汽車車身復雜曲面造型方法研究

1局部復雜曲面的頂網格由于汽車車身形狀的需要和結構配置的要求，其幾何形狀非常復雜。當車身大塊曲面上有局部復雜形狀時,往往需要作局部造型處理,這是幾何造型的一個重要內容。在車身局部復雜曲面設計時,通常都是用一組空間點列(型值點)的座標給定,并要求滿足規定的邊界條件。因此,這使車身局部復雜曲面數學模型的建立和計算產生了難度。本文基于重節點B樣條理論,闡述車身局部復雜曲面造型的計算方法,其關鍵在于把大塊曲面(稱為母曲面)上相應點的切矢作為局部子曲面造型的端點條件,從而保證局部子曲面與其母曲面沿邊界一階連續。問題的難點是如何求出車身局部復雜曲面的頂點網格。設已知車身局部外形上的M×N個型值點,且兩條u向邊界各M個邊界點及其沿w向切矢和兩條w向邊界各N個邊界點及沿u向切矢均己知。首先沿u向反求N個多邊形,使用重節點基且用w向邊界點的u向切矢為端點條件,進行第一次反算,共得到(M+2)×N個頂點,作為沿w向反求網格時的新型值點;接著由曲面方程建立u向邊界點的w向切矢與網格的關系,將曲面模型式對參數w求偏導,然后代入u向邊界各點相應的u和w參數值,即求出兩條u向邊界上各M個方程,M個方程中有M個w向切矢和M+2個u向第一排頂點為己知,有M+2個u向第二排頂點未知,故需補充2個方程,為此我們在相應的頂點處增補切矢,由頂點網格分析可知,頂點Vi+1,j無型值點對應,但由B樣條結點計算知,Vi+1,j對應的結點為1/3,故取u=1/3,w=0計算母曲面上相應點的w向切矢,將它作為己知量再由曲面方程建立補充的方程式,4個角點處均按此處理,可得4個補充方程,于是方程數與欲求的第二排頂點數相等,可由這些方程求出第二排頂點。另一條u向邊界類似處理,這樣首末各兩排頂點都己知。最后沿w向由新型值點反求網格的其它頂點,由于首末各有二個頂點已知,方程數與未知頂點數相等,故可直接列出反求頂點的方程求出其余的頂點,至此車身局部復雜曲面的頂點網格己獲得。頂點網格確定后便可直接進行曲面的插值、截面等方面的計算了。2局部復雜曲面模型設汽車車身局部復雜外形上M×N個型值點{Pij}給定,且兩條u向邊界各M個邊界點及其沿w向切矢和兩條w向邊界各N個邊界點及沿u向切矢也均為已知。用兩端取四重節點的三次均勻B樣條的方法,建立汽車車身局部復雜曲面的數學模型如下:Pi,j(u,w)=UBVBTWT(i=1,2,…,M-1;j=1,2,…,N-1)(1)式中:V為定義車身局部復雜曲面的特征網格頂點矩陣;U、WT為u向和w向的參數向量;B為u向第i段曲線對應的基函數系數陣,BT為w向第j段曲線對應的基函數系數陣。對于三次均勻B樣條曲線,在節點矢量兩端應用四重節點,可推導出11組基函數(參看有關資料中所列)。由于重節點基的特性需要逐塊選擇基來計算,具體計算時要根據B樣條曲線的總段數和所計算的曲線段的序號正確地選取。下面根據給定的型值點和邊界條件,反求出汽車車身局部復雜曲面的特征網格點矩陣V。3特征多邊線性方程組n使用重節點基,且用w向邊界點的u向切矢P′1,j和P′M,j(j=1,2,…,N)為端點條件,通過給定的型值點{Pij},利用下列方程組進行反算:[Ρ′1,j+3Ρ1,jΡ2,jΡ3,j?ΡΜ,jΡΜ-1,j3ΡΜ,j-Ρ′Μ,j]=[301/47/151/61/62/31/6???1/62/31/61/67/120]?[Q2,jQ3,JQ3,j?QΜ-1,jQΜ,jQΜ+1,j](j=1,2,?,Ν)(2)???????????????P′1,j+3P1,jP2,jP3,j?PM,jPM?1,j3PM,j?P′M,j???????????????=???????????????31/407/151/6?1/62/3?1/61/6?2/31/61/67/120???????????????????????????????Q2,jQ3,JQ3,j?QM?1,jQM,jQM+1,j???????????????(j=1,2,?,N)(2)此線性方程組的系數陣是三對角方陣,可用“追趕法”求解,得到N個特征多邊形的(M+2)×N個頂點Qi,j(i=1,2,…,M+2;j=1,2,…,N),其中:Q1,j=P1,j,QM+2,j=PM,j。4提出特征網格點對點沿w向反求(M+2)個特征多邊形,是以Qi,j(i=1,2,…,M+2;j=1,2,…,N)作為新型值點,進行第二次反算,求出定義車身局部曲面的特征網格頂點Vi,j(i=1,2,…,M+2;j=1,2,…,N+2)。求解過程:第一步,求出第二R排頂點;第二步,求出倒數第二排頂點;第三步,求出其余的頂點。4.1回歸系數根據兩端為四重節點的B樣條的基函數系數表,式(1)化為:Ρ1,1(u,w)=[u3u2u1]?[-17/4-11/121/63-9/23/20-33001000]?[V11V12V13V14V21V22V23V24V31V32V33V34V41V42V43V44]?[-13-317/4-9/230-11/123/200-1/6000]?[w3w2w1]當i=1,j=1時,對上式求w向偏導數并將u=0,w=0代入,得到如下關系式:P′1,1(0,0)=3(V12-V11)將u=1/3,w=0代入可得:P′1,1(1/3,0)w=8/9(V12-V11)+61/36(V22-V21)+43/108(V32-V31)+1/54(V42-V41)對于i=2,3,4,…,M-1,j=1時,用同上類似的方法可推得Pi,1′(0,0)w與相關頂點的關系式。于是得到了M+2個關于邊界切矢與網格頂點關系的線性方程式(3)。[308/95/31/33/47/41/21/221/2???1/221/21/27/43/41/35/38/903]?[V12-V11V22-V21V32-V31V42-V41?VΜ-1,2-VΜ-1,1VΜ,2-VΜ,1VΜ+1,2-VΜ+1,1VΜ+2,2-VΜ+2,1]=[Ρ′1,1(0,0)Ρ′1,1(13,0)-127Ρ′2?1(0?0)Ρ′2,1(0,0)Ρ′3,1(0,0)?Ρ′Μ-2,1(0,0)Ρ′Μ-1,1(0,0)Ρ′Μ-1,1(23,0)-127Ρ′Μ-1,1(0,0)Ρ′Μ-1,1(1,0)](3)其中,P′i,1(u,w)w(i=1,2,…,M+2)為車身局部曲面設計給定的邊界切矢;Vi,1=Qi,1(i=1,2,…,M+2)是邊界條件的要求,Qi,1(i=1,2,…,M+2)是已知的;因此,聯立求解M+2個方程是可以唯一確定M+2個未知變量Vi,2(i=1,2,…,M+2)的。線性方程組(3)的系數陣是三對角方陣,可用“追趕法”求解,求得結果為Vi,2-Vi,1=Zi(i=1,2,…,M+2),因此,可唯一確定曲面的第二排特征頂Vi,2=Zi+Vi,1=Zi+Qi,1(i=1,2,…,M+2)。4.2增加平均變分法形式建立曲面(w=1)邊界點的w向切矢與頂點的關系,其推導方法與建立曲面(w=0)邊界點的w向切矢與頂點關系的過程一樣,僅是下標j有變化(j=N-1)。下面直接給出所推出的結果,所獲得的線性方程組與(3)式的形式一致。設(3)式中的系數矩陣為B,則曲面(w=1)邊界點的w向切矢與頂點的關系式如下:B[V1,Ν+2-V1,Ν+1V2,Ν+2-V2,Ν+1V3,Ν+2-V3,Ν+1V4,Ν+2-V4,Ν+1?VΜ-1,Ν+2-VΜ-1,Ν+1VΜ,Ν+2-VΜ,Ν+1VΜ+1,Ν+2-VΜ+1,Ν+1VΜ+2,Ν+2-VΜ+2,Ν+1]=[Ρ′1,Ν-1(0,1)Ρ′1,Ν-1(13,1)-127Ρ′2,Ν-1(0,1)Ρ′2,Ν-1(0,1)Ρ′3,Ν-1(0,1)?Ρ′Μ-2,Ν-1(0,1)Ρ′Μ-1,Ν-1(0,1)Ρ′m-1,Ν-1(23,1)-127Ρ′Μ-1,Ν-1(0,1)Ρ′Μ-1,Ν-1(1,1)](4)(4)式的系數陣仍是三對角方陣,可用“追趕法”求解,求得:Vi,N+2-Vi,N+1=Si(i=1,2…,M+2),因此,可唯一確定曲面的倒數第二排特征頂點Vi,N+1=Vi,N+2-Si=Qi,N-Si(i=1,2,…,M+2)。4.3求出任何關鍵點第二排和倒數第二排頂點都已經求出,而第一排頂點和倒數第一排頂點又是已知的,Vi,1=Qi,1,Vi,N+2=Qi,N(i=1,2,…,M+2)(由兩端四重節點B樣條曲線的特性所得)。這樣方程數與末知頂點數相等,故可求出其余全部頂點。以第一次反算所得到的頂點Qi,j(i=1,2,3,…,M+2;j=2,3,…,N-1)為型值點,沿w向按(5)式反求曲面的特征網格頂點。[301/47/121/61/62/31/6???1/62/31/61/67/121/403]?[Vi,2Vi,3Vi,4?Vi,Ν-1Vi,ΝVi,Ν+1]=[3Vi,2Qi,2Qi,3?Qi,Ν-2Qi,Ν-13Vi,Ν+1](i=1,2,?,Μ,Μ+1,Μ+2)(5)用“追趕法”求解(5)式,求得曲面其余特征網格頂點(Vij(i=1,2,…,M+2;j=3,4,…,N-1,N)。至此獲得了定義汽車車身局部復雜曲面的全部特征網格頂點。5思想上取樣品線的等間隔插值汽車車身曲面截面外形的計算是車身設計中經常遇到的。例如,在車身設計中的取樣板,實際上是用平面與車身外形曲面求交,其交線就是車身樣板線。在數控繪圖和數控加工中也往往需要對曲面參數進行等間隔插值。限于篇幅,下面僅討論兩種截面外形的計算方法。5.1列點的坐標值Δw計算一系列給定u值的橫截面外形上一系列點的坐標值這種情況,可將u=uk,w=w+Δw代入曲面方程(1)進行計算,具體可采用差分運算,使計算可以高速進行。5.2x截面屬性這是一種車身曲面正截面外形計算,正截面是用垂直于坐標軸的平面與車身曲面相交而得到的。正截面分為x截面、y截面、z截面三種。由于這種截面的算法原理相同,因此,這里僅討論x截面的算法。設截平面方程為:x-x0=0(x0為常數),將x=x0代入車身曲面方程(1)式,得x截面外形方程:UBVxBTWT-x0=0式中:Vx是所截曲面片頂點矩陣的x分量;B是所截曲面片對應的基函數系數陣。所截曲面片的列的編號,可按已知型值點判斷得出。按所得的曲面片編號選擇對應的基函數系數陣,進行分段