北京海淀北方交大附中2023年數學高二上期末經典試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在直三棱柱中，，，則直線與所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°2．已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.843．以下命題是真命題的是（）A.方差和標準差都是刻畫樣本數據分散程度的統計量B.若m為數據（i=1，2，3，····，2021）的中位數，則C.回歸直線可能不經過樣本點的中心D.若“”為假命題，則均為假命題4．已知為偶函數，且當時，，其中為的導數，則不等式的解集為()A. B.C. D.5．若，則（）A.1 B.0C. D.6．已知圓的方程為，圓的方程為，其中．那么這兩個圓的位置關系不可能為（）A.外離 B.外切C.內含 D.內切7．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的k的值是A.3 B.4C.5 D.68．如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為（）A. B.C. D.9．南北朝時期杰出的數學家祖沖之的兒子祖暅在數學上也有很多創造，其最著名的成就是祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等，現有一個圓柱體和一個長方體，它們的底面面積相等，高也相等，若長方體的底面周長為，圓柱體的體積為，根據祖暅原理，可推斷圓柱體的高（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值10．已知命題：若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則；命題：等軸雙曲線的離心率為，則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.11．下列關于命題的說法錯誤的是A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.“”是“函數在區間上為增函數”的充分不必要條件C.命題“，使得”的否定是“，均有”D.“若為的極值點，則”的逆命題為真命題12．直線的一個法向量為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，一個酒杯的內壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬cm，杯深8cm，稱為拋物線酒杯．①在杯口放一個表面積為的玻璃球，則球面上的點到杯底的最小距離為______cm；②在杯內放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為______(單位：cm)14．設拋物線的焦點為，直線過焦點，且與拋物線交于兩點，，則__________15．雙曲線的一條漸近線的一個方向向量為，則______（寫出一個即可）16．命題“x≥1，x2-2x+4≥0”的否定為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）新冠肺炎疫情期間，某地為了解本地居民對當地防疫工作的滿意度，從本地居民中隨機抽取了1500名居民進行評分（滿分100分），根據調查數據制成如下表格和頻率分布直方圖．滿意度評分滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意（1）求a的值；（2）定義滿意度指數，若，則防疫工作需要進行調整，否則不需要調整，根據所學知識判斷該區防疫工作是否需要進行調整？18．（12分）在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，分別是棱，的中點（1）證明：平面；（2）若，且四棱錐的體積是6，求三棱錐的體積19．（12分）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為、，點在橢圓上，過的直線交橢圓于、兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）求的面積的最大值.20．（12分）在平面直角坐標系中，過點且傾斜角為的直線與曲線（為參數）交于兩點.（1）將曲線的參數方程轉化為普通方程；（2）求長.21．（12分）如圖所示，第九屆亞洲機器人錦標賽VEX中國選拔賽永州賽區中，主辦方設計了一個矩形坐標場地ABCD（包含邊界和內部，A為坐標原點），AD長為10米，在AB邊上距離A點4米的F處放置一只電子狗，在距離A點2米的E處放置一個機器人，機器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機器人在場地內沿直線方向同時到達場地內某點M，那么電子狗將被機器人捕獲，點M叫成功點.（1）求在這個矩形場地內成功點M的軌跡方程；（2）P為矩形場地AD邊上的一動點，若存在兩個成功點到直線FP的距離為，且直線FP與點M的軌跡沒有公共點，求P點橫坐標的取值范圍.22．（10分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據三棱柱的特征補全為正方體，則，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形即可得解.【詳解】根據直三棱柱的特征，補全可得如圖所示的正方體，易知，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形，所以，所以直線與所成角的大小為.故選：B2、C【解析】根據對稱性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.【詳解】∵隨機變量服從正態分布，∴故選：C.3、A【解析】A：根據方差和標準差的定義進行判斷；B：根據中位數的定義判斷；C：根據回歸直線必過樣本中心點進行判斷；D：根據“且”命題真假關系進行判斷.【詳解】對于A，方差和標準差都是刻畫樣本數據分散程度的統計量，故A正確；對于B，若為數據，2，3，，的中位數，需先將數據從小到大排列，此時數據里面之間的數順序可能發生變化，則為排序后的第1010個數據的值，這個數不一定是原來的，故B錯誤；對于C，回歸直線一定經過樣本點的中心，，故C錯誤；對于D，若“”為假命題，則、中至少有一個是假命題，故D錯誤；故選：A4、A【解析】根據已知不等式和要求解的不等式特征，構造函數，將問題轉化為解不等式.通過已知條件研究g(x)的奇偶性和單調性即可解該不等式.【詳解】令，則根據題意可知，，∴g(x)是奇函數，∵，∴當時，，單調遞減，∵g(x)是奇函數，g(0)＝0，∴g(x)在R上單調遞減，由不等式得，.故選：A.5、C【解析】由結合二項式定理可得出，利用二項式系數和公式可求得的值.【詳解】，當且時，，因此，.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題考查二項式系數和的計算，解題的關鍵是熟悉二項式系數和公式，考查學生的轉化能力與計算能力，屬于基礎題.6、C【解析】求出圓心距的取值范圍，然后利用圓心距與半徑的和差關系判斷.【詳解】由兩圓的標準方程可得，，，；則，所以兩圓不可能內含.故選：C.7、B【解析】循環體第一次運行后；第二次運行后；第三次運行后，第四次運行后；循環結束，輸出值為4，答案選B考點：程序框圖的功能8、C【解析】連接，，，，在平面中，作，為垂足，將兩平行線的距離轉化成點到直線的距離，結合余弦定理即同角三角函數基本關系，求得，因此可得，進而可得直線到直線的距離；【詳解】解：如圖，連接，，，，在平面中，作，為垂足，因為，分別為，的中點，因為，，所以，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為直線到直線的距離，在三角形中，由余弦定理得因為，所以是銳角，所以，在直角三角形中，，故直線到直線的距離為；故選：C9、C【解析】由條件可得長方體的體積為，設長方體的底面相鄰兩邊分別為，根據基本不等式，可求出底面面積的最大值，進而求出高的最小值，得出結論.【詳解】依題意長方體的體積為，設圓柱的高為長方體的底面相鄰兩邊分別為，，當且僅當時，等號成立，.故選:C.【點睛】本題以數學文化為背景，考查基本不等式求最值，要認真審題，理解題意，屬于基礎題.10、D【解析】先判斷出p、q的真假，再分別判斷四個選項的真假.【詳解】因為“若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則或”，所以p為假命題；對于等軸雙曲線，，所以離心率為，所以q為真命題.所以假命題，故A錯誤；為假命題，故B錯誤；為假命題，故C錯誤；為真命題，故D正確.故選：D11、D【解析】根據命題及其關系、充分條件與必要條件、導數在函數中應用、全稱量詞與存在量詞等相關知識一一判斷可得答案.【詳解】解：A,由原命題與逆否命題的構成關系,可知A正確；B,當a=2>1時,函數在定義域內是單調遞增函數，當函數定義域內是單調遞增函數時，a>1.所以B正確；C,由于存在性命題的否定是全稱命題,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正確；D,的根不一定是極值點，例如:函數,則=0，即x=0就不是極值點,所以“若為的極值點，則”的逆命題為假命題,故選D.【點睛】本題主要考查命題及其關系、充分條件與必要條件、導數在函數中應用、全稱量詞與存在量詞等相關知識，需牢記并靈活運用相關知識.12、B【解析】直線化為，求出直線的方向向量，因為法向量與方向向量垂直，逐項驗證可得答案.【詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因為法向量與方向向量垂直，設法向量為，所以，由于，A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據題意，，進而得，，故最小距離為；進而建立坐標系，得拋物線方程為，當杯內放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，此時設玻璃球軸截面所在圓的方程為，進而只需滿足拋物線上的點到圓心的距離大于等于半徑恒成立，再根據幾何關系求解即可.【詳解】因為杯口放一個表面積為的玻璃球，所以球的半徑為，又因為杯口寬cm，所以如圖1所示，有，所以，所以，所以，又因為杯深8cm，即故最小距離為如圖1所示，建立直角坐標系，易知，設拋物線的方程為，所以將代入得，故拋物線方程為，當杯內放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，如圖2，設玻璃球軸截面所在圓的方程為，依題意，需滿足拋物線上的點到圓心的距離大于等于半徑恒成立，即，則有恒成立，解得，可得.所以玻璃球的半徑的取值范圍為.故答案為：；【點睛】本題考查拋物線的應用，考查數學建模能力，運算求解能力，是中檔題.本題第二問解題的關鍵在于設出球觸及酒杯底部的軸截面圓的方程，進而將問題轉化為拋物線上的點到圓心的距離大于等于半徑恒成立求解.14、【解析】拋物線焦點為,由于直線和拋物線有兩個交點,故直線斜率存在.根據拋物線的定義可知,故的縱坐標為,橫坐標為.不妨設,故直線的方程為,聯立直線方程和拋物線方程,化簡得,解得,故.所以.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查拋物線的幾何性質和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據題目所給拋物線的方程求得焦點的坐標,然后利用拋物線的定義:到定點的距離等于到定直線的距離,由此求得點的坐標,進而求得直線的方程,聯立直線方程和拋物線方程求得點的坐標.最后求得面積比.15、(答案不唯一)【解析】寫出雙曲線的漸近線方程，結合方向向量的定義求即可.【詳解】由題設，雙曲線的漸近線方程為，又是一條漸近線的一個方向向量，所以或或或，所以或.故答案為：(答案不唯一)16、【解析】根據還有一個量詞的命題的否定的方法解答即可.【詳解】命題“x≥1，x2-2x+4≥0”的否定為“”.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）不需要【解析】（1）直接根據頻率和為1計算得到答案.（2）計算平均值得到得到答案.【小問1詳解】，解得.【小問2詳解】.故不需要進行調整.18、（1）證明見解析.（2）2.【解析】（1）取的中點，連接，．運用面面平行的判定和性質可得證；（2）過點作，垂足為，連接，，設點到平面的距離為，根據棱錐的體積求得，再利用三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，可求得答案.【小問1詳解】證明：如圖，取的中點，連接，因為，分別是棱，的中點，所以，又平面，平面，所以平面因為，且，分別是棱，的中點，所以，又平面，平面，所以平面因為平面，且，所以平面平面因為平面，所以平面【小問2詳解】解：過點作，垂足為，連接，，則四邊形是正方形，從而因為，所以，則，從而直角梯形的面積設點到平面的距離為，則四棱錐的體積，解得因為三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積因為平面，所以三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積為219、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓的離心率、點在橢圓上以及得到的方程組，進而得到橢圓的標準方程；（2）設出直線方程，聯立直線和橢圓方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系和三角形的面積公式得到三角形的面積，再利用基本不等式求其最值.【小問1詳解】解：由題可得，且，將點代入橢圓方程，得，解得，，即橢圓方程為；【小問2詳解】解：由（1）可得，，設：，聯立，消去，得，設，，則，則所以，當且僅當，即時取等號，故的面積的最大值為.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用公式直接將橢圓的參數方程轉化為普通方程即可.（2）首先求出直線的參數方程，代入橢圓的普通方程得到，再利用直線參數方程的幾何意義求弦長即可.【詳解】（1）因為曲線（為參數），所以曲線的普通方程為：.（2）由題知：直線的參數方程為（為參數），將直線的參數方程代入，得.，.所以.21、（1）（2）【解析】（1）分別以為軸，建立平面直角坐標系，由題意，利用兩點間的距離公式可得答案.(2)由題意可得點的軌跡所在圓的圓心到直線的距離