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文檔簡介

一元二次方程的根與系數的關系

韋達，1540

年出生于法國的波亞圖，他把符號系統引入代數學，對數學的發展發揮了巨大的作用，人們為了紀念他在代數學上的功績，稱他為“代數學之父”．x+y=8x=7s=vta=b-10y=3x+4a+b=3a2+b2=c2導入新課-4123-1

-3-456(1)x2+3x-4=0；(2)x2

-5x+6=0；算一算

解下列方程并完成填空：x1+x2=？x1·x2=？2x2+3x+1=0方程兩根x1x2一元二次方程x2+3x-4=0x2

-5x+6=0(3)2x2+3x+1=0.將二次項系數化為1

對于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），是否有一樣的規律嗎？講授新課對于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當Δ≥0時，設ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1，x2，此時x1+x2，x1·x2等于多少呢？探究結論如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為

x1，x2，那么，注意滿足上述關系的前提條件b2-4ac≥0.一元二次方程的根與系數的關系人們把敘述一元二次方程根與系數關系的結論稱為“韋達定理”．探究結論例1

不解方程，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）x2–6x–15=0；（2）5x–1=4x2（1）解：a=1，b=–6，

c=–15．（2）解：整理方程得：4x2-5x+1=0

Δ

=b2-4ac

=(–6)2–4×1×(–15)=96>0．∴方程有兩個實數根．設方程的兩個實數根是x1，

x2，那么x1+x2=–(–6)=6，

x1x2=-15．先化為一般式定理應用a=4，b=–

5，

c=1．

Δ

=b2-4ac

=(–

5)2–4×(–5)×1=45>0．∴方程有兩個實數根．設方程的兩個實數根是x1，

x2，那么x1+x2=，

x1x2=．練習1

不解方程，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）3x2

+

7x

-

9=0；（2）

2x2-4x+9=0．（2）解：a=2，b=-4，c=9．

Δ

=b2-4ac

=(-4)2–4×2×9=-56<0．

∴方程無實數根．（1）解：a=3，b=7，

c=-9．

Δ

=b2-4ac

=72–4×3×(-9)=157>0．

∴方程有兩個實數根．設方程的兩個實數根是x1，

x2，那么x1+x2=，

x1x2=-3．定理應用例2

設

x1，x2為方程

x2-4x+1=0的兩個根，則(1)x1+x2=

，x1·x2=

．（x1+x2）2–2x1x2∴原式=42–2×1=1441(x1+1)(x2+1)=(2)求下列式子的值：x12+x22=x1x2+(x1+x2)+1∴原式=1+4+1=6定理應用∵x1+x2=4，x1x2=1∵x1+x2=4，x1x2=1∴原式∵x1+x2=4，x1x2=1x1+x2=

４

，x1·x2=1

變式

設

x1，x2為方程

x2-4x+1=0的兩個根，求下列式子的值：(x1-x2)2

定理應用一元二次方程的根與系數的關系內容應用如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是

x1，x2，那么，課堂小結……(x1+1)(x2+1)x12+x22(x1-x2)2

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