貴州省遵義航天中學2023-2024學年高二上數學期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是等差數列，且，，則的值（）A. B.C. D.2．如圖，是水平放置的的直觀圖，其中，，分別與軸，軸平行，則（）A.2 B.C.4 D.3．已知條件：，條件：表示一個橢圓，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知分別是橢圓的左，右焦點，點M是橢圓C上的一點，且的面積為1，則橢圓C的短軸長為（）A.1 B.2C. D.45．球O為三棱錐的外接球，和都是邊長為的正三角形，平面PBC平面ABC，則球的表面積為（）A. B.C. D.6．的展開式中的系數是（）A.1792 B.C.448 D.7．在正項等比數列中，，，則（）A27 B.64C.81 D.2568．在棱長為1的正方體中，點，分別是，的中點，點是棱上的點且滿足，則兩異面直線，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.9．直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知圓，圓，M，N分別是圓上的動點，P為x軸上的動點，則以的最小值為（）A B.C. D.11．若復數的模為2，則的最大值為（）A. B.C. D.12．下列命題中正確的個數為（）①若向量，與空間任意向量都不能構成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對于任意非零空間向量，，若，則A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在公差不為0的等差數列中，為其前n項和，若，則正整數______14．已知向量，，且，則實數______.15．已知實數x，y滿足方程，則的最大值為_________16．已知函數（1）求函數的最小正周期和單調遞增區間；（2）在銳角三角形中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，求的面積三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線與雙曲線交于，兩點，為坐標原點（1）當時，求線段的長；（2）若以為直徑的圓經過坐標原點，求的值18．（12分）某企業計劃新購買臺設備，并將購買的設備分配給名年齡不同（視為技術水平不同）的技工加工一批模具，因技術水平不同而加工出的產品數量不同，故產生的經濟效益也不同.若用變量表示不同技工的年齡，變量為相應的效益值（元），根據以往統計經驗，他們的工作效益滿足最小二乘法，且關于的線性回歸方程為（1）試預測一名年齡為歲的技工使用該設備所產生的經濟效益；（2）試根據的值判斷使用該批設備的技工人員所產生的的效益與技工年齡的相關性強弱（，則認為與線性相關性很強；，則認為與線性相關性不強）；（3）若這批設備有兩道獨立運行的生產工序，且兩道工序出現故障的概率依次是，.若兩道工序都沒有出現故障，則生產成本不增加；若工序出現故障，則生產成本增加萬元；若工序出現故障，則生產成本增加萬元；若兩道工序都出現故障，則生產成本增加萬元.求這批設備增加的生產成本的期望參考數據：，參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，，.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，且，E為PD的中點（1）求證：；（2）求二面角的大小；（3）在側棱PC上是否存在點F，使得點F到平面AEC的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由20．（12分）某工廠為了對新研發的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：單價x（元）88.28.48.68.89銷量y（件）908483807568（1）求回歸直線方程中的實數；（2）根據回歸方程預測當單價為10元時的銷量.21．（12分）數字人民幣是由央行發行的法定數字貨幣，它由指定運營機構參與運營并向公眾兌換，與紙鈔和硬幣等價.截至2021年6月30日，數字人民幣試點場景已超132萬個，覆蓋生活繳費、餐飲服務、交通出行、購物消費、政務服務等領域.為了進一步了解普通大眾對數字人民幣的感知以及接受情況，某機構進行了一次問卷調查，結果如下：學歷小學及以下初中高中大學專科大學本科碩士研究生及以上不了解數字人民幣35358055646了解數字人民幣406015011014025（1）如果將高中及高中以下的學歷稱為“低學歷”，大學專科及以上學歷稱為“高學歷”，根據所給數據，完成列聯表.低學歷高學歷合計不了解數字人民幣了解數字人民幣合計（2）若從低學歷的被調查者中隨機抽取2人進行進一步調查，求被選中的2人中至少有1人對數字人民幣不了解的概率：（3）根據列聯表，判斷是否有的把握認為“是否了解數字人民幣”與“學歷高低”有關？0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：.22．（10分）已知關于的不等式（1）若不等式的解集為，求的值（2）若不等式的解集為，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據等差數列的性質計算【詳解】因為是等差數列，所以，，也成等差數列，所以故選：B2、D【解析】先確定是等腰直角三角形，求出，再確定原圖的形狀，進而求出.【詳解】由題意可知是等腰直角三角形，，其原圖形是，，，，則，故選：D.3、B【解析】根據曲線方程，結合充分、必要性的定義判斷題設條件間的關系.【詳解】由，若，則表示一個圓，充分性不成立；而表示一個橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B4、B【解析】首先分別設，，再根據橢圓的定義和性質列出等式，即可求解橢圓的短軸長.【詳解】設，，所以，即，即，得，短軸長為.故選：B5、B【解析】取中點為T，以及的外心為，的外心為，依據平面平面可知為正方形，然后計算外接球半徑，最后根據球表面積公式計算.【詳解】設中點為T，的外心為，的外心為，如圖由和均為邊長為的正三角形則和的外接圓半徑為，又因為平面PBC平面ABC，所以平面，可知且，過分別作平面、平面的垂線相交于點即為三棱錐的外接球的球心，且四邊形是邊長為的正方形，所以外接球半徑，則球的表面積為，故選：B6、D【解析】根據二項式展開式的通項公式計算出正確答案.【詳解】的展開式中，含的項為.所以的系數是.故選：D7、C【解析】根據等比數列的通項公式求出公比，進而求得答案.【詳解】設的公比為，則（負值舍去），所以.故選：C.8、A【解析】建立空間直角坐標系，寫出點、、、和向量的、坐標，運用求異面直線余弦值的公式即可求出.【詳解】解：以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標第,則，，，，故,,，故兩異面直線，所成角的余弦值是.故選：A.【點睛】本題考查求異面直線所成角的余弦值，屬于中檔題.9、A【解析】由直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】∵直線的斜率,，設直線的傾斜角為，則，解得.故選：A.10、A【解析】求出圓關于軸的對稱圓的圓心坐標，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關于軸對稱圓的圓心坐標，半徑為1，圓的圓心坐標為，半徑為3，易知，當三點共線時，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即：.故選：A.注意:9至12題為多選題11、A【解析】由題意得，表示以為圓心，2為半徑的圓，表示過原點和圓上的點的直線的斜率，由圖可知，當直線與圓相切時，取得最值，然后求出切線的斜率即可【詳解】因為復數的模為2，所以，所以其表示以為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，表示過原點和圓上的點的直線的斜率，由圖可知，當直線與圓相切時，取得最值，設切線方程為，則，解得，所以的最大值為，故選：A12、C【解析】根據題意、空間向量基底的概念和共線的運算即可判斷命題①②③，根據空間向量的平行關系即可判斷命題④.【詳解】①：向量與空間任意向量都不能構成一個基底，則與共線或與其中有一個為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個向量，存在唯一的實數組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對于任意非零空間向量，，若，則存在一個實數使得，有，又中可以有為0的，分式沒有意義，故④錯誤.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、13【解析】設等差數列公差為d，根據等差數列通項公式、前n項和公式及可求k.【詳解】設等差數列公差為d，∵，∴，即，即，∴.故答案為：13.14、【解析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因為向量，，且，所以，解得.故答案為：.15、##【解析】設，根據直線與圓的位置關系即可求出【詳解】由于，設，所以點既在直線上，又在圓上，即直線與圓有交點，所以，，即故答案為：16、（1）最小正周期，，；（2）【解析】（1）根據降冪公式、輔助角公式化簡函數的解析式，再利用正弦型函數的最小正周期公式、單調性進行求解即可；（2）根據特殊角的三角函數值，結合三角形面積公式進行求解即可.【詳解】（1），所以的最小正周期令，，解得，，所以的單調遞增區間為，（2）因為，所以，即，又，所以，所以或，或，當時，，不符合題意，舍去；當時，，符合題意，所以，，，，此時為等腰三角形，所以，所以，即的面積為三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）聯立直線方程和雙曲線方程，利用弦長公式可求弦長.（2）根據圓過原點可得，設，從而，聯立直線方程和雙曲線方程后利用韋達定理化簡前者可得所求的參數的值.【小問1詳解】當時，直線，設，由可得，此時，故.【小問2詳解】設，因為以為直徑的圓經過坐標原點，故，故，由可得，故且，故.而可化為即，因為，所以，解得，結合其范圍可得.18、（1）元；（2）使用該批設備的技工人員所產生的的效益與技工年齡的相關性強；（3）0.13萬元.【解析】（1）直接把代入線性回歸方程即得解；（2）先求出，再代公式求出相關系數比較即得解；（3）設增加的生產成本為ξ（萬元），則ξ的可能取值為0，2，3，5，求出對應的概率即得解.小問1詳解】解：當時，.所以預測一名年齡為歲的技工使用該設備所產生的經濟效益為元.【小問2詳解】解：由題得，所以，所以.因為，所以與線性相關性很強.所以使用該批設備的技工人員所產生的的效益與技工年齡的相關性強.【小問3詳解】解：設增加的生產成本為ξ（萬元），則ξ的可能取值為0，2，3，5P（ξ＝0）＝（1﹣0.02）×（1﹣0.03）＝0.9506，P（ξ＝2）＝0.02×（1﹣0.03）＝0.0194，P（ξ＝3）＝（1﹣0.02）×0.03＝0.0294，P（ξ＝5）＝0.02×0.03＝0.0006所以Eξ＝0×0.9506+2×0.0194+3×0.0294+5×0.0006＝0.13（萬元），所以這批設備增加的生產成本的期望為0.13萬元.19、（1）證明見解析（2）（3）存在；【解析】（1）作出輔助線，證明線面垂直，進而證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標系，用空間向量求解二面角；（3）設出F點坐標，用空間向量的點到平面距離公式進行求解.【小問1詳解】證明：連接BD，設BD與AC交于點O，連接PO．因為，所以四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，則又，所以平面PBD，因為平面PBD，所以【小問2詳解】因為，所以，所以由（1）知平面ABCD，以O為原點，，，的方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，設平面AEC的法向量，則，即，令，則平面ACD的法向量，，所以二面角為；【小問3詳解】存在點F到平面AEC的距離為，理由如下：由（2）得，，設，則，所以點F到平面AEC的距離，解得，，所以20、（1）250.（2）50（件）.【解析】(1)數據的平均值一定在回歸直線上；(2)將x=10代入回歸方程即可.【小問1詳解】由表中數據可得，，，代入，解得.【小問2詳解】由（1）得，故單價為10元時，.當單價為10元時銷量為50件.21、（1）列聯表答案見解析；（2）；（3）沒有的把握認為“是否了解數字人民幣”與“學歷高低”有關.【解析】(1)根據給定表中數據列出列聯表作答.(2)利用給定條件結合古典概率公式計算作答.(3)利用(1)中信息求出的觀測值，再與臨界值表比對作答.【小問1詳解】列聯表如下：低學歷高學歷合計不了解數字人民幣150125275了解數字人民幣250275525合計400400800【小問2詳解】由(1)知，被調查者中低學歷的有400，其中不了解數字人民幣的有150，從400人中任取2人有個基本事件，它們等可能，被選中的2人中至少有1人對數字人民幣不了解