北京市門頭溝區2023年九年級上學期《數學》期末試卷與參考答案一、選擇題本題共16分，每小題2分。第1－8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個。1.如果，那么的值是（）A. B. C. D.答案：B答案解析：∵，∴，∴，故選：B2.已知的半徑為4，點在內，則的長可能是（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：A答案解析：∵的半徑為4，點在內，∴0≤OP＜4，故選：A．3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則sinA的值為（）A. B. C. D.答案：D答案解析：在中，，，，由勾股定理得，，∴，故選：D．4.如果將拋物線向上平移3個單位長度，得到新的拋物線的表達式是（）A. B. C. D.答案：C答案解析：拋物線向上平移3個單位長度可得，故選：C5.如圖，，相交于點O，且．如果，，那么的值是（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：B答案解析：∵，∴，∵，，∴，解得：，故B正確．故選：B．6.如圖，線段是的直徑，如果，那么的度數是（）A. B. C. D.答案：D答案解析：如圖：連接，是的直徑，，，，，故選：D．7.二次函數的圖象如圖所示，那么下列結論正確的是（）A.B.C.D.一元二次方程的近似解為，答案：A答案解析：A．由二次函數的圖象可知，∵拋物線開口向上，與y軸交于負半軸，∴，，∴，故選項正確，符合題意；B．∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，故選項錯誤，不符合題意；C．由圖象可知拋物線與x軸有兩個交點，即方程有兩個不相等的實數根，則，故選項錯誤，不符合題意；D．∵拋物線的圖象與x軸有一個交點在0和之間，拋物線的對稱軸直線，∴圖象與x軸另一個交點在2和3之間，∴一元二次方程的近似解為，不成立。故選項錯誤，不符合題意．故選：A．8.下面的四個選項中都有兩個變量，其中變量y與變量x之間的函數關系可以用如圖所示的圖像表示的是（）A.圓的面積y與它的半徑x；B.正方形的周長y與它的邊長x；C.用長度一定的鐵絲圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x；D.小明從家騎車去學校，路程一定時，勻速騎行中所用時間y與平均速度x；答案：C答案解析：A、圓的面積y與它的半徑x的關系式為，變量y與變量x之間的函數關系不可以用如圖所示的圖像表示，故此選項不符合題意；B、正方形的周長y與它的邊長x的關系式為，變量y與變量x之間的函數關系不可以用如圖所示的圖像表示，故此選項不符合題意；C、設鐵絲的長度為a，則矩形的面積，變量y與變量x之間的函數關系可以用如圖所示的圖像表示，故此選項符合題意；D、設路程為s，則所用時間y與平均速度x的關系式為，變量y與變量x之間的函數關系不可以用如圖所示的圖像表示，故此選項不符合題意，故選：C．二、填空題本題共16分，每小題2分。9.如果，那么銳角___________度．答案：45答案解析：∵，為銳角，∴，故答案為：45．10.如果一個扇形的圓心角為，半徑為2，那么該扇形的面積為___________（結果保留π）．答案：答案解析：∵扇形的圓心角為，半徑為2，∴該扇形的面積為：．故答案為：．11.在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象經過點，，那么與的大小關系是___________（填“”，“”或“”）時．答案：答案解析：在反比例函數中，隨的增大而減小，，，故答案為：．12.如圖所示的網格是正方形網格，A，B，C，D，E是網格線的交點，那么的面積與的面積的比是___________．答案：答案解析：∵，，，，∴，，∴，∵，∴，∴,故答案為：13.寫出一個二次函數，其圖像滿足：①開口向下；②當時，y隨x的增大而增大．這個二次函數的表達式可以是___________．答案：（答案不唯一）答案解析：二次函數，①開口向下，；②當時，隨著的增大而增大，，即；∴只要滿足以上兩個條件就行，如時，二次函數的解析式是．故答案為：．（答案不唯一）14.《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，其中有首歌謠：“今有竿不知其長，量得影長一百五十寸，立一標桿，長一十五寸，影長五寸，問竿長幾何？”．其意思是：“如圖，有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長150寸，同時立一根15寸的小標桿，它的影子長5寸，則竹竿的長為多少？”．答：竹竿的長為___________寸．答案：450答案解析：設竹竿的長度為x寸，∵竹竿的影長寸，標桿長寸，影長寸，∴，解得．答：竹竿長為450寸，故答案為：450．15.石拱橋是中國傳統橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖，已知某公園石拱橋的跨度米，拱高米，那么橋拱所在圓的半徑___________米．答案：10答案解析：連接，，，可得：，，∵，拱高米，∴，設，則，根據題意可得：，即，解得：，即圓弧形橋拱所在圓的半徑是米．故答案為：1016.如圖1，在等邊中，D是中點，點P為邊上一動點，設，，如果y與x的函數關系的圖象如圖2所示，那么___________．答案：4答案解析：由圖2可得y的最小值為，∵等邊三角形，分析圖1可知，當P點運動到時，長為最小值，

∴此時，∵，∴，解得，∵D為的中點，∴，∴．故答案為：4．三、解答題本題共68分，第17~22題每小題5分，第23~26題每小題6分，第27~28題每小題7分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：．答案：3答案解析：18.如圖，在中，點D在上，連接．請添加一個條件，使得，然后再加以證明．答案：（答案不唯一）答案解析：添加，又∵，∴，故答案為：（答案不唯一）．19.下面是小李設計的“作圓的內接等邊三角形”的尺規作圖過程．已知：如圖1，．求作：等邊，使得等邊內接于．作法：①如圖2，作半徑；②以M為圓心，長為半徑作弧，交于點A，B，連接；③以B為圓心，長為半徑作弧，交于點C；④連接，．∴就是所求作的等邊三角形．根據上述尺規作圖的過程，回答以下問題：（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖2（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接，，，．由作圖可知，∴，是等邊三角形．∴．∴．∵，∴．（）（填推理的依據）∵，∴是等邊三角形．答案：（1）見解析（2），同弧所對的圓周角等于圓心角的一半答案解析：（1）如圖所示，（2）證明：連接，，，．由作圖可知，∴，是等邊三角形．∴．∴．∵，∴．（同弧所對的圓周角等于圓心角的一半）∵，∴是等邊三角形．故答案為：，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半20.已知二次函數（1）求此二次函數圖象的頂點坐標；（2）求此二次函數圖象與x軸的交點坐標；（3）當時，直接寫出x的取值范圍．答案：（1）（2）與（3）答案解析：（1），故此二次函數圖象的頂點坐標為；（2）令，則，解得，，故此二次函數圖象與x軸的交點坐標為與；（2），此二次函數圖象的開口向上，又此二次函數圖象與x軸的交點坐標為與，當時，x的取值范圍為．21.如圖，在中，，點D在上，，過點B作，交的延長線于點E．（1）求證：；（2）如果，，求的長．答案：（1）見解析（2）答案解析：（1）證明：在中，，∴，∵，∴，∵，∴∴，∵，∴，∵，∴；（2）∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，解得．22.在平面直角坐標系xOy中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象的一個交點為．（1）求反比例函數的解析式；（2）當時，對于x的每一個值，一次函數的值大于反比例函數的值，直接寫出k的取值范圍．答案：（1）反比例函數的解析式為：；（2）k的取值范圍是．答案解析：（1）對于，當時，，∴一次函數的圖象與反比例函數的圖象的一個交點為，∴，∴反比例函數的解析式為：；（2）解方程組，得或，由題意得：，解得：，則k的取值范圍是．23.定都閣位于門頭溝潭柘寺鎮的定都峰上，與通州大運河遙相呼應，形成“東有大運河，西有定都閣”的一道新景觀．為測得定都閣的高度，某校數學社團登上定都峰開展實踐活動．他們利用無人機在點P處測得定都閣頂端A的俯角α為，定都閣底端B的俯角β為，此時無人機到地面的垂直距離為米，求定都閣的高．（結果保留根號）答案：米答案解析：如圖所示，過點A作于點D，則，，由題意得，∴四邊形是矩形，∴，，設，則，∵,，∴是等腰直角三角形，∴，在中，，∴，解得，即為米．24.某公園有一個小型噴泉，水柱從垂直于地面的噴水槍噴出，水柱落于地面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分．記噴出的水柱距噴水槍的水平距離為（單x位：m），距地面的垂直高度為y（單位：m），現測得x與y的幾組對應數據如下：水平距離x/m0123456…垂直高度y/m0.71.62.32.83.13.23.1…請根據測得的數據，解決以下問題：（1）在平面直角坐標系中，描出以表中各組對應數據為坐標的點，并畫出該函數的圖象；（2）結合表中所給數據或所畫圖象，得出水柱最高點距離地面的垂直高度為m；（3）求所畫圖象對應的二次函數表達式；（4）公園準備在水柱下方的地面上豎直安裝一根高的石柱，使該噴水槍噴出的水柱恰好經過石柱頂端，則石柱距噴水槍的水平距離為m．（注：不考慮石柱粗細等其他因素）答案：（1）見解析（2）3.2（3）（4）1或9答案解析：描出各組對應數據為坐標的點，畫出該函數的圖象如下：（2）由圖象可得，水柱最高點距離地面的垂直高度為，故答案為：3.2；（3）設二次函數表達式將，，代入得：，解得：∴二次函數表達式為；（4）在中，令得：，解得或，∴石柱距噴水槍的水平距離為或．故答案為：1或9．25.如圖，在等腰中，，以為直徑作，交于點D，過點D作，垂足為E．（1）求證：是的切線；（2）如果，，求的長．答案：（1）見解析（2）答案解析：（1）證明：連接，∵，∴，∵等腰中，，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）∵，∴，∴，∴，∵為的中點，∴,∵,∴,連接，∵為直徑，∴,∵,∴，∴，∴，即的長為．26.在平面直角坐標系中，點，在拋物線上，其中，設拋物線的對稱軸為．（1）當時，如果，直接寫出，的值；（2）當，時，總有，求t的取值范圍．答案：（1），；（2）答案解析：（1）根據題意，當時，，∵拋物線的對稱軸為，∴關于對稱軸對稱的點的坐標為，∵，且，∴，；（2）根據題意可知，當時，，∵,∴圖象開口向下，滿足，，∴當時，y隨著x的增大而增大，∴設拋物線對稱軸為,∴，∴點關于對稱軸對稱的點為，∵，圖象開口向下，,，∴解得，∴．27.如圖，在中，，點D在上，連接，在直線右側作，且，連接交于點F．（1）如圖1，當時，①依題意補全圖1，猜想與之間的數量關系，并證明；②用等式表示線段，的數量關系，并證明．（2）如圖2，當時，直接用含m的等式表示線段，的數量關系．答案：（1）①見解析；，證明見解析；②；證明見解析；（2）答案解析：（1）①根據題意補全圖形，如圖所示：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴；②，理由如下：過點E作于點G，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．（2），理由如下：過點E作于點G，如圖所示：∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．28.在平面直角坐標系中，對于點，給出如下定義：當點，滿足時，稱點N是點M的等積點．已知點．（1）在，，中，點M的等積點是；（2）如果點M的等積點N在雙曲線上，求點N的坐標；（3）已知點，，的半徑為1，連接，點A在線段上．如果在上存在點A的等積點，直接寫出a的取值范圍．答案：（1）、（2）或（3）答案解析：（1）∵，∴是M的等積點；∵，∴不是M的等積點；∵，∴是M的等積點；故答案為：、；（2）設點M的等積點為，則，即，∴點M的等積點一定在直線，又∵點M的等積點N在雙曲線上，∴聯立，解得：，，點N的坐標為或．（3）根