調整型抽樣方案的復合oc函數

許多國內外科學家對改進抽樣方案的復合oc函數進行了討論。然而，作為美國最新的軍事標準milstd-1916，包括正常、額外和免除的三個采樣方案和完整的轉換規則（包括暫停檢查規則），復合oc函數尚未完全解決。本文將利用范永亮提出的轉移概率流向圖及多元轉移概率母函數等方法,分別對檢查始于正常檢查、加嚴檢查和放寬檢查的調整型抽樣系統S1、S2和S3的復合OC函數進行研究.2多元轉移概率母函數帶有中止檢查規則的調整型抽樣系統S由正常抽樣方案、加嚴抽樣方案和放寬抽樣方案以及一套包括中止檢查規則的轉換規則組成.當批不合格品率為P時,三個方案下的接收概率分別記為PN、PT、PR.用N、T、R、D分別表示正常、加嚴、放寬和中止四種檢查狀態.本文將研究抽樣系統的復合特性與期望比例,有定義1設按抽樣系統S進行檢查而提交批的不合格品率P在中止檢查前保持不變,稱:E{到中止檢查為止,接收的總批數}/E{到中止檢查為止,檢查的總批數}為抽樣系統S在批不合品率為P時的復合接收率,記為L(P),簡記為L.本段,我們將討論從正常檢查N開始,到中止檢查D為止的抽樣系統S1的情形.若記M1:從N開始到D為止,檢查的總批數.M1(N):從N開始到D為止,在N下檢查的批數.M1(T):從N開始到D為止,在T下檢查的批數.M1(R):從N開始到D為止,在R下檢查的批數.則由文有:抽樣系統S1的復合OC函數為L1=?ΡΝ?ΡΝ+?ΡΤ?ΡΤ+?ΡR?ΡR,其中?ΡΝ=E(Μ1(Ν))E(Μ1),?ΡΤ=E(Μ1(Τ))E(Μ1),?ΡR=E(Μ1(R))E(Μ1)(1)一般,調整型抽樣系統S的轉換方式如圖1所示其中G(x)Ν→Τ、G(x)Ν→R、G(y)Τ→Ν、G(y)T→D、G(z)R→Ν分別為相應的轉移概率母函數.應用文中的方法,由圖1可得出抽樣系統S1的多元轉移概率流向圖如下為了求出?ΡΝ、?ΡΤ、?ΡR,我們引入多元轉移概率母函數定義2設P(Ν)S1(t、i、j、k)是從正常檢查開始,恰好檢查t批至中止,其中有i批、j批、k批分別按正常檢查、加嚴檢查、放寬檢查的概率(0≤i、j、k≤t,i+j+k=t),其轉移概率母函數∞∑t=0i+j+k=t∑0≤i,j,k≤tΡ(Ν)S1(t、i、j、k)utxiyjzk(|u|≤1、|x|≤1、|y|≤1、|z|≤1)稱為抽樣系統S1的多元轉移概率母函數,記作G(Ν)S1(u、x、y、z).對于G(Ν)S1(u、x、y、z),有下列關系式定理1對于|u|≤1、|x|≤1、|y|≤1、|z|≤1,有G(Ν)S1(u、x、y、z)=G(ux)Ν→Τ?G(uy)Τ→Τ1-[G(ux)Ν→Τ?G(uy)Τ→Ν+G(ux)Ν→R?G(uz)R→Ν](2)證明按文的方法,圖2所示的抽樣系統S1的多元轉移概率母函數G(Ν)S1(u、x、y、z)=G(Ν)Ν→Τ(u、x、y、z)?G(Ν)Τ→D(u、x、y、z)1-[G(Ν)Ν→Τ(u、x、y、z)?G(Ν)Τ→Ν(u、x、y、z)+G(Ν)Ν→R(u、x、y、z)?G(Ν)R→Ν(u、x、y、z)](3)而由于G(Ν)Ν→Τ(u、x、y、z)=∞∑t=0i+j+k=t∑0≤i,j,k≤tΡ(Ν)S1(t、i、j、k)utxiyjzk,而由N→T的意義,有P(Ν)Ν→Τ(t、i、j、k)={Ρ(t)Ν→Τi=t,j=k=00其它,所以G(Ν)Ν→Τ(u、x、y、z)=G(ux)Ν→Τ,類似地有G(Ν)Ν→R(u、x、y、z)=G(ux)Ν→R、G(Ν)Τ→Ν(u、x、y、z)=G(uy)Τ→Ν、G(Ν)Τ→D(u、x、y、z)=G(uy)Τ→D、G(Ν)R→Ν(u、x、y、z)=G(uz)R→Ν,將以上各式分別代入(3)式,即得到(2)式.由于t=i+j+k,0≤i、j、k≤t.若記X=ux,Y=uy,Z=uz,則M1、M(Ν)1、M(Τ)1、M(R)1的轉移概率母函數分別為G(Ν)Μ1=GΝ→Τ(X)?GΤ→D(Y)1-[GΝ→Τ(X)?GΤ→Ν(Y)+GΝ→R(X)?GR→Ν(Ζ)]G(Ν)Μ(Ν)1(X)=GΝ→Τ(X)?GΤ→D(1)1-[GΝ→R(X)?GR→Ν(1)+GΝ→Τ(X)?GΤ→Ν(1)]G(Ν)Μ(Τ)1(Y)=GΝ→Τ(1)?GΤ→D(Y)1-[GΝ→R(1)?GR→Ν(1)+GΝ→Τ(1)?GΤ→Ν(Y)]G(Ν)Μ(R)1(Ζ)=GΝ→Τ(1)?GΤ→D(1)1-[GΝ→R(1)?GR→Ν(Ζ)+GΝ→Τ(1)?GΤ→Ν(1)].由圖1,容易得到GR→N(1)=1,GN→R(1)+GN→T(1)=1,GT→N(1)+GT→D(1)=1,因此,有G(Ν)Μ1(1)=1,G(Ν)Μ(Ν)1(1)=1,G(Ν)Μ(Τ)1(1)=1,G(Ν)Μ(R)1(1)=1.又由轉移概率母函數的性質和G(Ν)Μ1(1,1,1,1)=1,知E(Μ1)=?G(Ν)S1(u、x、y、z)?u|(1,1,1,1)=?/nG(Ν)S1(u、x、y、z)?u|(1,1,1,1)=G′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)+GΝ→Τ(1)[G′Τ→D(1)+G′Τ→Ν(1)]+GΝ→R(1)?G′R→Ν(1)GΝ→Τ(1)?GΤ→D(1)(4)E(Μ1(Ν))=dGΜ1(Ν)(Ν)(X)dX|X=1=G′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)GΝ→Τ(1)?GΤ→D(1)(5)E(Μ1(Τ))=dGΜ1(Τ)(Ν)(Y)dY|Y=1=G′Τ→D(1)+G′Τ→Ν(1)GΤ→D(6)E(Μ1(R))=dGΜ1(R)(Ν)(Ζ)dΖ|Ζ=1=GΝ→R(1)?G′R→Ν(1)GΝ→Τ(1)?GΤ→D(1)(7)將(4)、(5)、(6)、(7)式分別代入(1)式,有定理2對于抽樣系統S1,有L1=GΝ→Τ(1)[G′Τ→D(1)+G′Τ→Ν(1)]?ΡΤ+[G′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)]?ΡΝ+GΝ→R(1)?G′R→Ν(1)]?ΡRG′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)+GΝ→R(1)?G′R→Ν(1)+GΝ→Τ(1)[G′Τ→D(1)+G′Τ→D(1)](8)3s13r的s3r形式本段我們將分別討論從加嚴檢查T開始到中止檢查D為止的抽樣系統S2和從放寬檢查R開始到中止檢查D為止的抽樣系統S3的復合OC函數.若記:Mn:從T(n=2時)開始或從R(n=3時)開始,到D為止,檢查的總批數.Mn(Ν):從T(n=2時)開始或從R(n=3時)開始,在N下檢查的批數.Mn(Τ):從T(n=2時)開始或從R(n=3時)開始,在T下檢查的批數.Mn(R):從T(n=2時)開始或從R(n=3時)開始,在R下檢查的批數.與S1的討論類似,有S2和S3的復合OC函數為Ln=Ρ?Ν?Ρ?Ν+Ρ?Τ?ΡΤ+Ρ?R?ΡR其中Ρ?Ν=E(Μn(Ν))E(Μn),Ρ?Τ=E(Μn(Τ))E(Μn),Ρ?R=E(Μn(R))E(Μn)n=1,2(9)且S2和S3的多元概率流向圖分別如圖3和圖4同樣,我們可以給出S2和S3的多元轉移概率母函數的定義GS2(Τ)(u、x、y、z)=∑t=0∞∑0≤i,j,k≤li+j+k=tΡS2(Τ)(t、i、j、k)utxiyjzkGS3(R)(u、x、y、z)=∑t=0∞∑0≤i,j,k≤ti+j+k=tΡS3(R)(t、i、j、k)utxiyjzk,|u|≤1,|x|≤1,|y|≤1,|z|≤1其中PS2(Τ)和PS3(R)是S2和S3中相應的概率.與前一段的討論類似,可得定理3對于|u|≤1,|x|≤1,|y|≤1,|z|≤1,有GS2(Τ)(u、x、y、z)=GΤ→D(uy)[1-GΝ→R(ux)?GR→Ν(uz)]1-[GΝ→R(ux)?GR→Ν(uz)+GΝ→Τ(ux)?GΤ→Ν(uy)](10)定理4對于|u|≤1,|x|≤1,|y|≤1,|z|≤1,有GS3(R)(u、x、y、z)=GR→Ν(uz)?GΝ→Τ(ux)?GΤ→D(uy)1-GΝ→Τ(ux)?GΤ→Ν(uy)-GR→Ν(uz)?GΝ→R(ux)(11)同樣,利用文、、中的方法,有E(Μ2)=GΝ→Τ(1)[G′Τ→D(1)+G′Τ→Ν(1)]+GΤ→Ν(1)?[G′Ν→R+G′Ν→Τ(1)+GΝ→R(1)?G′R→Ν(1)]GΝ→Τ(1)?GΤ→D(1)(12)E(Μ2(Ν))=GΤ→Ν(1)[G′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)]GΝ→Τ(1)?GΤ→D(1)(13)E(Μ2(Τ))=G′Τ→D(1)+G′Τ→R(1)GΤ→D(1)(14)E(Μ2(R))=GΤ→Ν(1)?GΝ→R(1)?G′R→Ν(1)GΝ→Τ(1)?GΤ→D(1)(15)將(12)、(13)、(14)、(15)式代入(9)式,得定理5對于調整型抽樣系統S2,有L2=GΝ→Τ(1)[G′Τ→D(1)+G′Τ→Ν(1)]?ΡΤ+GΤ→Ν(1)[G′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)]?ΡΝ+GΤ→Ν(1)?GΝ→R(1)?G′R→Ν(1)?ΡRGΤ→Ν(1)GΤ→Ν(1)[G′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)+GΝ→R(1)?G′R→Ν(1)]+GΝ→Τ(1)[G′Τ→D(1)+G′Τ→Ν(1)](16)利用文中的方法,可有E(Μ3)=G′R→Ν(1)[GΝ→Τ(1)?GΤ→D(1)+GΝ→R(1)]+G′Ν→Τ(1)+G′Τ→D(1)?GΝ→Τ(1)+GΝ→Τ(1)?G′Τ→Ν(1)+G′Ν→R(1)GΝ→Τ(1)?GΤ→D(1)(17)E(Μ3(Ν))=G′Ν→Τ(1)+G′Ν→R(1)GΝ→Τ(1)?GΤ→D(1)(18)E(Μ3(Τ))=G′Τ→D(1)+G′Τ→Ν(1)GΤ→D(1)(19)E(Μ3(R))=G′R→Ν(1)[GΝ→Τ(1)?GΤ→D(1)+GΝ→R(1)]GΝ→Τ(1)?GΤ→D(1)(20)將(17)、(18)、