列的通項公式為（）A. B.C. D.3．已知橢圓C：的兩個焦點分別為，，橢圓C上有一點P，則的周長為（）A.8 B.10C. D.124．某地政府為落實疫情防控常態化，不定時從當地780名公務員中，采用系統抽樣的方法抽取30人做核酸檢測.把這批公務員按001到780進行編號，若054號被抽中，則下列編號也被抽中的是（）A.076 B.104C.390 D.5225．已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于、兩點，以線段為直徑的圓過右焦點，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.6．已知三個觀測點，在的正北方向，相距，在的正東方向，相距.在某次爆炸點定位測試中，兩個觀測點同時聽到爆炸聲，觀測點晚聽到，已知聲速為，則爆炸點與觀測點的距離是（）A. B.C. D.7．在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當和的長度都為最短時，的值是（）A. B.C. D.8．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（）A. B.C. D.9．函數的最小值為（）A. B.1C.2 D.e10．已知不等式只有一個整數解，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.11．給出命題：若函數是冪函數，則函數的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數是（）A.3 B.2C.1 D.012．已知過點的直線與圓相切，且與直線平行，則（）A.2 B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數，，若存在，成立，則實數的取值范圍為__________.14．已知的頂點A(1，5)，邊AB上的中線CM所在的直線方程為，邊AC上的高BH所在直線方程為，求（1）頂點C的坐標；（2）直線BC的方程；15．已知橢圓()中，成等比數列，則橢圓的離心率為_______.16．如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，且點在橢圓C上（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，試探究直線上是否存在定點Q，使得為定值．若存在，求出定點Q的坐標及實數的值；若不存在，請說明理由18．（12分）已知拋物線的準線方程是.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設直線與拋物線相交于，兩點，為坐標原點，證明：.19．（12分）自我國爆發新冠肺炎疫情以來，各地醫療單位都加緊了醫療用品的生產．某醫療器械廠統計了口罩生產車間每名工人的生產速度，并將所得數據分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計口罩生產車間工人生產速度的中位數（結果寫成分數的形式）；（2）為了解該車間工人生產速度是否與他們的工作經驗有關，現從車間所有工人中隨機抽樣調查了5名工人的生產速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數據如下表：工齡x（單位：年）4681012生產速度y（單位：件/小時）4257626267根據上述數據求每名工人的生產速度y關于他的工齡x的回歸方程，并據此估計該車間某位有16年工齡的工人的生產速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式為：，20．（12分）某校高二年級全體學生參加了一次數學測試，學校利用簡單隨機抽樣的方法從甲班、乙班各抽取五名同學的數學測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數據的中位數相等且平均數也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.21．（12分）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）（1）將V表示成r的函數V（r），并求該函數的定義域；（2）討論函數V（r）的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大22．（10分）在△ABC中，(1)求B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用新定義：存在使得，則稱是的一個“巧點”，對四個選項中的函數進行一一的判斷即可【詳解】對于A，，則，令，解得或，即有解，故選項A的函數有“巧值點”，不符合題意；對于B，，則，令，令，則g(x)在x＞0時為增函數，∵(1)，(e)，由零點的存在性定理可得，在上存在唯一零點，即方程有解，故選項B的函數有“巧值點”，不符合題意；對于C，，則，令，故方程無解，故選項C的函數沒有“巧值點”，符合題意；對于D，，則，令，則.∴方程有解，故選項D的函數有“巧值點”，不符合題意故選：C2、A【解析】根據遞推關系式得到，進而利用累加法可求得結果【詳解】數列中，，當時，，，，，且，，故選：A3、B【解析】根據橢圓的定義可得：，所以的周長等于【詳解】因為，，所以，故的周長為故選：B4、D【解析】根據題意，求得組數與抽中編號的對應關系，即可判斷和選擇.【詳解】從780名公務員中，采用系統抽樣的方法抽取30人做核酸檢測，故需要分為組，每組人，設第組抽中的編號為，設，由題可知：，故可得，故可得.當時，.故選：.5、A【解析】設雙曲線的左焦點為，連接、，求得、，利用雙曲線的定義可得出關于、的等式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設雙曲線的左焦點為，連接、，如下圖所示：由題意可知，點為的中點，也為的中點，且，則四邊形為矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性質可得，故為等邊三角形，故，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，.故選：A.6、D【解析】根據題意作出示意圖，然后結合余弦定理解三角形即可求出結果.【詳解】設爆炸點為，由于兩個觀測點同時聽到爆炸聲，則點位于的垂直平分線上，又在的正東方向且觀測點晚聽到，則點位于的左側，，,，設，則，解得，則爆炸點與觀測點的距離為，故選：D.7、A【解析】根據給定條件確定點M，N的位置，再借助空間向量數量積計算作答.【詳解】因，則，即，而，則共面，點M在平面內，又，即，于是得點N在直線上，棱長為1的正四面體中，當長最短時，點M是點A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當長最短時，點N是點D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點，，而，，所以.故選：A8、C【解析】由為的中點，根據向量的運算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點，且，根據向量的運算法則，可得.故選：C.9、B【解析】先化簡為，然后通過換元，再研究外層函數單調性，進而求得的最小值【詳解】化簡可得：令，故的最小值即為的最小值，是關于的單調遞增函數，易知對求導可得：當時，單調遞減；當時，單調遞增則有：故選：B10、B【解析】依據導函數得到函數的單調性，數形結合去求解即可解決.【詳解】不等式只有一個整數解，可化為只有一個整數解令，則當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，則當時，取最大值，當時，恒成立，的草圖如下：，，則若只有一個整數解，則，即故不等式只有一個整數解，則m的取值范圍是故選：B11、C【解析】若函數是冪函數，則函數的圖象不過第四象限，原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題；其逆命題為：若函數的圖象不過第四象限，則函數是冪函數是假命題，所以原命題的否命題也是假命題.故它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題有一個．選C12、C【解析】先根據垂直關系設切線方程，再根據圓心到切線距離等于半徑列式解得結果.【詳解】因為切線與直線平行，所以切線方程可設為因為切線過點P(2，2)，所以因為與圓相切，所以故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由不等式分離參數，令，則求即可【詳解】由，得，令，則當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，故由于存在，成立，則故答案為：14、（1）；（2）.【解析】（1）設出點C的坐標，進而根據點C在中線上及求得答案；（2）設出點B的坐標，進而求出點M的坐標，然后根據中線的方程及求出點B的坐標，進而求出直線BC的方程.【小問1詳解】設C點的坐標為，則由題知，即.【小問2詳解】設B點的坐標為，則中點M坐標代入中線CM方程則由題知，即，又，則，所以直線BC方程為.15、【解析】根據成等比數列，可得，再根據的關系可得，然后結合的自身范圍解方程即可求出【詳解】∵成等比數列，∴，∴，∴，∴，又，∴故答案為：【點睛】本題主要考查橢圓的離心率的計算以及等比數列定義的應用，意在考查學生的數學運算能力，屬于基礎題16、【解析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【詳解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，定點的坐標為，實數的值為【解析】（1）由題意可得，再結合，可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設在直線上存在定點，當直線斜率存在時，設過點P的動直線l為，設，，將直線方程代入橢圓方程消去，利用根與系數，再計算為常數可求出，從而可求得，當直線斜率不存在時，可求出兩點的坐標，從而可求得的值【小問1詳解】由題意知結合，可得，所以橢圓C的標準方程為，【小問2詳解】設在直線上存在定點，使為定值，①當直線斜率存在時，設過點P的動直線l為，設，·由得，則，，所以為常數則，解之得，即定點為，則②當直線斜率不存在時，即動直線方程為，不妨設，，此時也成立所以，存在定點使為定值，即18、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯立，通過韋達定理求解直線的斜率關系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因為拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點：直線與拋物線的位置關系；拋物線的標準方程19、（1）（2）80件/小時【解析】（1）先利用等差數列的通項公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回歸直線方程，再進行預測其生產速度.【小問1詳解】解：設前4組的頻率分別為，，，，公差為，由頻率分布直方圖，得，即，解得，則，，所以中位數為.【小問2詳解】解：由題意，得，，由所給公式，得，，所以回歸直線方程為，則當時，，即估計該車間某位有16年工齡的工人的生產速度為80件/小時.20、（1），（2）【解析】（1）根據莖葉圖得甲班中位數為，由此能求出，根據由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學中隨機抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】根據莖葉圖可知1班中位數為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個基本事件，由古典概型的計算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為21、（1）V（r）=（300r﹣4r3）（0，5）（2）見解析【解析】（1）先由圓柱的側面積及底面積計算公式計算出側面積及底面積，進而得出總造價，依條件得等式，從中算出，進而可計算，再由可得；（2）通過求導，求出函數在內的極值